2.4.2 圆的一般方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 学习目标 目标导航 1. 能由圆的标准方程展开得到一般方程，通过配方探究二元二次方程表示圆的条件，理解D2+E2-4F)的几何意义，会实现标准方程与一般方程互化。 2.能辨析二元二次方程什么时候表示圆、点、无轨迹，掌握圆一般方程的形式特征。 3.会用待定系数法，根据已知条件选择合适方程形式求圆的方程，体会标准方程、一般方程各自优势。 4.会用相关点法求解简单圆的轨迹问题，深化坐标法，感悟 “几何翻译为代数，代数还原几何” 的解析几何大观念。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 内容解析 单元大观念： 坐标法是解析几何的根本方法——以坐标系为桥梁，把几何对象及其关系代数化，通过代数运算研究几何性质，实现“形”与“数”的双向转化。 圆的方程是同一几何对象的多种代数表征；圆的一般方程与标准方程可以等价互化，其不变内核是圆心与半径。一个二元二次方程是否表示圆，取决于其二次项系数、一次项与常数项之间的结构关系。 单元大问题： 怎样通过方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系？坐标法研究几何问题的一般步骤是什么？ 本课大问题： 圆的方程有哪些代数形式？它们如何互相转化？一般方程在什么问题中更具优势？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 3 内容解析 数学本质： 圆的一般方程是圆的标准方程的代数展开形式，也是特殊的一类二元二次方程。通过坐标法将圆的几何特征（定点、定长）转化为代数方程的结构特征，并借助配方法实现从代数形式回到几何性质的还原。 配方转化思想：通过配方，实现圆的标准方程（凸显几何要素：圆心、半径）与一般方程（凸显代数形式：二元二次方程）的互化，代数变形背后是几何意义的等价转换。 分类思想：对二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，依据判别式D2+E2-4F的符号分类，对应圆、点、无轨迹三种几何形态，理解代数方程的退化情形。 待定系数法思想：圆无论标准还是一般方程，都含有三个独立参数，确定一个圆需要三个独立条件，通过建立方程组求解参数，是解析几何求曲线方程的通性通法。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 4 【环节一】锚定大问题，构建整体学习视野 核心问题： 在坐标法视角下，一个关于 x、y 的二元二次方程何时能表示圆？我们如何借助方程的一般形式实现对圆的完整代数刻画？ 子问题 子问题 1：圆的标准方程展开之后得到什么代数形式？它是哪一类代数方程？ 子问题 2：任意二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆吗？满足什么条件才是圆？ 子问题3：圆的标准方程与一般方程各有什么优势？ 什么场景选择标准方程，什么场景选择一般方程？ 子问题4：已知几何条件，如何用待定系数法求圆的一般方程？ 子问题5：如何利用坐标法求解与圆有关的动点轨迹问题？ 子问题6：从直线方程到圆方程，坐标法研究曲线的共同路径是什么？ 这对后续学习直线与圆的位置关系、圆锥曲线有何启示？ 共同路径：建系设点 → 几何条件代数化 → 得到方程 → 方程变形识别几何性质 → 应用. 【环节二】展开·一般式的结构特征 结论：任何一个圆方程都可以化成 形式 下列方程表示什么图形？ （1）； （2）； （3）. 【环节三】配方·二元二次方程表示圆的条件 是否表示圆？ 表示圆 表示点 不表示任何图形. 配方可得： 【环节三】配方·二元二次方程表示圆的条件 当D2+E2-4F > 0时, 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 圆心 半径 1. 方程 x2与y2系数相同并且不等于0 2. 没有xy这样的二次项 说明： 叫做圆的一般方程. 【环节三】配方·二元二次方程表示圆的条件 教材第88页 【环节三】配方·二元二次方程表示圆的条件 解1：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为 则 ∴过O, M1, M2的圆方程为 例1 求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标. 【环节四】择法·三点定圆与形式选择 解2：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为 则 ∴过O, M1, M2的圆方程为 例1 求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标. 【环节四】择法·三点定圆与形式选择 解3：(几何方法) • l′ • x O(0,0) y • M1(1,1) • M2(4,2) l 【环节四】择法·三点定圆与形式选择 例1 求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标. 跟踪练习 解析 【环节四】择法·三点定圆与形式选择 求圆的方程 1. 待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组求出 步骤是： ① 设——根据题意, 选择标准方程或一般方程； ② 列——根据条件列出关于或D, E, F的方程组； ③ 解——解方程组，求出或D, E, F； ④ 代——将所求代入所设方程，得圆的标准或一般方程． 各有什么优势？ 【环节四】择法·三点定圆与形式选择 例2： 如图, 在四边形ABCD中, AB=6, CD=3, 且AB//CD, AD=BC, AB与CD间的距离为3. 求等腰梯形ABCD的外接圆的方程, 并求这个圆的圆心坐标和半径. 解: 设圆的方程为: 因为A, B, C都在圆上, 所以其坐标都满足圆的方程,即 圆的方程: 即: 圆心: 半径: 【环节五】轨迹应用，深化坐标法 16 习题2.4（第88页） 阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。 【环节五】轨迹应用，深化坐标法 例3 分析 注：动点的运动轨迹方程是指动点的坐标满足的关系式 f (x,y)=0． 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）． 【环节五】轨迹应用，深化坐标法 点A的运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足圆的方程(x+1)2+y2=4.建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条件,从而求出点M的轨迹方程. 例3 解 析 ①设坐标 ②找关系 ③代方程 ④标准化 【环节五】轨迹应用，深化坐标法 解法2： ∴ 线段AB的中点M轨迹是以 为圆心、1为半径的圆. 【环节五】轨迹应用，深化坐标法 例3 归纳总结 第 1 步 设坐标：设所求动点坐标为，另一动点为； 第 3 步 代方程：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； 第 4 步 标准化：将所得新的方程进行整理成标准化方程； 相关点法求动点的轨迹方程： 特征：双动点问题，已知一个动点的轨迹方程，求另一个动点的轨迹方程，比如该题点A与点M均为动点，点M随着点A的运动而运动 第 2 步 找关系：根据已知条件找到的等式关系； 【环节五】轨迹应用，深化坐标法 3. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的参数方程为： 方程特征：直接体现了圆上点的坐标x、y的间接关系. 圆的三种方程 【环节五】轨迹应用，深化坐标法 2. 圆的标准方程 1. 圆的一般方程 习题2.4（第88页） 【环节五】轨迹应用，深化坐标法 解法3： 设 M(x，y) ， A(x0，y0) ， ∴ ∵点 A 在圆 (x＋1)2 ＋y2＝4上 ， 又 B(4, 3)， 由中点坐标公式得 消参数得 ∴ 线段AB的中点M轨迹是以 为圆心、1为半径的圆. 【环节五】轨迹应用，深化坐标法 例3 情境引入： 课堂小结 本节课你学习到了什么？ （知识？方法？思想？） 25 圆的一般方程： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 （D2+E2-4F>0） (x – a)2 + (y – b)2 = r2 圆的标准方程： 重“形” 重“数” 【环节六】：结构归纳，形成整体知识网络 圆的标准式方程与圆的一般式方程 展开 配方 圆的参数方程 参数方程侧重动态生成：点随参数变化而运动， 直接体现曲线是动点的轨迹 求圆的方程的方法： 几何法 求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线） 求半径 （圆心到圆上一点的距离） 写出圆的标准方程 待定系数法 列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组 解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程） 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程; 若已知圆经过两点或三点,通常设为一般方程; 【环节六】：结构归纳，形成整体知识网络 01 02 03 基础：教科书第88页练习第1-3题. 提升：教科书第88页习题4.2第4、5题. 第89页习题4.2第7、9题. 拓展：阅读教材 P89“阅读与思考 ——坐标法与数学机械化”或教师提供的补充材料，回答： 坐标法为什么被称为解析几何的“根本方法”？它对你理解“直线和圆的方程”这一章的结构有什么帮助？请用 200 字左右的文字简要陈述你的理解。 情境引入： 课后作业 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 追问1：将标准方程展开后是什么形式？它有哪些结构特征？ x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 令D= -2a,E= -2b,F=a2+b2-r2, 方程变为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 问题1：写出圆心是C(a,b)、半径为r(r>0)的圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 追问2：任意一个二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆？ 追问3：二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？是否表示圆？ 结论：二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定是圆的方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0. $