安徽淮南第一中学、第四中学等五校2026-2027学年高二上学期10月大联考数学试卷(A)

高二数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教版必修第二册，选择性必修第一册第一章、第二章第二节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．复数，则 A． B． C． D． 3．已知向量，，若，共线，则 A．15 B．12 C．10 D．7 4．已知是空间的一个基底，则下列各组向量中，能构成空间基底的一组是 A．，， B．，， C．，， D．，， 5．已知直线经过点和点，且直线的一个方向向量为，则 A． B． C． D． 6．过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 A． B． C．或 D．或 7．已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 A． B． C． D． 8．已知点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是 A．一组数据：，，，，，，的分位数为 B．若事件A与事件B是对立事件，则 C．若，则事件A与事件B一定是对立事件 D．若事件A与B独立，，，则 10．光线自点射入，经直线：反射后经过点，则 A．入射光线所在直线的方程为 B．反射光线所在直线的方程为 C．入射光线所在直线与夹角的正切值为 D．入射光线所在直线与反射光线所在直线的夹角的正切值为 11．如图，长方形，的长，宽，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在长方形对角线，上移动，且和的长度保持相等．记（），是线段上一点，则 A．当时，的长为 B．长度的最小值为 C．三棱锥与三棱锥的体积相等 D．存在，使得直线与所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量，满足，与的夹角为，则在方向上的投影向量的模为 ． 13．若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度，所得直线与直线重合，则直线的斜率是 ． 14．如图，在多面体中，平面平面，四边形和均为正方形，且，若该多面体的外接球为球，则平面截球所得截面的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知直线经过点． （1）若直线与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程． 16．（本小题满分15分） 在四面体中，，． （1）求的值； （2）已知是线段中点，点满足，求线段的长． 17．（本小题满分15分） 在中，内角、、的对边分别为、、，已知． （1）证明：； （2）若，且的面积为，求角的大小及的周长． 18．（本小题满分17分） 已知直线：． （1）证明：不论为何实数，直线恒过一定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的负半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 19．（本小题满分17分） 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为（）的直线的方程为． （1）已知平面的方程为，直线的方向向量为，求直线与平面所成角的大小； （2）已知平行六面体的体积为6，底面是边长为2的菱形，侧棱与底面所成角为，二面角是锐角，，与交于点，．以为原点，，所在直线分别为轴，轴，过且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （i）证明：平面； （ii）求平面的方程； （iii）求平面与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D C D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD BCD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．解：（1）因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为，， 3分 将点代入，得，解得， 5分 故直线的一般式方程为． 6分 （2）由题知，直线的斜率为， 7分 设直线的斜率为， 由题意知，即，解得． 9分 又因为直线经过点， 由点斜式得， 11分 整理得， 故直线的一般式方程为． 13分 16．解：（1）设，，， 则，且． 2分 ，， 3分 所以． 5分 （2）因为是中点，所以． 6分 由，得， 8分 所以， 10分 所以 ， 14分 所以线段的长为． 15分 17．（1）证明：由得． 3分 因为，所以， 4分 则，即， 5分 由正弦定理得． 6分 （2）解：由（1）知，又，所以． 7分 因为的面积，所以，得． 9分 因为，所以或． 10分 由余弦定理，得． 11分 当时，，所以，， 又，所以； 13分 当时，，即，与，矛盾，舍去． 14分 综上，，的周长为． 15分 18．（1）证明：将直线的方程整理为． 1分 由， 解得，， 3分 所以不论为何实数，直线恒过定点． 4分 （2）解：当时，直线：，不经过第四象限，符合题意； 5分 当时，直线：， 由不经过第四象限可知，解得． 7分 综上，的取值范围为． 8分 （3）解：设直线与轴负半轴交于，与轴负半轴交于，，． 直线的截距式方程为，即． 因为直线恒过，代入得，即． 10分 三角形面积． 11分 由基本不等式，，所以，． 12分 当且仅当时等号成立，即． 代入，得，所以，． 14分 此时直线过点，， 15分 方程为，化简得． 该直线对应参数，所以直线的方程为． 17分 19．（1）解：因为平面的方程为， 所以平面的法向量可取， 1分 设直线与平面所成角的大小为， 又直线的方向向量为， 2分 所以， 3分 又，所以， 即直线与平面所成角的大小为． 4分 （2）（i）证明：连接交于点，连接， 在平行六面体，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 5分 又为的中点，为的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 6分 又平面，平面， 所以平面． 7分 （ii）解：设平行六面体的高为，体积为， 则， 所以， 8分 又，， 所以，，， 所以，． 设，则， 则，， 又， 所以，所以． 10分 因为与底面所成角为， 平面的一个法向量为， 所以， 又，，由二面角是锐角知，所以， 11分 所以，， 设平面的一个法向量为， 则， 取一个法向量， 12分 又点， 所以平面的方程为， 即． 13分 （iii）解：由（ii）知，平面的一个法向量， ，， 14分 设平面的一个法向量为， 则， 取一个法向量， 15分 所以， 16分 所以平面与平面所成角的正弦值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $