3.1.1函数的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1 函数的概念 授课人：XXX 第三章 函数的概念与性质 2026/10/17 1 天宫二号发射过程中，离发 射点的距离随时间的变化； 我国高速铁路营业里程逐 年增加，已突破2万公里. 客观世界中有各种各样的运动变化现象，例如： 月份 9 10 11 12 数学成绩 60 90 100 120 数学成绩随时间的变化 创设情境“话”函数 设在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都 有唯一的值与之对应，则称y是x的函数，其中x是自变量， y是因变量。 1.初中函数的定义是什么？ 2.在初中学过哪些函数？ 创设情境“话”函数 问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 ： 思考： (1)有人说：“根据对应关系这趟列车加速到350km/h后， 运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？ (2)变量t和s的取值范围分别是什么？ S=350t 对于 ，按照 的对应关系 ，在 都有唯一确定的路程S和它对应，那么就说S是t的函数． 数集A1中的任一时刻t S=350t 数集B1中 实例分析“生”函数 (3)如何用更精确的语言来描述S与t的函数关系呢？ 问题2 某电气维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如果工人的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资W是他工作天数d的函数吗？ W=350d A2={1,2,3,4,5,6} B2={350,700,1050,1400,1750,2100} 对于 ，按照 的对应关系 ，在 都有唯一确定的工资W和它对应，那么就说W是d的函数． 数集A2中的任意一个天数d W=350d 数集B2中 实例分析“生”函数 追问：问题1与问题2中的函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗? S=350t W=350d A2={1,2,3,4,5,6} B2={350,700,1050,1400,1750,2100} (3)若两个函数相同，需满足什么条件? 对应关系相同 自变量的集合相同 函数值的集合相同 问题1和问题2的解析式一致，但自变量的取值范围不同，所以是两个不同的函数. 实例分析“生”函数 问题3　如图是某市某日的空气质量指数（Air Quality Index简称AQI）变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数（ AQI ）的值I？这里的I是t的函数吗？ 实例分析“生”函数 探究一：仿照问题1、2，用集合语言与对应关系继续探究问题3、4，请各小组自由讨论,并将讨论的结果填写在导学案上. 问题4 国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额×100%）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化的情况. 你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法给出精确的刻画吗？ 年份y 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 恩格尔系数r(%) 32.0 30.1 30.0 29.7 29.3 28.6 27.7 27.6 29.2 28.6 定义域是集合A 值域是集合B的子集 小组讨论，总结四个实例共同特征，尝试用集合语言与对应关系概括出函数概念的本质特征. 探究二： 辨析1 定义域是什么？值域是集合B吗？ 实例分析“生”函数 剖析概念“辨”函数 允许“一对一”“多对一”， 不能“一对多” 辨析3： 剖析概念“辨”函数 下列图象能够作为函数y=f(x)的图象的有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 √ 剖析概念“辨”函数 经历实践“用”函数 函数 定义域 对应关系 值域 一次函数 二次函数 反比例函数 例1.写出下列函数的三要素 求下列函数的定义域 跟踪练习1 经历实践“用”函数 经历实践“用”函数 例2.函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和规律。 你能构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述吗？ 总结反思“悟”函数 生活实例 函数的概念、三要素 数形结合、类比归纳、抽象概括 用概念判断函数、构建实际问题情境 知识层面 思想方法 分层拓展“练”函数 伽利略（Galileo Galilei） 在17世纪早期，由于天文学和航海事业的发展，科学家以解释地球和天体运动作为研究课题，推动了函数概念的发展.1638年意大利科学家伽利略（Galileo Galilei）第一个提出了函数或称为变量关系的这一理念. 函数的“前世今生” 溯源寻史“览”函数 莱布尼茨（Gottfried Leibniz） “function（函数）”作为数学术语，是微积分奠基人之一、德国哲学家、数学家莱布尼茨（Gottfried Leibniz）在他1673年的手稿《切线的逆方法或函数方法》（Methodus tangentium inversa seu de functionibus）中首次使用. 莱布尼茨微分学手稿 创设情境“话”函数 李善兰(1811-1882) 中文的“函数”一词是1859年中国清代数学家李善兰在翻译《代微积拾级》时，由“function”创译的.他给出的理由是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即“函”为包含之意. 《代微积拾级》 创设情境“话”函数 伯努利（Johann Bernoulli） 1718年，瑞士数学家伯努利（Johann Bernoulli）在关于等周问题的一篇论文中，把函数定义为：一个变量的函数是指由这个变量和某些常量以任何一种方式组成的量.这是历史上第一个正式发表的明确的函数定义. 伯努利和大数定律 创设情境“话”函数 欧拉（Leonhard Euler） 1755年，瑞士数学家、物理学家欧拉（Leonhard Euler）在《微分学原理》的序言中进一步给出了函数的定义： 当变量以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数. 这就是人们通常称为函数定义的“变量说”. 创设情境“话”函数 狄利克雷（Dirichlet） 在1837年，德国数学家狄利克雷再次拓展了函数的定义，他指出：“对于在某个区间上的每一个确定的x的值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数”，从依赖到对应，人们认为函数概念、函数本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义. 创设情境“话”函数 康托尔（Cantor） 在19世纪，随着德国数学康托尔创立集合论，美国数学家维布伦用“集合”与“对应”给出了近代函数定义，当然随着物理学等科学研究的需要，函数的概念还在进一步发展，真诚的希望，在座的同学们，也能像这些科学家一样，继续为函数概念的发展做出新的贡献. 创设情境“话”函数 160713.17 $