3.1.1函数的概念(定义域专题)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课前读背 函数的概念与性质 函数的概念：设A、B是非空实数集，若对于A中任意一个数x，按照确定的对应关系f，在B中都有唯一确定的数y与之对应，则称f：A→B为从A到B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。 2 3.1.1 函数的定义域 人教A版 · 高中数学必修第一册 六大题型全归纳 · 例题精讲 · 方法总结 1 知识回顾：什么是函数的定义域 函数的概念与性质 • 函数三要素：定义域、对应关系、值域 • 定义域：自变量 的取值范围 • 定义域是函数存在的前提，研究函数先看定义域 • 求定义域：使解析式有意义的所有 的全体 • 有多个限制条件时，所有条件必须同时满足（取交集） • 表示方法：集合 或区间 2 定义域题型全归纳（本课目录） 共 6 大题型 题型一　单一限制型：分式、偶次根式、零次幂 题型二　多重限制型：多个条件取交集 题型三　抽象函数型：括号内整体不变 题型四　含参恒成立：已知定义域求参数 题型五　实际问题型：由实际意义定范围 题型六　判断同一函数：定义域优先 3 题型一：单一限制型（分式 / 偶次根式 / 零次幂） 【例1】 求函数 的定义域。 解：要使式子有意义，需分母不为零，即 ，解得 。 所以定义域为 ， 即 。 注意：定义域用集合或区间表示，两种写法都对。 4 题型一：单一限制型（分式 / 偶次根式 / 零次幂） 【例2】 求函数 的定义域。 解：要使式子有意义，需被开方数非负，即 ， 解得 。 所以定义域为 。 注意：端点 能取到，用闭区间。 5 题型一：单一限制型（分式 / 偶次根式 / 零次幂） 【练习1】 求函数 的定义域。 答案：需 ，即 。 所以定义域为 ， 即 。 6 题型一：单一限制型（分式 / 偶次根式 / 零次幂） 【练习2】 求函数 的定义域。 答案：需 ，即 。 所以定义域为 ，即 。 7 题型一 · 方法总结 单一限制型 ① 整式函数：定义域为 。 ② 分式：分母不为零。 ③ 偶次根式：被开方数大于等于零。 ④ 零次幂与负整数指数幂：底数不为零。 ⑤ 先列不等式（组），解出 ，最后写成集合或区间。 8 题型二：多重限制型——所有条件取交集 【例1】 求函数 的定义域。 解：需同时满足： 即 且 。 所以定义域为 ， 即 。 9 题型二：多重限制型——所有条件取交集 【例2】 求函数 的定义域。 解：需同时满足： 注意：根号在分母上，被开方数要大于零；零次幂底数不为零。 即 且 ， 所以定义域为 ，即 。 10 题型二：多重限制型——所有条件取交集 【练习1】 求函数 的定义域。 答案：需 且 ， 即 且 。 所以定义域为 。 11 题型二：多重限制型——所有条件取交集 【练习2】 求函数 的定义域。 答案：由 得 或 ；又 。 所以定义域为 。 12 题型二 · 方法总结 多重限制型 ① 逐项找出所有限制条件，一个都不能漏。 ② 每个限制列一个不等式，组成不等式组。 ③ 用数轴求交集，注意端点能否取到。 ④ 根号在分母上：被开方数大于零（不取等号）。 ⑤ 结果有多个区间时，用 连接。 13 题型三：抽象函数的定义域——括号内整体不变 【例1】 已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解： 的定义域为 ，说明括号内整体的取值范围是 。 所以 ，解得 。 故 的定义域为 。 关键：定义域指 的范围，不是括号内的范围。 14 题型三：抽象函数的定义域——括号内整体不变 【例2】 已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解： 的定义域为 ，即 ， 所以 ， 即括号内整体的范围是 。 故 的定义域为 。 15 题型三：抽象函数的定义域——括号内整体不变 【练习1】 已知 的定义域为 ，求 的定义域。 答案：由 得 。 所以定义域为 。 16 题型三：抽象函数的定义域——括号内整体不变 【练习2】 已知 的定义域为 ，求 的定义域。 答案：由 得 ，即括号内整体的范围为 。 再由 得 。 所以定义域为 。 17 题型三 · 方法总结 抽象函数型 ① 定义域永远指 的范围。 ② 括号内整体的范围由 的定义域决定，始终不变。 ③ 正向：已知 的定义域为 ，解 。 ④ 逆向：先由 的定义域求 的范围，即得定义域。 18 题型四：已知定义域求参数——转化为恒成立 【例1】 若 的定义域为 ，求 的范围。 解：定义域为 等价于 对一切 恒成立。 ① 当 时， 不恒成立，舍去； ② 当 且 ，即 时恒成立。 综上， 的取值范围为 。 19 题型四：已知定义域求参数——转化为恒成立 【例2】 若 的定义域为 ，求 的范围。 解：即 恒成立。 ① 当 时， 恒成立，符合题意； ② 当 时，由 得 ， 解得 。 综上，，即 。 20 题型四：已知定义域求参数——转化为恒成立 【练习1】 若 的定义域为 ，求 的范围。 答案：当 时， 有意义，符合题意； 当 时，由 得 。 综上，。 21 题型四：已知定义域求参数——转化为恒成立 【练习2】 若 的定义域为 ，求 的范围。 答案：需 对一切 恒成立，即 。 所以 ，即 。 22 题型四 · 方法总结 含参恒成立 ① “定义域为 ”等价于相应不等式对一切实数恒成立。 ② 二次项系数含参数时，先单独讨论系数为零的情形。 ③ 恒非负：二次项系数大于零且 。 ④ 恒正（如根号在分母上）：二次项系数大于零且 。 23 题型五：实际问题中的定义域——由实际意义定范围 【例1】 矩形的周长为 12，设一边长为 ，面积为 ，求 关于 的解析式及定义域。 解：另一边长为 ，所以 。 由实际意义： 且 ，解得 。 所以定义域为 。 注意：长度必须大于零，端点取不到。 24 题型五：实际问题中的定义域——由实际意义定范围 【例2】 用长 20 m 的篱笆靠墙围成一个矩形菜园（墙长 8 m），设垂直于墙的一边长为 m，求菜园面积 关于 的解析式及定义域。 解：平行于墙的一边长为 ，所以 。 由实际意义： 且 ， 解得 。 所以定义域为 。 25 题型五：实际问题中的定义域——由实际意义定范围 【练习1】 等腰三角形的周长为 12，底边长为 ，腰长为 ，求 关于 的解析式及定义域。 答案：由 得 。 由 且 得 。 所以定义域为 。 26 题型五：实际问题中的定义域——由实际意义定范围 【练习2】 边长为 1 的正方形铁皮，在四角各剪去一个边长为 的小正方形后做成无盖盒子，求体积 关于 的解析式及定义域。 答案：。 由 且 得 。 所以定义域为 。 27 题型五 · 方法总结 实际问题型 ① 先设变量，找出等量关系，写出解析式。 ② 再由实际意义列不等式：长度、面积、体积都大于零。 ③ 注意隐含限制：三角形两边之和大于第三边、墙长限制等。 ④ 端点是开是闭，要看实际意义能否取到。 28 题型六：定义域的应用——判断是否为同一函数 【例1】 判断 与 是否为同一函数。 解： 的定义域为 ； 需 ，定义域为 。 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数。 关键：先看定义域，再看对应关系。 29 题型六：定义域的应用——判断是否为同一函数 【例2】 判断 与 是否为同一函数。 解： 的定义域为 ； 的定义域也为 ，定义域相同； 又 ，对应关系也相同。 所以 与 是同一函数。 30 题型六：定义域的应用——判断是否为同一函数 【练习1】 判断 与 是否为同一函数。 答案： 的定义域为 ； 需 。 定义域不同，所以不是同一函数。 31 题型六：定义域的应用——判断是否为同一函数 【练习2】 判断 与 是否为同一函数。 答案：两个函数的定义域都是 ， 对应关系都是“平方”，定义域与对应关系都相同， 所以是同一函数（与自变量用什么字母无关）。 32 题型六 · 方法总结 定义域的应用 ① 判断同一函数：定义域相同、对应关系相同，缺一不可。 ② 先求定义域，防止漏掉“分母不为零”等条件。 ③ 再化简解析式后，比较对应关系。 ④ 与自变量用什么字母无关， 与 是同一函数。 33 方法总结（一）求定义域“五步法” 五步法 ① 看结构：整式、分式、偶次根式、零次幂、组合型。 ② 找限制：分母不为零；零次幂与负指数幂底数不为零； 　　　　　偶次根号内大于等于零（在分母上则大于零）。 ③ 列不等式组：一个限制对应一个不等式，不能遗漏。 ④ 求交集：借助数轴，注意端点能否取到。 ⑤ 写结果：用集合或区间表示；抽象函数记“括号内整体不变”。 34 方法总结（二）易错点与口诀 易错点 · 口诀 易错点：① 根号在分母上，被开方数取“大于零”。 　　　② 定义域为 时，忘了讨论二次项系数为零。 　　　③ 抽象函数中定义域指 的范围。 　　　④ 实际问题漏掉隐含限制，端点开闭写错。 口诀：整式全体实数，分式分母不零； 偶次根号非负，零次幂底不零； 多个条件交集，抽象整体不变； 实际问题看意义，同一函数域先行。 35 定义域优先，函数问题从定义域开始 36 $