精品解析：湖北武汉市光谷实验中学2026-2027学年九年级上学期数学10月阶段学情自测

26－27学年光谷实验九年级10月数学单元过关练习 满分：120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求． B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，直接代入解析式求解． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 3. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为30亿元，从2023年到2025年共经过2年． ∴2024年研发投入为亿元，2025年研发投入为亿元． 又∵2025年研发投入为50亿元． ∴列方程得． 4. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线经过平移得到，平移方法是：向左平移1个单位，再向下平移2个单位． 故选择：A． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础题目，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 6. 根据下列表格的对应值，判断方程（，、、为常数）一个解的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.02 0.08 0.16 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格，找出方程的值小于0变到大于0对应的范围即可． 【详解】解：时，， 时，， 方程的一个解的范围是． 7. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，分别计算，，时的函数值，再比较大小即可. 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 故选：D． 8. 已知和是方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ∴ ＝ ＝ ＝， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 9. 已知当时，二次函数的最小值为，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数顶点纵坐标小于，可知给定区间不包含对称轴，分区间在对称轴左、右两侧两种情况讨论求解． 【详解】解：将配方得 ∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为， ∴区间不包含对称轴， 分两种情况： ①当，即时，区间在对称轴左侧，随增大而减小， ∴当时，取最小值，代入得， 解得或， ∵， ∴ ②当，即时，区间在对称轴右侧，随增大而增大， ∴当时，取最小值，代入得， 解得或， ∵， ∴ 综上，的值为或． 10. 在中，为边的一点．动点从点出发以的速度，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动时间为，线段的长为与的函数图像如图2所示，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图像、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，由图像可知，当点P与点A重合时，，当点P与点C重合时，，且，过点作，交延长线于点，首先求出的长度，进而求出，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由图像可知，当点P与点A重合时，，当点P与点C重合时，，且， 过点作，交延长线于点，如下图， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 关于的一元二次方程的一个根是，则k=___． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=-2代入方程可得到关于k的一次方程. 【详解】把x=−2代入原方程得4−2(k+3)+k=0，解得k=−2 故答案为-2. 【点睛】此题考查根与系数的关系，解题关键在于把x=-2代入方程 12. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支． 【答案】8 【解析】 【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案． 【详解】解：设每个支干长出x根小分支， 根据题意可得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴每个支干长出8根小分支， 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 13. 已知抛物线y=-x2+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积=________. 【答案】2 【解析】 【详解】∵抛物线y=−x²+2， ∴当y=0时，−x²+2=0， ∴， ∴与x轴的交点坐标是(,0)，(−,0)； ∵x=0时，y=2， ∴抛物线与y轴的交点坐标为：C(0,2)； ∴△ABC的面积为：×2×2=2. 故答案是：2. 14. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝96t﹣1.2t2，那么飞机着陆后_____秒停下． 【答案】40 【解析】 【分析】直接利用二次函数的性质求出二次函数对称轴，即可得出答案． 【详解】解：s＝96t﹣1.2t2， 当t＝﹣＝＝40（秒）时，s将取到最大值， 即飞机着陆后40秒停下． 故答案为：40． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数对称轴是解题关键． 15. 已知抛物线（，a，b，c为常数）经过点，，且满足，．下列四个结论：①；②；③抛物线上的两点，，当时，则；④关于x的方程无实数根．其中一定正确的是__________（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据抛物线经过点，，可得，对称轴为，推出，，再结合，，可判断①和②；根据抛物线上的两点，，且，结合抛物线的对称轴为，列出关于的不等式，求出的范围，可判断③；代入，到方程，再利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴，对称轴为， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； ∵， ∴抛物线的图象开口向下， ∵抛物线上的两点，，且， ∴， 解得：， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于x的方程无实数根，故④正确； ∴综上所述，一定正确的是①②④． 故答案为：①②④． 16. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换—旋转，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用偶次方非负数的性质即可解决问题． 【详解】解：作轴于点，轴于， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， 当时，有最小值为5， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）将一元二次方程进行因式分解，即可求出答案． （2）利用公式法，即可求出答案． 【小问1详解】 解：， 移项后进行因式分解得到：， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ∴方程有两个根， ∴， 解得，． 18. 利用一面墙（墙的长度不限），用的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边为，矩形的面积为． （1）若面积，求的长； （2）能围成面积为的矩形吗？说明理由． 【答案】（1）的长为或 （2）不能围成面积为的矩形， 理由如下：根据题意列方程， 整理得， ， 该一元二次方程无实数根， 不能围成面积为的矩形． 【解析】 【分析】（1）设矩形与墙垂直的一边为，则矩形与墙平行的一边为，再根据矩形的面积公式列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）根据矩形的面积公式列出关于的一元二次方程，再结合一元二次方程根的判别式判断即可． 【小问1详解】 解：设矩形与墙垂直的一边为，则矩形与墙平行的一边为， ∵面积， ∴， 整理得， 解得，， ∴的长为或； 【小问2详解】 略． 19. 利用函数的图像，解决下列问题： （1）方程的解为______，______； （2）当时，直接写出的取值范围是______； （3）当时，直接写出的取值范围是______； （4）方程有实数根，的取值范围是______． 【答案】（1）， （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）如图所示，识读二次函数图象，找到与轴交点，即可得出 、的值． （2）将二次函数化简成顶点式，得到二次函数最小值，再代入、算出对应的值，结合二次函数图象，即可得到的取值范围． （3）将代入函数图象中，得到对应的、的值，再结合函数图象，即可得到的取值范围． （4）方程要有实数根，就是要保证函数图像与轴有交点，化简成顶点式后要保证，据此列出不等式可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：如图所示，识读函数图象，找到与轴交点， 得到，． 【小问2详解】 解：将二次函数化简成顶点式：， 对称轴为，在处，求得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 【小问3详解】 解：将代入函数图象中，得到方程， 解得，， 再观察函数图象，在左边，随着的增大而减小，， 在右边，随着的增大而增大，， ∴当时，的取值范围是或． 【小问4详解】 解：方程有实数根，即函数图象与轴有交点，也就是最小值， 将二次函数化简成顶点式：， 在对称轴处，得到， 令，解得， ∴的取值范围是． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设、是方程的两根，是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且；（2）当时，成立． 【解析】 【分析】（1）根据方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，得出△>0，求出k的值，再根据k-1≠0，即可得出答案； （2）先假设存在实数k使得成立，根据根与系数的关系求出x1x2，与x1+x2的值，再把进行整理，求出k的值，从而得出答案． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即：， 解得：， 又∵， ∴的取值范围是：且； 假设存在实数使得成立： ∵，， ∴， 解得：，， 由知：且， ∴， 即：当时，成立． 【点睛】考查一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系，熟记公式 是解决本题的关键. 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，为上的点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务．每个任务的连线不超过六条． （1）在图（1）中，先在上画点，连接，使；再在上画点，连接，使． （2）在图（2）中，先画；再在上画，两点，使，． 【答案】（1） （2） 其他方法： 【解析】 【分析】（1）取点左边两格的格点，则根据垂直平分线的性质得到，即可得到；连接交竖直格线于点，连接并延长交于点，根据垂直平分线的性质得到，则，即可证明得到，即可得到，则，得到，延长交于点即可得到． （2）取点左边格的格点，连接，即可根据和得到；先根据点与点上下距离固定确定中点，连接并延长交于，由得到，，即可证明，得到，再由得到；设与竖直格线交于点，根据点与点左右距离固定确定中点，根据点与点上下距离固定确定中点，则是的中位线，得到，根据的中位线过点，结合过点有且只有一条直线与平行得到是的中位线，即是中点，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，结合，设解析式为，确定a的值即可； （2）根据解析式，得到，求出于x轴的正半轴的交点坐标的横坐标即可解答即可； （3）根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，得到，抛物线变形为，计算米，米，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 又，设解析式为， 故， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据解析式，得到， 故， 解得，（舍去）， 答：运动员落水点与点C的距离米． 【小问3详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为， 把代入，得到， 抛物线变形为， 当时，， 解得； 当时，， 解得． 故k的范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线与一元二次方程，抛物线与不等式，抛物线的生活应用，熟练掌握应用是解题的关键． 23. 已知：在正方形中，点、、分别在正方形的三边上，且，与交于点，． （1）如图1，当点和点重合时，求证：； （2）如图2，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在边上，连接，与交于点，，，求的长． 【答案】（1）证明：在正方形中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：作，交于点N， 在正方形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，进而证明，即可证明结论； （2）作，交于点N，证明，进而证明，得出，即可证明结论； （3）作交于点M，设，则，根据勾股定理求出，证明，求出，设，则，列方程求出，再根据勾股定理求出，最后证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作交于点M， 由（2）知，，， 与（1）同理，， ∵， ∴， ∵， 设，则， 在中，， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴， ∵， ∴， ． 24. 抛物线交轴于两点，交轴于点．直线经过、两点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）若点是抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． （3）若点是抛物线上的一个动点，且交抛物线于点，直线与直线交于点，问点运动过程中点的轨迹． 【答案】（1）抛物线的函数解析式为 （2） （3）点的轨迹为在直线上运动，且不包括点 【解析】 【分析】（1）把代入计算即可； （2）求出直线表达式为，设，则，，求出，列方程求出即可； （3）设，求出直线表达式为，直线表达式为，直线表达式为，求出，由得出，代入得出点在直线上运动，最后根据点不能与点重合得出轨迹中不包括的两点． 【小问1详解】 解：把代入， ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线，当时，， ∴， 把，代入， ， 解得：， ∴直线表达式为， 设，则，， ， ∵， ∴， 解得：（不合题意舍去），， ； 【小问3详解】 解：设， 设直线表达式为，把，，代入， ， 解得：， ∴直线表达式为， 同理，直线表达式为， 直线表达式为， 联立，， 则 ， 解得：，即， ∵直线表达式为，， ∴， ∴， ∴把代入， ∴点在直线上运动，， ∵点不能与点重合， ∴且， ∴且， 即点运动过程中点的轨迹为在直线上运动，且不包括点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26－27学年光谷实验九年级10月数学单元过关练习 满分：120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 根据下列表格的对应值，判断方程（，、、为常数）一个解的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.02 0.08 0.16 A. B. C. D. 7. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知和是方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9. 已知当时，二次函数的最小值为，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 10. 在中，为边的一点．动点从点出发以的速度，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动时间为，线段的长为与的函数图像如图2所示，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 4 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 关于的一元二次方程的一个根是，则k=___． 12. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支． 13. 已知抛物线y=-x2+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积=________. 14. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝96t﹣1.2t2，那么飞机着陆后_____秒停下． 15. 已知抛物线（，a，b，c为常数）经过点，，且满足，．下列四个结论：①；②；③抛物线上的两点，，当时，则；④关于x的方程无实数根．其中一定正确的是__________（填写序号） 16. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为_______． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 解下列一元二次方程 （1） （2） 18. 利用一面墙（墙的长度不限），用的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边为，矩形的面积为． （1）若面积，求的长； （2）能围成面积为的矩形吗？说明理由． 19. 利用函数的图像，解决下列问题： （1）方程的解为______，______； （2）当时，直接写出的取值范围是______； （3）当时，直接写出的取值范围是______； （4）方程有实数根，的取值范围是______． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设、是方程的两根，是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，为上的点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务．每个任务的连线不超过六条． （1）在图（1）中，先在上画点，连接，使；再在上画点，连接，使． （2）在图（2）中，先画；再在上画，两点，使，． 22. 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 23. 已知：在正方形中，点、、分别在正方形的三边上，且，与交于点，． （1）如图1，当点和点重合时，求证：； （2）如图2，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在边上，连接，与交于点，，，求的长． 24. 抛物线交轴于两点，交轴于点．直线经过、两点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）若点是抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． （3）若点是抛物线上的一个动点，且交抛物线于点，直线与直线交于点，问点运动过程中点的轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $