精品解析：湖北省武汉外国语学校2025—2026学年九年级上学期2月学情自测数学试题

2025—2026学年九年级上学期2月学情自测数学试题 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 在实数（1和3之间的2逐次加1个）钟，无理数的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示： 鞋的尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 2 3 4 12 6 1 2 若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 7. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ） A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 8. 如图，BD是⊙O的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若∠COD＝126°，，则∠AGB的度数为（ ） A. 98° B. 103° C. 108° D. 139° 9. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 10. 已知抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 抛物线与 轴的另一个交点是 C. 方程有两个相等的实数根 D. 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 把多项式分解因式的结果是___________． 12. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是______． 13. 把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在 轴上，斜边与 轴的夹角，若，当点，同时落在反比例函数图象上时，则的值为______． 14. 化简的结果为________． 15. 在中，，将沿折叠得到，延长交于点E，若，则的值为_______． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，是它的一条对角线． （1）求证：； （2）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点 ，（不写作法，保留作图痕迹）； 18. 某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： （1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ （2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 19. 为了丰富学生的业余生活，学校准备利用大课间时间给同学们准备以下几种活动：A．跳绳、B．打乒乓球、C．长跑、D．踢足球．随机抽取了九年级的部分同学，调查他们在这四个活动中最感兴趣的一个，并绘制了以下两幅不完整的统计图，如图所示：请你根据以上信息．解答下列问题： （1）本次调查的总人数为人，C所占的百分比为 ． （2）请补全条形统计图； （3）根据本次调查估计该校九年级共有1200名学生中对B打乒乓球最感兴趣的学生人数？ 20. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点P，且点P的横坐标为2． （1）求反比例函数的解析式； （2）在第一象限内是否存在点Q，使得以B、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由． 21. 如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 22. 如图1是某公园喷水头喷出的水柱．如图2是其示意图，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙（点O，M，N在同一直线上）．建立如图2所示的平面直角坐标系．已知浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． 某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 14 16 y 0 （1）根据上述数据，求这些数据满足的函数关系式． （2）判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由． （3）在另一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出b所满足的关系式． 23. 在数学实践课上，杨老师带领同学们开展了如下活动： 【具体操作】 如图，准备一张矩形纸片（），先用对折的方式确定边的中点E，再沿折叠，点B落在点F处，把纸片展平，延长交边于点G，连接． 【思考判断】 （1）求证：平分； （2）求证：； 【拓展探索】 （3）设，若，求m的值． 24. 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过点、，已知B点坐标为，点在抛物线上，设点的横坐标为． （1）求抛物线与直线的解析式； （2）如图1，连接，若是直角三角形，求点P的坐标； （3）如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年九年级上学期2月学情自测数学试题 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 在实数（1和3之间的2逐次加1个）钟，无理数的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：,, 、、、是无理数，共4个． 故选：C． 2. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判定几何体的形状，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据主视图、左视图、俯视图的概念即可求解． 【详解】解：根据某几何体的三视图可知这个几何体是： 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案． 【详解】A． ，故该选项计算错误，不符合题意， B． ，故该选项计算正确，符合题意， C． ，故该选项计算错误，不符合题意， D． ，故该选项计算错误，不符合题意， 故选：B． 4. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、多边形外角性质以及三角形内角和定理，构造三角形是解决问题的关键． 根据正六边形得到，利用三角形内角和求出的度数，根据平行线的性质得出． 【详解】如图，延长交于点H， ∵六边形是正六边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 故选：D． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出各个不等式的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 6. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示： 鞋的尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 2 3 4 12 6 1 2 若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数． 根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数． 【详解】因为众数是在一组数据中出现次数最多的数， 又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量， 所以该店主最应关注的销售数据是众数． 故选：C． 7. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ） A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用 个大箱， 个小箱，利用每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案． 【详解】解：设用 个大箱， 个小箱， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为： 或， ∴所装的箱数最多为箱； 故选C． 8. 如图，BD是⊙O的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若∠COD＝126°，，则∠AGB的度数为（ ） A. 98° B. 103° C. 108° D. 139° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，，结合，得到，最后根据三角形的外角计算的度数． 【详解】解：∵BD是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，圆周角所对的弦是直径，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，对角线 、相交于点O，点E在线段上，连接 ，若，，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质，，，再利用勾股定理可得，根据线段和差可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 10. 已知抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 抛物线与 轴的另一个交点是 C. 方程有两个相等的实数根 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．由题意可得抛物线的对称轴为直线，即，抛物线有最大值3，再根据函数图象的对称性可得抛物线与x轴的另一交点坐标为，即B选项错误；再说明，即可判定A选项；根据二次函数与一元二次方程的关系可得判断C选项；由可结合即可判定D选项． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点， ∴抛物线的对称轴为直线，即，抛物线有最大值3， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，即B选项错误； ∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，即， ∵抛物线有最大值3， ∴，， ∴，所以A选项错误； ∵抛物线有最大值3， ∴有两个相等的实数根，即C选项正确； ∵， ∴. ∵， ∴，， 又， ∴，故D选项错误. 故选C． 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 把多项式分解因式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查综合运用提公因式法与公式法分解因式，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先提取公因式 ，再利用平方差公式继续分解即可； 【详解】解： ； 故答案为：； 12. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查画树状图法求等可能事件的概率；画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等． 两本是《三国演义》和《西游记》的结果有2种， 所以P（两本是《三国演义》和《西游记》）． 故答案为：． 13. 把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点 在 轴上，斜边 与 轴的夹角，若，当点， 同时落在反比例函数图象上时，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，解直角三角形，数形结合，求出反比例函数图像上点的坐标是解决问题的关键．过点作轴于点，过点 作轴于点 ，解直角三角形求出、、、，设，则，利用反比例函数图像与性质列方程求解得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点 作轴于点 ， 在中，，， ， ， ，，， ，， ， 设，则， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 14. 化简的结果为________． 【答案】－1 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，掌握分式加减法则是关键；观察分母和互为相反数，通过变形将第二个分数化为同分母后相加即可． 【详解】解：； 故答案为 ． 15. 在中，，将沿 折叠得到，延长交于点E，若，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，延长 交于点 ，过点 作交射线于点，推出是等边三角形，设，求得，，证明，求得，由平行线分线段成比例求得，求得，利用勾股定理求得 的长，据此求解即可． 【详解】解：连接，延长 交于点 ，过点 作交射线于点，如图， ∵，将沿 折叠得到， ∴，，，， ∴是等边三角形，，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： 17. 如图，在中，是它的一条对角线． （1）求证：； （2）尺规作图：作的垂直平分线，分别交， 于点， （不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； （2） 如图所示，     【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，再由，即可证明； （2）利用线段垂直平分线的作法进行作图即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，基本作图，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法，线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 18. 某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： （1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ （2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 【答案】（1）特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元 （2）有3种方案，详见解析 （3）特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确计算求解． （1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可； （3）根据（2）中三种方案分别求解即可 【小问1详解】 解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元， 则， 解得：， 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元； 【小问2详解】 解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱， 则， 解得：， ∵ 为正整数， ∴， 故该商店有三种进货方案， 分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱； ②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱； ③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱； 【小问3详解】 解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时： 根据题意得， 解得：； 当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时： 根据题意得， 解得：（是小数，不符合要求）； 当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时： 根据题意得， 解得：（不符合要求）； 故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱． 19. 为了丰富学生的业余生活，学校准备利用大课间时间给同学们准备以下几种活动：A．跳绳、B．打乒乓球、C．长跑、D．踢足球．随机抽取了九年级的部分同学，调查他们在这四个活动中最感兴趣的一个，并绘制了以下两幅不完整的统计图，如图所示：请你根据以上信息．解答下列问题： （1）本次调查的总人数为人，C所占的百分比为 ． （2）请补全条形统计图； （3）根据本次调查估计该校九年级共有1200名学生中对B打乒乓球最感兴趣的学生人数？ 【答案】（1）160； （2）见解析 （3）420人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）将 方式人数除以 方式所占百分比即可求出本次调查的总人数；将 方式人数除以本次调查的总人数即可求出 方式所占的百分比； （2）将本次调查的总人数减去其他三组人数即可求出 活动方式的人数，再补全条形统计图即可； （3）将 方式所占比乘以1200即可估计该校九年级对 打乒乓球最感兴趣的学生人数． 【小问1详解】 解：∵(人)， ∴本次调查的总人数为160人； ∵， ∴ 所占的百分比为 故答案为：； 【小问2详解】 方式人数为：(人)， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 (人)， 答．估计该校九年级共有1200名学生中对 打乒乓球最感兴趣的学生人数有420人． 20. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点P，且点P的横坐标为2． （1）求反比例函数的解析式； （2）在第一象限内是否存在点Q，使得以B、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在．或 【解析】 【分析】（1）根据题意和待定系数法得出反比例函数的解析式即可； （2）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可． 【小问1详解】 解：与的图象在第一象限交于点，且点的横坐标为2， 当时，， ， ， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 在中，当 时， ， ， ， 当以 ，，，为顶点的四边形为平行四边形时，分两种情况： ①当为平行四边形的边时， 点在第一象限， ，， 点的坐标为，且， 点在点的下方， 点坐标为； ②当为平行四边形的对角线时，点在点的上方，可得点的坐标为， 或． 【点睛】此题是反比例函数的综合题，考查求反比例函数的解析式和反比例函数的性质以及平行四边形的性质，关键是根据待定系数法求得反比例函数的解析式是解题的关键． 21. 如图，在中，O为 上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与 相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． （1）求证： 为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：过点O作于点E， 于点D， ， ， ， ， 又 为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定和性质，切线长定理，全等与相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）过点O作于点E，根据题意证明，再证明，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据三角函数和勾股定理得到，再证明，根据三角形相似的性质得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， 则， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 22. 如图1是某公园喷水头喷出的水柱．如图2是其示意图，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙（点O，M，N在同一直线上）．建立如图2所示的平面直角坐标系．已知浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． 某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 14 16 y 0 （1）根据上述数据，求这些数据满足的函数关系式． （2）判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由． （3）在另一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出b所满足的关系式． 【答案】（1） （2）解：喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，理由如下： ∵当时， ， ∴喷水头喷出的水柱能够越过这棵树， （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式和函数性质的应用． （1）由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据表中数据计算时的函数值即可得到结论； （3）根据题意可知当时，当时即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据抛物线过原点，设抛物线解析式为， 把和代入得： ， 解得 ， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴当时，, ∴， 解得：； ∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外， ∴当时，， 即， 解得； ∴常数b的满足的关系式为：． 23. 在数学实践课上，杨老师带领同学们开展了如下活动： 【具体操作】 如图，准备一张矩形纸片（），先用对折的方式确定边 的中点E，再沿 折叠，点B落在点F处，把纸片展平，延长交边于点G，连接． 【思考判断】 （1）求证：平分； （2）求证：； 【拓展探索】 （3）设，若，求m的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，解直角三角形： （1）矩形和折叠的性质，得到，，进而推出，利用角平分线的判定即可得出结论； （2）同角的余角相等，得到，再根据，即可得证； （3），得到，根据，设，则，勾股定理得到，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵E为 的中点， ∴， ∵沿 折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）证明： ∵矩形， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过点 、 ，已知B点坐标为，点在抛物线上，设点的横坐标为 ． （1）求抛物线与直线的解析式； （2）如图1，连接，若是直角三角形，求点P的坐标； （3）如图2，若点在直线 下方的抛物线上，过点作，求的最大值． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为 （2）当为直角三角形时，点的坐标为或 （3）最大值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）分两种情况进行讨论，利用相似三角形的判定和性质进行求解； （3）构造相似三角形，表示出相关线段之间的数量关系，利用二次函数的性质求出最值． 【小问1详解】 解：将代入二次函数关系式得， ， 解得， ∴抛物线解析式为， 将 代入二次函数关系式， 求得， ∴， 假设直线 的解析式为， 将分别代入得， ， 解得：， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：①当时，如图所示，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当 时，， 解得或， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②当时，如图所示，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ③当时，点在以 为直径的圆上， 由勾股定理得， ∴圆的半径为， 由②得，， 由勾股定理得， ∵， ∴以 为直径的圆与抛物线无合适的交点， 即此种情况，点不存在，不符合题意； 综上，当为直角三角形时，p点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，过作轴交 于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 过E作轴交y轴于F， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设， ∴， ∴， 又∵， 即， ∵， ∴当时，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $