2.5.1 直线与圆的位置关系课后同步作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系课后同步作业 （限时：45分钟） 1．直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】A 【详解】圆的标准方程为，圆心是，半径为， 圆心到直线的距离：， 故直线与圆相离． 2．已知圆：上存在四个点到直线：的距离等于1，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆的圆心与半径，根据圆上存在4个到直线距离为1的点，推出圆心到直线的距离小于半径减1，代入点到直线距离公式求解b的范围 【详解】由圆可得，圆心为，半径. 若圆上存在四个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离满足， 根据点到直线的距离公式，，代入不等式得： ， 化简得，即，解得. 3．已知，，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的条件求出点的轨迹为圆，再结合直线与圆有公共点的等价条件，即圆心到直线的距离不大于半径，建立关于的不等式求解取值范围. 【详解】设点的坐标为. ∵ ，∴ ， 两边平方得 ， 展开整理得 ，即点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. ∵ 点在直线上， ∴ 直线与圆有公共点， ∴ 圆心到直线的距离， ，解得, 即实数的取值范围是. 4．过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点对应的点，写出以为直径的圆方程，两圆方程相减得到切点弦的直线方程；利用在已知直线上，消元整理，求出直线恒过的定点；定点在圆内部，当圆心到这条动直线距离最大（等于圆心到定点距离）时，弦长最小，用弦长公式算出最小值. 【详解】设，以为直径的圆：，展开：. 圆：.两式相减消去二次项，得到切点弦：. 因为在直线上，所以，即. 把代入：. 整理成参数分离形式： 令参数的系数与常数项同时为0：，解得，，即直线恒过定点. 定点在圆内部，动弦过，圆半径，弦长公式，为圆心到直线距离. 的最大值就是（当时），此时弦长最短： . 5．过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到曲线为圆心为，半径为2的下半圆，求出特殊位置时直线的斜率，数形结合得到答案 【详解】，两边平方得， 故曲线为圆心为，半径为2的下半圆， 如图所示， 当过点时，斜率为，当过点时，斜率为， 直线的斜率不存在时，此时直线与曲线有1个交点，不合要求， 设直线为， 若直线与相切，则，解得或0， 由图可知，直线与曲线有且仅有两个不同的交点， 则的斜率的取值范围是 6．已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用垂径定理结合条件求出，即得点的轨迹为圆，写出其轨迹方程即可. 【详解】如图，连接，则，且， 在中，，因， 故的中点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 其方程为. 7．已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点．    由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短． 计算． 最短弦长 8．（多选）已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（   ） A．若点在直线上，则直线与圆相切 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在圆内，且异于原点，则直线与圆相离 D．若点在圆上，则直线与轴，轴围成的三角形面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据点与圆的位置关系得到关于的等式或不等式，再通过圆心到直线的距离与半径的大小判断A，B，C；表示出三角形面积后利用基本不等式求面积的最小值判断D. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离， 选项A：点在直线上，则，此时，直线与圆相切，故A正确. 选项B：点在圆外，则，此时，直线与圆相交，故B错误. 选项C：点在圆内，则，此时，直线与圆相离，故C正确. 选项D：点在圆上，则.直线与轴交于（），与轴交于（）， 围成三角形的面积为.由，得，故， 当且仅当时取等号，面积最小值为1，故D正确. 9．（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相切 D．当时，直线平分圆 【答案】ABC 【详解】对于A选项，变形为， 故圆的半径为，A正确； 对于B选项，可以看出直线恒过点，B正确； 对于C选项，当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，等于半径， 即当时，直线与圆只有个公共点，即直线与圆相切，C正确； 对于D选项，当时，直线的方程为， 由于圆心不在上，故直线不平分圆，D错误. 10．（多选）已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得. 【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得， 故最大值为，A正确. AI对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得， 所以的最小值为，不是，故B错误； AI对C选项，过斜率为的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以， 因为，所以 ， 所以，故D正确. AI 11．已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 【答案】 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点在圆内，明确过圆内一点的最短弦为与该点和圆心连线垂直的弦，结合两点间距离公式与弦长公式求解即可. 【详解】由圆的方程可知，圆心，半径. ∵ ，∴ 点在圆内部. ∵ 过圆内一点的弦中，当直线与点和圆心的连线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小， ∴ 此时圆心到直线的最大距离， ∴ 最短弦长为. 12．已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为_________． 【答案】 【分析】将圆上存在两点使得为等边三角形，转化为圆心到点的距离满足几何不等式；利用切线构造直角三角形，结合三角函数建立的范围，代入坐标解二次不等式得到横坐标取值范围. 【详解】由圆，可得圆心为，半径， 点在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，由图形对称性可得， 过作圆的切线，切点为，连接、，则， 又，则，即， 也即， ，整理得， 解得， 即点的横坐标的取值范围为. 13．已知直线：过定点，若过点作圆：的切线有两条，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】先分离参数求出直线所过定点，利用二元二次方程表示圆的条件得到的初步范围，再根据能作两条切线说明点在圆外，代入点坐标列不等式，最后取两个条件的交集得到的取值范围． 【详解】由，得， 令，得，即直线过定点； 根据题意，圆：， 必有，解得或， 因为过点P作圆C的切线有两条，所以P在圆C的外部， 则有，解得， 综上，m的取值范围为． 14．已知圆，直线． (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)设直线与圆交于，两点，弦长，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）将圆化为标准方程，利用圆心到直线距离小于半径的条件建立关于的不等式． （2）用弦长与弦心距的关系把弦长范围转化为的范围，再代入点到直线距离公式求，并与相交条件取交集． 【详解】（1）将圆化为标准方程：，故圆心，半径． 直线化为一般式，所以圆心到直线的距离为． 直线与圆相交的充要条件是，因此． 两边均非负且，平方得，解得或． （2）由圆心到弦所在直线的距离为，弦长公式得． 由，得，即． 又且，所以． 由，得，故． 由，得． 方程的两根为，故或． 结合（1）的相交条件或，取交集得或． 15．在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 【答案】(1) (2)2或． (3)由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，，．    将与联立，可得， 即． 由判别式，得，解得． 则，．    设直线和的斜率分别为，．则所以直线和的斜率之和为定值． 【分析】（1）设点，利用直接法求轨迹方程即可； （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆，由三角形的面积公式及平方关系可得，取的中点，由半角公式可得，由锐角三角函数可得，即点到直线的距离为，设直线方程为，利用点到直线的距离公式列式求解即可； （3）设直线方程为，，，联立直线与圆的方程，利用韦达定理及直线的斜率公式计算直线和的斜率之和即可证明. 【详解】（1）设点．由，得， 即．    化简得，即的方程为． （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆． ，解得． 因为，所以．    取的中点，则，． 所以，即点到直线的距离为．    此时直线的斜率显然存在，设：． 由，得，解得或． 即直线的斜率为2或. （3）略 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系课后同步作业 （限时：45分钟） 1．直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 2．已知圆：上存在四个点到直线：的距离等于1，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知，，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（   ） A．若点在直线上，则直线与圆相切 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在圆内，且异于原点，则直线与圆相离 D．若点在圆上，则直线与轴，轴围成的三角形面积的最小值为 9．（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相切 D．当时，直线平分圆 10．（多选）已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 11．已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 12．已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为_________． 13．已知直线：过定点，若过点作圆：的切线有两条，则的取值范围为_________． 14．已知圆，直线． (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)设直线与圆交于，两点，弦长，求实数的取值范围． 15．在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $