4.2 认识一次函数 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版（2024）八年级上册 4.2 认识一次函数 同步练习 一、选择题 1．如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为（　　） A．y＝12x B．y＝18x C．y＝ D．y＝ 2．函数，一次函数和正比例函数之间的包含关系是（　　） A． B． C． D． 3．目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水已成为全球的共识．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出60滴水，每滴水约0.05毫升．小康洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水．设小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，则y与x之间的关系式是（　　） A．y＝0.05x B．y＝3x C．y＝60x D．y＝0.05x+60 4．已知函数y＝（m+2）是正比例函数，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 5．若等腰三角形的周长是10 cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y(单位：cm)与底边长x(单位：cm)之间的函数关系式的图象是 （      ） A． B． C． D． 6．八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为m，边的长为m．则与之间的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 7．在闭合电路中，通过定值电阻的电流I(A)是它两端的电压U(V)的正比例函数，其图象如图所示.当该电阻两端的电压为15 V时，通过它的电流为 A．12 A B．8 A C．6 A D．4 A 8．(2025・广州番禺区期末)下面的三个问题中都有两个变量： ①等腰三角形的底边长为3，底边上的高与它的面积； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量与放水时间； ③从地到地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度与铺设天数. 其中，变量与变量之间的函数关系是一次函数的是 （      ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．如图，菜农张大叔要用63米的篱笆围一个长方形的菜地，已知在菜地的一边AB上留有1米宽的入口.设AB的长为x，BC边的长为y，则y与x之间的函数解析式为 A．y＝ B．y＝32－x C．y＝63－2x D．y＝x 10．若函数y=(m-3)x|m|-2是正比例函数，则m的值为 （      ） A．3 B．-3 C．±3 D．不能确定 11．小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟45米的速度行走完了剩下的路程，那么小亮行走的路程y（米）与他行走的时间t（分）（t＞15）之间的函数关系正确的是（　　） A．y＝30t（t＞15） B．y＝900﹣30t（t＞15） C．y＝45t﹣225（t＞15） D．y＝45t﹣675（t＞15） 12．等腰三角形的周长是40 cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（　　） A．y＝﹣0.5x+20（ 0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20） C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20） 二、填空题 13．已知y=(m+2)+m+1是关于x的一次函数，则m=__________ . 14．若y=(a-1)x+a2-1是关于x的正比例函数，则a2025的值为__________. 15．下列说法正确的打“T”，错误的打“F”.__________ （1）若y=kx，则y是x的正比例函数；__________ （2）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数；__________ （3）若y=2(x-1)，则y是x-1的正比例函数； （4）若y=2x2，则y是x的正比例函数.__________ 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣4的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是__________ . 17．实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15 cm，底面的长是30 cm，宽是20 cm，容器内的水深为x cm．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10 cm，10 cm，y cm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2 cm时，x，y满足的关系式是　　． 三、解答题 18．已知△ABC的底边BC=8，当边BC上的高从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化. (1)写出△ABC的面积y与边BC上的高x之间的函数表达式，并指明它是什么函数； (2)列表格表示当x由5变到10时(每次增加1)，y的相应值； (3)观察表格，请回答：当x每增加1时，面积y如何变化？ 19．写出下列各题中y与x之间的函数表达式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)一棵树现在的高度为50厘米，每个月长高2厘米，x个月后这棵树的高度为y厘米； (2)某种大米的单价是2.2元/千克，花费y元与购买大米x千克之间的关系. 20．(课本练习P58　T1)写出下列各问题中的函数关系式,并指出它们是什么函数: (1) 三角形的面积$S\left( {\mspace{6mu} cm}^{2} \right)$是常数时，它的某一边的长$y(\mspace{6mu} cm)$是该边上的高$x(\mspace{6mu} cm)$的函数； (2) 百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩$t(\mspace{6mu} s)$(跑完全程的时间)的函数. 21．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的几组对应值： 所挂物体质量x(kg) 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y(cm) 18 20 22 24 26 28 (1)上述表格反映了两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？ (2)写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)的函数表达式． (3)当弹簧的长度为30 cm时，所挂重物的质量是多少（在弹簧的弹性范围内）? 22．端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售.经了解，进价与标价如表所示(单位：元/盒)： 种类 进价 标价 A 90 120 B 50 60 (1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围)； (2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3 000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？ 北师大版（2024）八年级上册 4.2 认识一次函数 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为（　　） A．y＝12x B．y＝18x C．y＝ D．y＝ 【答案】D 【解析】依题意有单价为24÷16＝（元）， 则有y＝． 故选：D． 2．函数，一次函数和正比例函数之间的包含关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x.y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量． 根据函数的定义知，一次函数和正比例函数都属于函数的范畴； 一次函数y＝kx+b的定义条件是：k.b为常数，k≠0，自变量次数为1．当b＝0时，则成为正比例函数y＝kx； 所以，正比例函数是一次函数的特殊形式； 故选：A． 3．目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水已成为全球的共识．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出60滴水，每滴水约0.05毫升．小康洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水．设小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，则y与x之间的关系式是（　　） A．y＝0.05x B．y＝3x C．y＝60x D．y＝0.05x+60 【答案】B 【解析】由题意得：y＝60×0.05x＝3x， 故选：B． 4．已知函数y＝（m+2）是正比例函数，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【答案】A 【解析】∵函数y＝（m+2）是正比例函数， ∴m2﹣3＝1，m+2≠0， 解得：m＝2． 故选：A． 5．若等腰三角形的周长是10 cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y(单位：cm)与底边长x(单位：cm)之间的函数关系式的图象是 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得 y=-x+5， 得2.5<y<5. 6．八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为m，边的长为m．则与之间的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意得，菜园三边长度的和为12m， ， ， ，， ， 解得， ， 故选：B． 7．在闭合电路中，通过定值电阻的电流I(A)是它两端的电压U(V)的正比例函数，其图象如图所示.当该电阻两端的电压为15 V时，通过它的电流为 A．12 A B．8 A C．6 A D．4 A 【答案】A 8．(2025・广州番禺区期末)下面的三个问题中都有两个变量： ①等腰三角形的底边长为3，底边上的高与它的面积； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量与放水时间； ③从地到地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度与铺设天数. 其中，变量与变量之间的函数关系是一次函数的是 （      ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解析】①等腰三角形的底边长为3，底边上的高与它的面积对应的函数关系式为，它是一次函数； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，设放水速率为，原有水量为，其中均为大于0的常数，那么泳池中的剩余水量与放水时间对应的函数关系式为，它是一次函数； ③从地到地铺设一段铁轨，设总工程量为，其中为大于0的常数，那么平均每日铺设长度与铺设天数对应的函数关系式为，它不是一次函数. 综上，变量与变量之间的函数关系是一次函数的是①②. 9．如图，菜农张大叔要用63米的篱笆围一个长方形的菜地，已知在菜地的一边AB上留有1米宽的入口.设AB的长为x，BC边的长为y，则y与x之间的函数解析式为 A．y＝ B．y＝32－x C．y＝63－2x D．y＝x 【答案】B 10．若函数y=(m-3)x|m|-2是正比例函数，则m的值为 （      ） A．3 B．-3 C．±3 D．不能确定 【答案】B 【解析】由题意得|m|-2=1，且m-3≠0，解得m=-3. 11．小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟45米的速度行走完了剩下的路程，那么小亮行走的路程y（米）与他行走的时间t（分）（t＞15）之间的函数关系正确的是（　　） A．y＝30t（t＞15） B．y＝900﹣30t（t＞15） C．y＝45t﹣225（t＞15） D．y＝45t﹣675（t＞15） 【答案】C 【解析】由题意可得：y＝30×15+45（t﹣15） ＝45t﹣225（t＞15）， 故选：C． 12．等腰三角形的周长是40 cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（　　） A．y＝﹣0.5x+20（ 0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20） C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20） 【答案】A 【解析】根据三角形周长等于三边之和可得：2y＝40﹣x， ∴y＝20﹣0.5x， 又∵x为底边， ∴x＜2y，x＞y﹣y， ∴0＜x＜20． 故选：A． 二、填空题 13．已知y=(m+2)+m+1是关于x的一次函数，则m=__________ . 【答案】2 【解析】由题意可得m2-3=1且m+2≠0，解得m=2. 14．若y=(a-1)x+a2-1是关于x的正比例函数，则a2025的值为__________. 【答案】-1 【解析】由题意得a2-1=0且a-1≠0，解得a=-1. 所以a2025=(-1)2025=-1. 15．下列说法正确的打“T”，错误的打“F”.__________ （1）若y=kx，则y是x的正比例函数；__________ （2）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数；__________ （3）若y=2(x-1)，则y是x-1的正比例函数； （4）若y=2x2，则y是x的正比例函数.__________ 【答案】F  ； T   ； T ； F 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣4的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是__________ . 【答案】y＝x﹣4 【解析】∵一次函数y＝2x﹣4的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令x＝0，得y＝﹣4，令y＝0，则x＝2， ∴A（2，0），B（0，﹣4）， ∴OA＝2，OB＝4， 过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB＝AF， ∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°， ∴∠ABO＝∠EAF， ∴△ABO≌△FAE（AAS）， ∴AE＝OB＝4，EF＝OA＝2， ∴F（6，﹣2）， 设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣4， 故答案为：y＝x﹣4. 17．实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15 cm，底面的长是30 cm，宽是20 cm，容器内的水深为x cm．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10 cm，10 cm，y cm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2 cm时，x，y满足的关系式是　　． 【答案】y＝（0＜x≤）或y＝（6≤x＜8） 【解析】①当长方体实心铁块的棱长为10 cm和y cm的那一面平放在长方体的容器底面时， 则铁块浸在水中的高度为8 cm， 此时，水位上升了（8﹣x） cm（x＜10﹣2＝8），铁块浸在水中的体积为10×8×y＝80y cm3， ∴80y＝30×20×（8﹣x）， ∴y＝， ∵y≤15， ∴x≥6， 即：y＝（6≤x＜8）， ②当长方体实心铁块的棱长为10 cm和10 cm的那一面平放在长方体的容器底面时， 同①的方法得，y＝， ∵y≤15， ∴≤15， ∴x≤， ∴0＜x≤， 故答案为：y＝（0＜x≤）或y＝（6≤x＜8） 三、解答题 18．已知△ABC的底边BC=8，当边BC上的高从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化. (1)写出△ABC的面积y与边BC上的高x之间的函数表达式，并指明它是什么函数； (2)列表格表示当x由5变到10时(每次增加1)，y的相应值； (3)观察表格，请回答：当x每增加1时，面积y如何变化？ 【答案】解　(1)y=BC·x=×8·x=4x.它是正比例函数. (2)列表如表. x 5 6 7 8 9 10 y 20 24 28 32 36 40 (3)由(2)可知，当x每增加1时，面积y增加4. 19．写出下列各题中y与x之间的函数表达式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)一棵树现在的高度为50厘米，每个月长高2厘米，x个月后这棵树的高度为y厘米； (2)某种大米的单价是2.2元/千克，花费y元与购买大米x千克之间的关系. 【答案】解 (1)由“x个月后这棵树的高度=现在的高度+每个月生长的高度×月数”，可得y=2x+50，是一次函数，不是正比例函数. (2)由“购买大米x千克的花费=大米的单价×购买大米的质量”，可得y=2.2x，是一次函数，也是正比例函数. 20．(课本练习P58　T1)写出下列各问题中的函数关系式,并指出它们是什么函数: (1) 三角形的面积$S\left( {\mspace{6mu} cm}^{2} \right)$是常数时，它的某一边的长$y(\mspace{6mu} cm)$是该边上的高$x(\mspace{6mu} cm)$的函数； (2) 百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩$t(\mspace{6mu} s)$(跑完全程的时间)的函数. 【答案】解: (1) ,反比例函数. (2) ，反比例函数. 21．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的几组对应值： 所挂物体质量x(kg) 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y(cm) 18 20 22 24 26 28 (1)上述表格反映了两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？ (2)写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)的函数表达式． (3)当弹簧的长度为30 cm时，所挂重物的质量是多少（在弹簧的弹性范围内）? 【答案】解：(1)所挂物体质量是自变量，弹簧长度是所挂物体质量的函数． (2)∵物体每增加1千克，弹簧长度增加2 cm， ∴y＝18＋2x. (3)把y＝30代入y＝18＋2x，得 18＋2x＝30， 解得y＝6， ∴所挂重物的质量是6 kg. 22．端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售.经了解，进价与标价如表所示(单位：元/盒)： 种类 进价 标价 A 90 120 B 50 60 (1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围)； (2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3 000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？ 【答案】解　(1)y=x+=20x+2 000， 即y关于x的函数关系式为y=20x+2 000. (2)20x+2 000≥3 000， 解得x≥50， 故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3 000元，至少需要购进A种粽子50盒. 学科网（北京）股份有限公司 $