复习参考题一第13题及其19个变式 训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一复习参考题一第13题及其19个变式 【人教A版选择性必修一复习参考题一第13题】把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，求折纸后的大小。 【分析】法一：由已知条件可得两两互相垂直，根据点，分别是，的中点，得到，，再分别求得，，代入公式求解.法二：依题意画出图形，连接，，由面面垂直的性质平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【解析】解法一：因为是正方形中心，所以，为二面角的平面角，又正方形沿对角线折起成直二面角，即二面角是直二面角，所以，因为点，分别是，的中点，所以，， 所以.又， 所以.因为，所以. 解法二：折起后的图形如下所示，连接，，则，，又平面平面，平面平面，平面，平面，，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标：，，，，，，，，，，又，，. 基础改编 【变式1】如图，把边长为4的正方形纸片沿对角线折成直二面角，E，F分别为的中点，则折纸后（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直二面角确定坐标系原点和坐标轴，建立空间直角坐标系，然后根据边长长度求出的空间坐标，最后根据空间两点距离公式求出结果. 【详解】取的中点，连接.因为折叠前四边形为正方形，，所以.因为平面与平面的夹角为直二面角，所以平面，且. 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，因为正方形边长为4，则，所以.所以.故选：C. 【变式2】如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，即可证明,，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到直线的距离. 【详解】取的中点，连接，因为、均为等腰直角三角形，所以 , 由二面角是直二面角，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，如图，以为原点, 所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 , 所以 ,所以 , 所以,， ,设直线的单位方向向量为，则,所以点到直线的距离为 .故选：B 【变式3】将正方形纸片沿对角线折成直二面角，设、两边的中点分别为、，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接、，分析可知，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】取线段的中点，连接、，易知、都是斜边为的等腰直角三角形，则，，所以，二面角的平面角为，即，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，不妨设，则、、、， 所以，，，，所以，直线与所成角的余弦值为.故选：B. 【变式4】把边长为的正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为线段AD，BC上的点，且，，O是原正方形的中心，折纸后，______，______． 【答案】 【分析】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，得到，求得，得到的长，结合向量，利用夹角公式，即可求得的值. 【详解】分别连接，可得，由正方形纸片沿对角线折成直二面角，可得，即，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为正方形的边长为，可得正方形的对角线长为，所以,又因为，可得,所以， 所以，即，又由， 可得，即. 【变式5】（多选）如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则下列结论正确的有（   ） A．点到平面的距离为 B．三棱锥的外接球体积为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的表面积为 【答案】AC 【分析】对于A，找到球心即可；对于B，可利用几何法快速解决；对于C，可利用等体积法；对于D，旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体． 【详解】对于A，由，所以，又， 所以，，所以，所以A到平面 的距离，所以A正确；对于B，由于，所以O为三棱锥的球心，半径为，外接球体积为，所以B错误；对于C，过M作于H，则平面，所以即为直线与平面所成的角，知，，所以，且为中点，所以， 所以，，所以C正确； 对于D，过O作于T，则旋转体表面积是以为底面半径，以为高的圆锥的侧面积的两倍， 因为，所以，所以，，所以旋转体的表面积为，所以D错误.故选：AC． 【变式6】（多选）已知是边长为的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成直二面角，以下说法正确的是（    ） A． B．的长度为 C．异面直线所成的角是60° D．点到平面的距离 【答案】BCD 【分析】采用建系法，以的方向为轴的正方向，结合向量夹角公式可判断A错误，C正确；由空间中两点间距离公式可求，判断B正确；由点到平面距离的向量公式可判断D正确. 【详解】以点为原点，以的方向为轴的正方向，建立如图所示的坐标系，则，∴，，∴，∴，故A错误；∵，∴，故B正确；∵，又，∴， ∴，所以异面直线所成的角是60°，故C正确；设平面的法向量为，则，即，令，得，于是，又，所以点到平面的距离，故D正确.故选：BCD 【变式7】正方形的边长为a，E、F分别为边、的中点（如图甲所示）．现将该正方形沿其对角线折成直二面角，并连结、，得到如图乙所示的棱锥．在棱锥中，求： (1)线段的长；(2)异面直线和所成角的大小． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）取的中点P，连结、，先证明是直角三角形，再根据勾股定理求解； （2）取的中点Q，连结、、、、，并说明四边形为菱形，再求异面直线和所成角的大小. 【详解】（1）取的中点P，连结、．，． 同理，．为直二面角的平面角．．，，．同理，．在中，． （2）取的中点Q，连结、、、、． ，为异面直线和所成的角．，．∴四边形为平行四边形．，，．∴平行四边形为菱形，为的角平分线．在中， ，为等边三角形，． ，即异面直线与所成的角为． 【变式8】如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，是的中点，是原正方形的中心，动点在线段（包含端点，）上. (1)若为的中点，求直线到平面的距离； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）连接，，，通过证明，，可如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由空间向量知识可得答案； （2）由（1），分别求出平面，平面的法向量，再结合图形可得二面角的平面角大小. 【详解】（1）连接，，，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，  ，平面，所以，，又因为，.所以建立如图所示空间直角坐标系，  所以，，，，，，，，，设平面的法向量为，则有令，则，又因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为. （2），故，  设平面的法向量为，则有，令则，     ，，设平面的法向量为， 则有，令则， ，，， 则，   设二面角平面角为，由图可知，为锐角，故.     提高改编 【变式9】如图，把正方形纸片沿对角线折成的二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二面角的定义得到二面角，设正方形边长，求得长，然后由向量表示，表示，然后求得的数量积，即可求出向量夹角的余弦值，即的余弦值. 【详解】如图，连接，在正方形中，，∴，，∵平面平面，即二面角，即，设正方形边长为，则，，，， ∴，.选：C. 【变式10】如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积与夹角关系计算即可. 【详解】 如图所示，易知，所以结合已知有， 易知，设正方形边长为2，所以, .故选：A 【变式11】在矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个直二面角，则点B与点D之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点在平面内作，证明，利用余弦定理得到，再利用勾股定理计算得到答案. 【详解】过点在平面内作，垂足为点，如图， 因为二面角的平面角为，所以平面平面，又平面平面，平面，故平面，又平面，，在中，，，，则，，，则，，在中，，则，所以，所以.故选：C 【变式12】将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的几何定义可得为二面角的平面角，进而根据三角形的边角关系求解. 【详解】取中点，连接, 则有， 则为二面角的平面角，即，则为等边三角形，故,过作，由于，故,因此，故,故选：B 【变式13】如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解. 【详解】由题意知平面平面，如图，连接， 因为四边形是菱形，是的中点，所以，又平面平面平面，所以平面，而平面，所以，从而，三线两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则．设平面的法向量为，则得，取，则，得平面的一个法向量为．易知平面的一个法向量为，则．由图知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．故选:A． 【变式14】边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角.设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图，根据二面角的定义，余弦定理，可得是两腰为1，底边为的等腰三角形，从而可得旋转体为两个同底面的圆锥组合体，将该旋转体的内切球的半径再转化为其轴截面菱形的内切圆的半径，最后根据等面积求出，即可得到该旋转体的内切球的表面积. 【详解】由边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角，则可得，，，，平面平面，又平面平面，平面， 平面，又为的中点，为的中点，为的中点，则可得,,过作于点，连接， 则，平面，又平面，，又，，，,， 在中，，又，，将绕直线旋转一周得到一个旋转体为两个同底面的圆锥组合体，作出其轴截面，如图， 则该轴截面中和为边长为1的等边三角形，该旋转体的内切球的半径即为菱形的内切圆的半径，由等面积法，则，即，则，因此该旋转体的内切球的表面积为.故选：B. 【变式15】（多选）把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，下列说法正确的是（    ） A． B． C．与平面所成角的正弦值为 D．若原正方形的边长为，则三棱锥的外接球表面积为 【答案】CD 【分析】由题意可得两两互相垂直，以此建系，由空间向量的坐标运算结合法向量，求解即可. 【详解】连接，由题意得，，因为是直二面角，且平面平面,所以平面，因为平面，所以， 所以两两互相垂直，以为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 不妨设正方形边长为2，则，则， 因为为中点，则，即，因为为中点，则，即，对于A，，则， 因为，则，解得， 则，故A错误；对于B，，则，故B错误；对于C，易得平面的法向量为，与平面所成角为， 则，故C正确； 对于D，因为点到点的距离都是，所以三棱锥的外接球半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确. 【变式16】（多选）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点，分别为线段，的中点，则（    ） A． B．四面体的表面积为 C．四面体的外接球的体积为 D．过且与平行的平面截四面体所得截面的面积为 【答案】BCD 【分析】A用非等腰三角形来判断，B求四面体表面积来判断，C求外接球体积来判断，D作出截面并计算出截面面积来判断. 【详解】设是的中点，则两两相互垂直，二面角为之二面角，平面，A选项，连接，，，所以三角形不是等腰三角形，而是的中点，所以与不垂直，A选项错误. B选项，，所以三角形和三角形是等边三角形，所以四面体的表面积为，B选项正确.C选项，由于，所以是四面体外接球的球心，外接球的半径为，体积为，C选项正确. D选项，设是中点，是中点，画出图象如下图所示，，四点共面.由于平面，平面，所以平面，，由于，所以平面，所以，而，所以，所以截面面积为.D选项正确.故选：BCD 【变式17】（多选）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点分别为线段的中点，则 （    ） A．与所成得角为 B． C．过且与平行得平面截四面体所得截面的面积为 D．四面体的外接球的表面积为 【答案】CD 【分析】如图，取中点，连接，进而得是二面角的平面角，故根据题意，建立空间坐标系，再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】如图，取中点，连接，由正方形的性质得，均为等腰直角三角形， 所以，所以是二面角的平面角，因为二面角是直二面角， 所以，所以，如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，所以，，，，， 所以，所以，所以与所成得角为，故A选项错误；所以，所以，所以不成立，故B选项错误；取中点，连接，由中位线定理得，所以四边形为平行四边形，且为过且与平行得平面截四面体所得截面，由于， 所以，所以，所以四边形为矩形，面积 为，故C选项正确；因为，所以点即为四面体的外接球的球心，半径为，所以四面体的外接球的表面积为，故D选项正确.故选：CD. 【变式18】（多选）如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折起，使得二面角为，，分别为，的中点，是的中点，则（    ） A． 折纸后四面体的体积为 B．折纸后 C. 折纸后 D．折纸后四面体外接球与内切球的半径之比为 【答案】AB 【分析】依题意，过作的延长线于，证得平面，求出可判断A，由余弦定理计算求得，可判断B，取的中点，连接，，则，计算数值可判断C，设四面体外接球的半径为，内切球的半径为，由，得根据等体积法求得，判断D． 【详解】如图，连接，，，，过作的延长线于． ，，，平面，，易证平面． ，，，，，，A正确． ，，， ， ．，，，B正确．取的中点，连接，，则．，，，，C错误．设四面体外接球的半径为，内切球的半径为．，． ，，，D错误．故选：AB． 【变式19】如图，把边长为的正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，F是BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，动点E在线段AD（包含端点A，D）上． (1)若E为AD的中点，求直线AB到平面EOF的距离； (2)在线段AD上是否存在点E，使得平面EOF与平面ABC的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，的值为. 【分析】(1)利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离； (2)利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值即可求解. 【详解】（1）连接，因为所以又因为平面平面，平面平面，平面,所以平面，平面，所以，又因为，.所以建立如图所示空间直角坐标系， 所以, ,设平面的法向量为， 则有，令则，所以点到平面的距离为，又因为平面，平面，所以平面，所以直线AB到平面EOF的距离为. （2）设存在点,且,，因为,设平面的法向量为，则有，令则， 又因为平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为为， 所以，即解得或（舍），所以存在，且. 【变式20】如图，是正方形的中心，把正方形沿对角线折成二面角，，分别为，的中点， (1)当折成直二面角时（图1），求直线与所成角的大小； (2)当折成二面角的平面角为（图2），求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用向量夹角的坐标表示即可求得其大小； （2）建立新的空间直角坐标系利用线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】（1）根据题意可知，所以即为二面角的平面角，当折成直二面角时，可得，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设正方形的边长为2，则，又，分别为，的中点，所以；可得，因此，所以；可得直线与所成角的大小为； （2）由（1）可知，当折成二面角的平面角为，即；在平面内，过点作垂直于的直线作为轴，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，又，分别为，的中点，所以；可得， 设平面的一个法向量为，则，取，则；所以；设直线与平面所成的角为，可得；所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式21】如图所示，点是边长为4的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成直二面角. (1)求的大小.(2)求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)120°；(2). 【分析】（1）如图过点作，垂足为，过点作，垂足为，由平面向量的线性运算求出EF，根据余弦定理求出，即可求解； （2）如图过点作垂直的延长线于点，连接，根据面面垂直的性质与三垂线定理可得，则是二面角的平面角，求出即可. 【详解】（1）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则，二面角为直二面角，得， .又在中，，， 又，. （2）如图，过点作垂直的延长线于点，连接.二面角为直二面角，平面平面，交线为又平面，由三垂线定理，得. 是二面角的平面角.在中，，二面角的平面角的正切值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一复习参考题一第13题及其19个变式 【人教A版选择性必修一复习参考题一第13题】 把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，求折纸后的大小。 基础改编 【变式1】如图，把边长为4的正方形纸片沿对角线折成直二面角，E，F分别为的中点，则折纸后（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【变式3】将正方形纸片沿对角线折成直二面角，设、两边的中点分别为、，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】把边长为的正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为线段AD，BC上的点，且，，O是原正方形的中心，折纸后，______，______． 【变式5】（多选）如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则下列结论正确的有（   ） A．点到平面的距离为 B．三棱锥的外接球体积为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的表面积为 【变式6】（多选）已知是边长为的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成直二面角，以下说法正确的是（    ） A． B．的长度为 C．异面直线所成的角是60° D．点到平面的距离 【变式7】正方形的边长为a，E、F分别为边、的中点（如图甲所示）．现将该正方形沿其对角线折成直二面角，并连结、，得到如图乙所示的棱锥．在棱锥中，求： (1)线段的长；(2)异面直线和所成角的大小． 【变式8】如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，是的中点，是原正方形的中心，动点在线段（包含端点，）上. (1)若为的中点，求直线到平面的距离；(2)若，求二面角的余弦值. 提高改编 【变式9】如图，把正方形纸片沿对角线折成的二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式10】如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 【变式11】在矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个直二面角，则点B与点D之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式12】将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【变式13】如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式14】边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角.设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式15】（多选）把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，下列说法正确的是（    ） A． B． C．与平面所成角的正弦值为 D．若原正方形的边长为，则三棱锥的外接球表面积为 【变式16】（多选）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点，分别为线段，的中点，则（    ） A． B．四面体的表面积为 C．四面体的外接球的体积为 D．过且与平行的平面截四面体所得截面的面积为 【变式17】（多选）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点分别为线段的中点，则 （    ） A．与所成得角为 B． C．过且与平行得平面截四面体所得截面的面积为 D．四面体的外接球的表面积为 【变式18】（多选）如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折起，使得二面角为，，分别为，的中点，是的中点，则（    ） A． 折纸后四面体的体积为 B．折纸后 C. 折纸后 D．折纸后四面体外接球与内切球的半径之比为 【变式19】如图，把边长为的正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，F是BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，动点E在线段AD（包含端点A，D）上． (1)若E为AD的中点，求直线AB到平面EOF的距离； (2)在线段AD上是否存在点E，使得平面EOF与平面ABC的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式20】如图，是正方形的中心，把正方形沿对角线折成二面角，，分别为，的中点， (1)当折成直二面角时（图1），求直线与所成角的大小； (2)当折成二面角的平面角为（图2），求直线与平面所成角的正弦值． 【变式21】如图所示，点是边长为4的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成直二面角. (1)求的大小.(2)求二面角的平面角的正切值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $