第二章 直线和圆的方程二十二类重难点题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修一

第二章 直线和圆的方程二十二类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倾斜角与斜率的关系 题型二、已知直线与线段相交求参数范围 题型三、求直线方程 题型四、已知两直线平行或垂直求参数的值 题型五、两点距离、点到直线的距离、两平行线间的距离公式应用 题型六、两点距离、斜率代数公式与几何的转化 题型七、点关于直线对称点的求法及应用 题型八、直线恒过定点的求解与应用 题型九、已知三个条件求圆的标准方程（一般方程） 题型十、圆的三种定义应用（定点定长、定长定角、阿氏圆） 题型十一、判断点与圆的位置关系或已知位置关系求参数范围 题型十二、定点与圆上动点的最值问题 题型十三、判断直线与圆的位置关系或已知位置关系求参数范围 题型十四、求圆上动点与直线距离范围或已知距离求参数范围（值） 题型十五、过圆外（圆上）一点求圆的切线方程、切点弦方程、切线相关的动态分析 题型十六、求弦长或已知弦长求参数范围 题型十七、求与圆有关的一次型（截距）、分式型（斜率）、平方和型（距离）的范围 题型十八、与圆有关的轨迹问题方法归纳 题型十九、圆与圆的位置关系判断或已知位置关系求参数范围 题型二十、求两圆的公切线方程或公切线长 题型二十一、求两圆相交弦所在的直线方程或公共弦长 题型二十二、与圆有关的韦达定理应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线与圆的方程是解析几何入门核心重难点，所有题型均围绕直线方程、圆的方程、位置关系、切线、弦长与距离五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是设直线方程时要注意斜率不存在的特殊情况，二是研究直线与圆的问题优先用几何法（距离、半径、弦心距、半弦长构成直角三角形）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倾斜角与斜率的关系 典例1 设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 题型模版 1.依据：,当时，斜率不存在. 2.方法：斜率与倾斜角范围转化时主要根据正切函数图像求解，不过已知倾斜角范围求斜率的范围时，可以根据正切函数图像得到如下结论：当范围不含时，斜率取边界的两边；当范围含时，斜率取边界的中间. 变式1-1已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，结合两条直线倾斜角的关系可求得结果. 【详解】由，且， ， ，解得，因为，故； 结合得，即可得. 变式1-2．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 变式1-3若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 【答案】 【分析】根据方向向量计算斜率，利用斜率与倾斜角的关系计算． 【详解】由直线的方向向量， 可得斜率，则倾斜角满足； 因为，可得． 题型二、已知直线与线段相交求参数范围 典例2 过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 【答案】 ； 【分析】直线 过 且与线段 总有公共点，等价于 夹在射线 与 之间（经过指向线段的方向），先求两条边界直线的斜率，再结合 的变化关系得两空的范围. 【详解】，. 直线 与线段 有公共点时， 夹在直线 与 之间，所以 ，即 的取值范围是 . 因为 （），当 时，； 当 时，； 当 时，直线 与线段 无公共点， 所以 的取值范围是 . 题型模版 方法：画图分析，借用题型一中的结论，观察满足条件的直线倾斜角是否有，若含时，斜率取边界的两边；若不含时，斜率取边界的中间. 变式2-1已知，.若过的直线与线段没有公共点，则的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【分析】辅助图形找到满足条件的临界值即可求出答案. 【详解】如图所示： 设直线与直线的倾斜角分别为与，由题可知满足条件的直线在图中阴影部分区域，则直线的倾斜角的取值范围是 . ，，，. 直线的倾斜角的取值范围是. 变式2-2已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 变式2-3已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 题型三、求直线方程 典例3已知的三个顶点是. (1)求边AB上的高所在直线的方程； (2)求边AB上的中线所在直线的方程； (3)求边AB的垂直平分线的方程； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，得出边AB上的高，再点斜式得到答案； （2）确定中点坐标为，，再点斜式得到答案. （3）根据AB的垂直平分线的斜率，直线过点，再点斜式计算得解. 【详解】（1）直线的斜率为. 边上的高所在直线的斜率为. 边上的高所在直线的方程为，即. （2）记的中点为的坐标为. 直线的斜率为0. 边上的中线所在直线的方程为. （3）边的垂直平分线的方程为，即. 题型模版与重点 1模板：斜截式、点斜式、两点式（一般不常用，因为点斜式往往也比较直接，但要明确两点可求直线）、截距式求直线方程，但要注意斜率应用时要讨论斜率是否存在，截距应用时要讨论横纵截距是否都存在以及是否为0. 2.重点：点斜式的熟练应用是学习的重点，在后续圆锥曲线学习种也最常用.（很多学生喜欢沿用初中斜截式代点求值的方法，这一点务必及时改进） 变式3-1过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 【答案】或 【分析】根据题意，分直线过原点和不过原点，两种情况分类讨论，即可求解. 【详解】当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 变式3-2已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 变式3-3已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 题型四、已知两直线平行或垂直求参数的值 典例4根据条件求值 (1)若直线和直线平行，求m的值； (2)已知直线，直线，且，求m的值． 【答案】(1). (2)或. 【详解】（1）因为直线和直线平行， 则，解得或， 经检验时两条直线重合舍去，所以． （2）因为直线与直线垂直， 所以，即，解得或 方法归纳 则 ①且不重合（一般需求值后代入两方程，方程不一致即可） ② 如果用（平行）及（垂直）来解决此类问题，就要讨论斜率不存在情形（分母为0），不建议. 变式4-1已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 变式4-2已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 变式4-3已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 题型五、两点距离、点到直线的距离、两平行线间的距离公式应用 典例5平面直角坐标系内，点，， (1)求直线的方程和线段长度； (2)求三角形的面积； (3)求的角平分线所在直线的方程. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）已知，利用此公式求出，利用点斜式得到直线，利用两点间距离公式求出； （2）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离为，求出即为所求； （3）显然的角平分线所在直线的斜率存在，设的角平分线所在直线的斜率为，利用点斜式设出此直线方程在角平分线上取不同于的一点，求出直线方程，利用角平分线性质：点到的距离相等，求出点到的距离，建立等式计算得到，由图形观察对进行取舍，从而得到的角平分线所在的直线方程. 【详解】（1）， ， ； （2）点到直线的距离为：， 所以，即三角形的面积为； （3）设的角平分线所在直线的斜率为，显然斜率存在， 则此直线方程为， 在角平分线上取不同于的一点， ，，， 直线方程为，即， 则由角平分线性质可知：点到的距离相等， 所以， 解得：， 由图形观察可知为外角平分线， 为内角平分线， 所以的角平分线所在直线为：.      公式及易错点 1. 公式：①两点之间的距离; ②点到直线的距离; ③两平行线之间的距离; 2.易错点：点到直线及两平行直线间的距离务必注意公式中绝对值不能省略，否则常会漏解. 变式5-1过直线和的交点并且与原点相距为1的直线l的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】本题考查两直线的交点坐标，点到直线的距离公式， 先求解出直线和的交点为，当直线l的斜率不存在时可得符合题意，当直线l斜率存在时，运用点到直线的距离公式即可求解直线l的斜率即可． 【详解】解：设直线和的交点为A， 由，解得，即， 当直线l的斜率不存在时，此时直线，符合题意； 当直线l的斜率存在时，其直线方程设为，即， 原点到直线l的距离，解得， 此时直线l的方程为； 综上，直线l的方程为或． 故选AB． 【点睛】本题考查了两条直线的交点坐标计算，以及点到距离的公式运用，同时要考虑斜率的存在性，属于中档题。 变式5-2与直线平行且与它的距离为的直线的方程为______． 【答案】或 【分析】由所求直线与直线平行，设出直线方程为，利用两平行线的距离公式列方程求出，可得答案． 【详解】设所求直线方程为，则，解得或， 故答案为：或 变式5-3已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 题型六、两点距离、斜率代数公式与几何的转化 典例6已知、，点在线段上，则的取值范围为________,的最小值为________. 【答案】, 【分析】第一空转化为斜率问题，第二空转化为距离问题，数形结合可得. 【详解】第一空：由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 第二空：即为,几何意义为与（0，0）两点间的距离，结合图像可知，最小值为点到直线的距离.已知直线方程为,所以点到直线的距离为 故答案为：, 题型模版 比值结构转化为斜率、平方和结构转化为距离（距离的平方），数形结合是突破此类问题的关键. 变式6-1已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 变式6-2已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 变式6-3函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B 题型七、点关于直线对称点的求法及应用 典例7 下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．直线l:关于直线的对称直线的方程是； 【答案】ABD 【分析】利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】对于A，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点关于直线的对称点为，正确； 对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，D正确. 故选：ABD. 题型模版与特殊结论 1.特征：求已知点A关于直线的对称点步骤：①设对称点②利用及中点在直线上列方程组③计算; 2.特殊情况结论：当对称直线的斜率为时:点A关于直线:的对称点的坐标为;点A关于直线:的对称点的坐标为.即把点的横坐标代入对称直线中的，解出的即为对称点的纵坐标；把的纵坐标代入对称直线中的,解出的即为对称点的横坐标. 变式7-1已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 变式7-2一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 变式7-3已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 题型八、直线恒过定点的求解与应用 典例8直线恒过定点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由直线方程得到，进而可求解. 【详解】直线， 即， 联立可得，∴， 即直线恒过定点. 故答案为： 题型模版与难点分析 1.定点解法：将含有参数的部分合在一起，不含参数的部分合在一起，两部分分别为0，解方程组即可. 2.难点：许多题目解题时并无恒过定点这一问，要求能主动分析动态直线运动特点：“恒过定点”. 变式8-1点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点的坐标，再求出的斜率，的斜率不存在，可得直线的斜率的范围，进而求出的范围． 【详解】直线整理可得， 联立，解得，， 即直线恒过定点， 可得，因为，的横坐标相同，所以直线斜率不存在， 所以直线与线段有交点，则直线的斜率， 而直线的斜率，解得． 所以选项D符合题意. 变式8-2已知直线l：，则点到直线的最大距离为（   ） A．5 B．2 C．8 D．10 【答案】B 【分析】求出直线恒过的定点，当直线和垂直时，点到直线的最大距离，利用两点间距离公式求出，这个的值就是点到直线的最大距离. 【详解】直线，整理得到，则有， 解得，则直线恒过定点， 当直线和垂直时，点到直线的最大距离， 且最大距离为，故选项B正确. 故选：B. 题型九、已知三个条件求圆的标准方程（一般方程） 典例9求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可； （2）先求线段的垂直平分线方程，再求圆心坐标及半径，由此可得结论. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为，即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点， 联立方程组，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 方法归纳与易错分析 1方法归纳：法一：待定系数法，利用条件列三个方程求解即可；法二：先求圆心，再求半径；法三：先求半径，再求圆心. 2.易错分析：表达距离或长度时，绝对值易忽略，会导致漏解. 变式9-1已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的标准方程分析即可. 【详解】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径， 距离为，故半径. 由题知圆心为， 故圆方程为. 故选：A． 变式9-2已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点，则以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 变式9-3过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由圆的一般方程可列出方程组，直接求解即可. 【详解】设圆的一般方程为， 由题意可知，圆经过三点，则，解得， 所以圆的方程为，即，故B正确. 题型十、圆的三种定义应用（定点定长、定长定角、阿氏圆） 典例10 已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 法一：记的中点为,则中由中位线性质可得，由圆的定义可知，在点为圆心，1为半径的圆上，所以点Q的轨迹方程为，故选. 法二：【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A 题型模版 圆的三种定义：①定点，为定值；②定点,;③定点,=定值 变式10-1已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线过定点，且两直线垂直，求出点的轨迹，即可求出答案. 【详解】直线过定点，直线过定点， 因为两直线始终保持相互垂直， 因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示： 由于不包含直线，不包含直线， 所以点轨迹不经过点， 圆上的点到点距离最大值为， 此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为. 故选：B. 变式10-2若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点坐标，根据条件列出等式，可求出阿氏圆方程，得到半径，从而求出面积. 【详解】设，因为定点，， ，化简得：，即. 点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：. 故选：B 变式10-3在平面直角坐标系中，已知两点，，圆，点是圆上任意一点，若为定值，则的值为______． 【答案】0 【分析】解法1：设，化简与圆的一般方程比较系数可得答案；解法2：由阿氏圆的性质可知，圆心就在定点，所确定的直线上可得答案． 【详解】解法1：设，，则，整理得 ， 又是圆上的任意一点，故， 圆的一般方程为， 所以，解得， 因此； 解法2：为定值，是圆上任意一点， 由阿氏圆的性质可知，圆心就在定点，所确定的直线上， 因为直线所在的直线方程为， 所以． 故答案为：0. 题型十一、判断点与圆的位置关系或已知位置关系求参数范围 典例11若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 题型模版与易错点 1.模板：点在圆上、圆内、圆外的判断方法是将点代入圆方程左侧之后与右侧比大小：=则圆上；>则圆外；<则圆内. 2.易错点：当圆是一般方程时，一般需要先配方变形为标准方程，右侧要>0(或者直接用),容易忽略这一隐含限制 . 变式11-1已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 变式11-2点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 题型十二、定点与圆上动点的最值问题 典例12已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 题型模版 定点与上动点的距离的范围是. 变式12-1已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线过定点，且两直线垂直，求出点的轨迹，即可求出答案. 【详解】直线过定点，直线过定点， 因为两直线始终保持相互垂直， 因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示： 由于不包含直线，不包含直线， 所以点轨迹不经过点， 圆上的点到点距离最大值为， 此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为. 故选：B. 变式12-2已知圆，若点是圆上的动点，则的最小值为___________． 【答案】5 【分析】先由确定出点坐标，将转化为，再根据三点共线确定出的最小值. 【详解】设存在使得恒成立， 因为，所以， 化简可得， 又因为点在圆上运动，所以， 两方程对比可得，，解得， 所以存在使得恒成立，即， 所以，如图所示， 当且仅当三点共线且点在两点之间时，取最小值， 此时， 故答案为：．      变式12-3已知、、三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】点在圆上，设，则， 则， ， ， 相加得： . 由于，得，则，即取值范围为. 因此，4、6、8均可取到，而10不在范围内，不可能取到. 题型十三、判断直线与圆的位置关系或已知位置关系求参数范围 典例13已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？ 【答案】当时，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，直线与圆相离，无公共点． 【分析】根据圆心到直线的距离或消元后判别式的符号可得直线与圆的位置关系. 【详解】法一：圆心坐标为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，，直线与圆相离，无公共点． 法二：由可得， 故， 当时，，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，，直线与圆相离，无公共点． 题型模版 直线与圆的位置关系一般优先转化为圆心到直线的距离与半径比大小. 若动态直线恒过圆内的定点，则直线与圆必相交. 变式13-1直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】法一：直线横过点,易知点在圆内，所以直线必与圆相交. 法二：圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 变式13-2已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】先根据点与圆的位置关系得出，再根据点到直线距离公式判断出直线与圆的位置关系． 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 变式13-3已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性： 若， 则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性： 若直线与圆相切，则， 即， 解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 题型十四、求圆上动点与直线距离范围或已知距离求参数范围（值） 典例14 已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求出曲线C的方程，利用两点之间线段最短以及点到直线的距离公式对各个选项逐个计算即可求解. 【详解】设点的坐标为，根据题意，，即， 所以， 整理得，即， 因此，曲线是以为圆心，为半径的圆，故A正确； 圆心到直线的距离为：， 则曲线上的点到直线的最小距离为，故B正确； 圆心到直线的距离为：， 若曲线上恰有三点到直线的距离为，则， 所以，即，解得或，因此，的取值不唯一，故C错误； 曲线的方程，， 因此， 因为，，所以， 因此，故D正确. 题型模板与思维习惯 1.题型模板：圆上的点到直线的距离范围是,其中为圆心到直线的距离，为圆的半径. 2.思维习惯：直线与圆的问题，首先考虑往圆心到直线的距离方面取转化，虽不能保证万能，但许多题目都行之有效. 变式14-1已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 变式14-2已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 【答案】8 【分析】首先设与直线平行的直线，再利用数形结合，根据直线与圆的位置关系，即可求最值. 【详解】设与直线平行的直线，， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为， 解得：或， 所以两条切线为和， 如图，两条切线中，直线到直线的距离最远， 此时切点到直线的距离最远，最远距离为， 所以面积的最大值为 变式14-3若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造与原直线距离为6的平行线，舍去无交点的那条；再结合直线与整圆相交条件，再利用韦达定理，保证两个交点横坐标都大于等于0，取交集得到参数范围． 【详解】曲线表示半圆，圆心为，半径， 点到直线的距离公式为， 曲线上存在两点到直线的距离为6，即， 故，即所在直线为：， ， 其中到圆心距离为，故与圆无交点， 故与右半圆有两个交点，到圆心距离， 解得， 联立到圆的方程得：， 整理得， 由韦达定理得 曲线是右半圆，即，则， 解得，（1） 且或，（2） 故， 综上可得． 题型十五、过圆外（圆上）一点求圆的切线方程、切点弦方程、切线相关的动态分析 典例15已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用直线与圆的几何性质，将角度、面积、弦长问题转化为点到圆心的距离的最值问题，再结合切点弦方程，逐项进行判断即可求解. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相离，如图所示， 因为点在直线上动，当时，取得最小值，即的最小值为， 设，则， 在中，， 要使最大，即最大，则取得最小值，即， 所以，因为为锐角，所以， 所以，即最大度数为，故A选项正确； 根据题意，， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以当最小时，即取最小值，即取最小值， 所以，所以， 所以四边形的面积的最小值为， 故B选项错误； 设点，因为点在直线上动，所以，即， 圆展开为 根据切点弦方程公式，直线的方程为， 又，所以，即， 所以，解得，，即直线过定点，所以C选项正确； 根据直线与圆相切的性质，可得， 又，所以，垂足为，且为中点， 在中，利用等面积法可得， 所以， 所以， 当取得最小值时，取得最小值， 即时，，故D选项正确. 综上所述，选项ACD正确. 题型模版与常见结论总结 1.模板：过圆外一点作圆的切线，求切线方程有两条，基本解法如下：①讨论斜率存在时，点斜式设直线；②利用解方程；③上一步若两解则斜率不存在时不符，如一解则斜率不存在时符合;④下结论. 过圆上一点求切线方程有一条的基本解法如下：①求的斜率为圆心）；②利用垂直关系得到切线的斜率；③点斜式写出直线方程. 2.常见结论：①记圆方程为,圆外一点作圆的两切线，切点分别为,则直线的方程（“切点弦方程”）为：,当点在圆上时，由极限思想此式即为切线方程. ②圆外一点作圆的两切线，切点分别为,则点离圆心越近切线长越小，越大. 变式15-1已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，分析可知当时，即当为的中点时，圆心到直线的距离取最大值，利用勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由平面内两点间的距离公式可得， 设点到直线的距离为，则，当且仅当时，即当为的中点时，等号成立， 故的最大值为，此时取最小值，且最小值为， 此时的面积为. 变式15-2直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出曲线与直线的图象，由题意根据图象计算可解. 【详解】由，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆， 表示恒过定点的直线， 直线与曲线有两个不同的交点即半圆和直线始终有两个公共点， 如图： 圆心到直线的距离为，解得， 当直线经过时由得， 当直线经过时由得， 所以实数的取值范围为. 变式15-3过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先判断点在圆外，分斜率不存在、斜率存在两种情况设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径求解切线. 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即. 由圆心到切线距离等于半径：，两边平方： ，整理得. 代入得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 题型十六、求弦长或已知弦长求参数范围 典例16．已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用勾股定理可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；分析可知直线过圆心时，可得出直线的斜率，可判断C选项；分析可知，当时，被圆截得的弦长的最小值，求出弦长的最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 题型模版 1.结论：弦长和弦心距（圆心到弦长所在的直线距离）之间往往相互转化，可以作为公式. 2.题型特征：已知弦长（非最长弦、最短弦）求直线往往有两条;过圆内一定点，最长弦为过圆心（为直径），最短弦与最长弦垂直. 变式16-1直线：截圆：的弦长为__________． 【答案】 【详解】由题知圆:的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，. 弦长为. 变式16-2已知过点的直线L被圆所截得的弦长为，则直线L的一般式方程为___________. 【答案】或 【详解】将圆变形得， 则圆心坐标为，半径，又弦长为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为3， 则弦长为，不符合题意，舍去. 当直线斜率存在时，设过点的直线斜率为， 则直线的点斜式方程为， 整理为一般式:. 根据点到直线的距离公式，可得， 化简整理得， 解得或. 当时，直线方程为. 当时，直线方程为，整理得. 综上，直线L的一般式方程为或. 变式16-3已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则的面积为 C．的最小值为 D．的面积的最大值为2 【答案】ABD 【分析】A选项，直线变形后求出所过定点； B选项，求出，进而由直线垂直关系得到，得到，从而求出到的距离和，求出面积； C选项，求出到的距离的最大值，从而由垂径定理得到的最小值； D选项，表达出面积为，利用基本不等式求出最大值. 【详解】A选项，直线变形为， 所以直线过定点，A选项正确； B选项，易知道，若直线，则，解得， 此时直线， 到的距离，则， 故的面积为，B选项正确； C选项，由A选项知，直线过定点， 所以到的距离的最大值为， 由于，故此时取得最小值， 最小值为，C选项错误； D选项，设到的距离为， 则面积为， 当且仅当，即时，等号成立，D选项正确． 故选：ABD． 题型十七、求与圆有关的一次型（截距）、分式型（斜率）、平方和型（距离）的范围 典例17已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】利用圆的一般方程得出圆心和半径，然后结合所求表达式的几何意义，根据直线与圆的位置关系逐项分析求出最值或范围即可. 【详解】由得， 所以方程表示圆心是，半径为的圆， 选项A，设，即， 因为点在圆上，所以可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，即， 所以，即的最大值为，故A正确； 选项B，由表示圆上的点到点的距离的平方， 又，所以点在圆外， 由圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的最小距离为，如图所示： ， 所以的最小值为；故B错误； 选项C，由可知， 该表达式表示圆上的点到直线的距离的倍， 由圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的范围为即， ， 所以的取值范围为，故C正确； 选项D，表示圆上的点与点连线的直线的斜率， 由，所以点在圆外， 设该直线的斜率为， 则该直线的方程为：即， 由题意可知当直线与圆相切时，有最值， ， 所以当直线与圆相切时有， 化简得：，解得：， 即的最大值为，故D错误. 方法归纳 不同形式的代数与几何意义对应关系：①平方和结构与两点间的距离；②比值结构与两点直线的斜率 ；③一次式与直线纵截距.④一次式绝对值与点到直线的距离(或用③与绝对值函数相结合） 变式17-1已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． 题型十八、与圆有关的轨迹问题方法归纳 典例18已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 方法归纳与易错分析 1.方法归纳:求轨迹方程有如下几种方法： （1）定义法：圆有三种定义：①定点，为定值；②定点,;③定点,=定值 （2）直接应用法：设目标动点坐标为,将题中条件直接转换为关于的表达式即可. （3）相关点代入法：题中一般有多个动点，一般设目标动点坐标为，将另外动点（一般有运动曲线方程）坐标用的表出来，代入已知条件即可. （4）消参法：设目标动点坐标为，其中都与另外参数有关，消去参数即可. 2.易错分析：轨迹方程要考虑动点坐标的范围，这一点极其容易忽略. 变式18-1阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题，平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆叫阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P到A、B的距离之比为，当三点不共线时， 面积的最大值是______ 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系，如图： 设，，， 则，化简得， 以为底，高为点P到轴的距离， 所以当取最大值时，的面积取得最大值． 显然当时，取得最大值， 此时. 所以面积的最大值是． 变式18-2已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程． 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 变式18-3已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是________________. 【答案】 【分析】设，则由可得，故根据圆与圆相交或相切可求参数的范围. 【详解】设，则，， 故即为即， 因为也在圆上， 故，整理得到：， 解得， 故答案为： 题型十九、圆与圆的位置关系判断或已知位置关系求参数范围 典例19已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据“与有公共点”可求得，由此可判断和的推理关系，即可得出答案. 【详解】圆的标准方程为，圆：， 故， 若圆与圆有公共点，则有， 即，解得，能推出， 当时，推不出， 故“”是“圆与圆有公共点”的必要不充分条件. 题型模版与易错分析 1.模板：记半径分别为，则两圆得位置关系判断方法为：相离4条公切线；外切3条公切线；相交2条公切线；内切1条公切线；内含0条公切线； 2.易错分析：两圆0个交点相离或内含；两圆1个交点外切或内切； 变式19-1若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为， 可化为， 故此圆的圆心为，半径为， 所以，故. 变式19-2已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为，， 所以点的轨迹是以A、B为直径端点，圆心为原点O的圆，则点P的轨迹方程为， 又点P在圆C上，所以圆与 圆有交点， 因为，且，所以， 又，解得. 当时，两圆外切，，满足条件； 当时，两圆内切，，满足条件. 所以. 变式19-3在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】设，则，. 因为，所以，即. 所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以. 即，解得. 题型二十、求两圆的公切线方程或公切线长 典例20设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 题型模版与难点分析 1.模板：(1)求公切线方程步骤：①假设直线斜截式（由图讨论斜率是否存在）；②利用两次解方程组；(2)求公切线长，画图分析，在直角梯形中求解即可. 2.难点：解方程并不容易，需要讨论绝对值正负对应. 变式20-1已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 题型二十一、求两圆相交弦所在的直线方程或公共弦长 典例21已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由和的标准方程可知，的圆心为，圆心在y轴上，半径， 的圆心为，圆心在x轴上，半径.公共弦长， 说明是的直径.连接，则， ，由垂径定理可知，连接，. 则，即， 结合下图可知，b增大时，a缩小，b缩小时，a增大，b取0时， 即的圆心为时，a取最大或最小值3或， 即a的取值范围是. 题型模版 (1) 求相交弦所在得直线方程两圆作差即可; (2) 求公共弦长步骤：①先两圆作差求相交弦所在的直线方程；②再在一个圆中利用半径和圆心距求弦长即可. 变式21-1圆与圆的公共弦长为_________． 【答案】 【详解】圆，圆的圆心为，半径， 圆，圆的圆心，半径， 因为，所以圆与圆相交， 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为， 则圆心到公共弦所在直线的距离为， 故所求弦长为． 题型二十二、与圆有关的韦达定理应用 典例22平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1)和. (2)或 (3)是定值，定值为． 【分析】（1）通过点到直线的距离公式分类讨论. （2）通过弦长计算出圆心到直线的距离后，利用点到直线距离公式求解. （3）设出直线方程，通过联立直线与圆方程，利用韦达定理建立起交点坐标间的定量关系，最后表示出两直线斜率之和. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为2， 若过点垂直于轴的直线，恰与圆相切，符合题意； 设另一条直线的斜率为，其方程为，即， 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 则该切线方程为. 综上，过点与圆相切的直线方程为和. （2）因为截得的弦长为且半径，所以圆心到直线的距离为， 由，解得或， 即所求直线为或. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且，解得， 设直线QA，QB的斜率分别为， ， 所以是定值，定值为． 题型模版 当仅由圆的几何性质无法解决直线与圆的综合问题时，便需要圆锥曲线的基本方法：①假设直线及交点坐标;②直线与圆联立方程组;③消元;④;⑤韦达定理. 变式22-1已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【详解】（1）法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 变式22-2已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，设，则， 由题意知，直线的方程为. 令，得，所以. 由，得直线的方程为. 令，得，所以. 所以 ，所以为定值. (3)证明：设直线的方程为，，，已知，联立 得，，即.所以，.所以.所以.所以. 整理得，所以或. 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意. 所以直线过定点. 【分析】（1）先求出圆的半径，再根据圆的标准方程直接写出答案； （2）设，先求出两点的坐标，再求出直线和的方程，得到的坐标，对进行变形求解即可； （3）设直线的方程为，，，联立 根据韦达定理得出，，再由 建立方程，得到的关系，证明直线过定点即可. 【详解】（1）由已知得圆的半径 . 所以圆的标准方程为. （2）略 （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解. 【详解】 已知圆，化为标准方程为，因此圆的圆心，半径， 由直线和，可知互相垂直且均经过定点， 又因为，，所以四边形是一个矩形，且， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 检验：当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得两个交点分别为 和 ， 结合题意可知应在离较远的一侧，取， 此时，，所以， 经检验，当时，有最大值为，故A正确. 2．已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点、、，可得，数形结合可知当为线段与圆的交点时，取最小值，结合平面内两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为实数、满足，则， ， 取点、、，则， ， 即， 当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，即的最小值为. 3．过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线的性质，求得，得到点的轨迹方程为，令，转化为圆上的动点到定点的连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得，    因为为正三角形，可得，所以， 即点的轨迹方程为， 令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率， 由，可得， 则圆心到直线的距离为， 令，即，整理得，即， 解得，即的取值范围为. 4．若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式建立不等式解出即可. 【详解】设圆，则该圆的圆心为，半径为， 对于圆上两不同点，根据圆的性质，当为圆的切线时，最大， 若，则在中，，则， 所以若直线上存在一点，使得， 则等价于圆心为到直线的距离， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 二、多选题 5．设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线上动点，则（    ） A．存在以为直径的圆与相切 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据中点到直线的距离和的大小。判断直线与圆的位置关系，可判断A的真假；利用平面向量的数量积的运算法则，结合的取值范围，可求的最大值，判断B的真假；结合AB的结论，可求的最小值，判断C的真假；对D，把问题转化为求直线上一点，的最小值问题.再设，，，利用直线对称列式运算求解. 【详解】如图，设直线与圆的切点为，依题意， 对A，以为直径的圆的半径为，点到直线的距离为. 到直线的距离， 又，故以为直径的圆与直线相离.故A错误； 对B，因为. 又，所以. 所以.故B正确； 对C，因为，所以， 因为，所以， 又，所以.故C正确； 对D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离为， 求直线上点使得最小等同于求直线上一点，使最小. 设，，，点关于直线的对称点为. 易得直线：， 联立，消去整理得， 整理得，因.则. 所以，，同理，. 所以 ，. 故当时，取得最小值， 所以.故D正确. 6．在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 【答案】ACD 【分析】A选项利用直径的性质进行计算；B选项设，用表示，再利用三角函数求最值即可，C选项，将用表示，再利用二次函数即可求出最大值； D选项利用点到直线的距离即可求解. 【详解】对于A选项，设与轴交于、，连接 ，，    因为为的直径，所以轴， 由题意可知，所以， 所以，则，所以公共点的坐标为和，故A正确； 对于B选项，如图：    连接并延长交于， 由垂径定理：，就是上到原点距离最远的点， 下面我们求的最大值： 设，则， 因为，则， 当时，取得最大值，即该圆的半径最小为，面积最小值为，故B错误； 对于C选项，如图：过作轴于，另交于，过作轴于，    因为，所以，所以， 则， 所以，令 ， 则， 所以 ，即内的点到轴距离的最大值为，故C正确； 对于D选项，如图：    设与轴交于点（图中为上方的点），则，反面想， 对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当离轴最远时，与有且仅有一个公共点． 设，则，， 原点到的距离：，解得， 故与轴的公共部分上的点到轴距离的最大值为， 即与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为，故D正确． 7．记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 【答案】BCD 【分析】对A直接由两圆相内切得，所以A错误；对B由圆的弦长公式及三角形的中位线定理可得；对D由圆心角与圆周角的关系可得；对C由正弦定理并结合BD选项解析可得. 【详解】对于A，圆，圆心，半径， 整理圆， 圆心，半径. 两圆相内切且半径大于半径，圆心距，得， 因此，解得，故选项A 错误； 对于B，由A选项分析知时，圆方程为，点在圆上， 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 则圆到直线的距离，所以， 则圆到直线的距离，， 所以，即为的中点， 同理得为的中点，得，所以. 若直线的斜率不存在，则，点仍为的中点， 同理得为的中点，得，所以. 综上所述，，所以B正确； 对于D，根据圆周角与圆心角的关系，且（当直线过圆心时，）， 所以，故D正确； 对于C，当时，由B选项解析知， 在中，由正弦定理得， 得或， 由D选项解析可知，所以. 当时，在中由正弦定理|， 得，故，故C正确. 8．在平面直角坐标系中，到两条坐标轴的距离之和与到点的距离相等的点的轨迹是，则（    ） A．点在上 B．存在斜率为1的直线与恰有3个公共点 C．当且仅当，圆与恰有4个公共点 D．存在定点，过且互相垂直的任意两条直线都与相交，所有交点中必有两个与等距 【答案】ABD 【分析】依题意写出上任意一点的坐标满足的等式即可得到方程，对于A，代入点坐标即可；对于B，画出的图像，根据图像判断出存在满足条件的直线，该直线与在第二象限的曲线相切；对于C，找到反例即可；对于D，先分析出与等距的两个交点可能的分布，再结合几何分析得到与等距的两个交点之间的约束关系，观察约束关系恒成立时点坐标应满足的条件. 【详解】设上任意一点的坐标为，依题意有， 两边同时平方得，整理得的方程为， 代入得满足方程，A正确； 对的方程进一步分析，可知时等式不成立， 当即在第一、三象限时，方程可化为， 当即在第二、四象限时，方程可化为， 它们都可以通过反比例函数和平移得到，可画出图像如下， 设斜率为的直线方程为，当它与第二象限部分的曲线相切时， 它与恰有3个公共点，此时有整理得， 令，得（此时切点为） 或（舍去，此时直线不经过第二象限）， 所以直线与恰有3个公共点，B正确； 可知圆在直线和之间移动， 直线与在第二象限部分的交点为，当圆经过 即时，圆与相交，有4个公共点，现使圆心向右移动， 若当且仅当，圆与恰有4个公共点， 则意味着在处圆与第二象限部分的关系发生了突变，即从相交转为相切， 此时圆应与第一象限部分也相切，从而保证恰有4个公共点，如上图所示， 但是圆心继续向右移动时，圆与第二象限部分分离的同时与第一象限部分相交， 此时也有4个公共点，直到圆经过即时才变为个公共点，之后则是2个公共点， 因此这一范围没有包括所有4个公共点的情况，C错误； 若与等距的两个交点在同一个象限也即在同一段曲线上，显然难以保持与等距， 考虑与等距的两个交点分别在不同的象限，若两个交点分别在二、四象限， 根据反比例函数平移的结果可知，在第四象限的曲线的一部分与在第二象限的曲线 关于对称（也可以通过判断），若取， 显然过点的直线与的两个交点同保持等距，但当直线垂直于轴时， 它与没有交点，不符合条件，两个交点分别在一、三象限也一样， 接下来考虑与等距的两个交点在相邻的象限的情况，比如分别在三、四象限， 设两个点分别为，设， 因为且，由三角形全等可知①， ②，由②可得， 设，则，代入①中得， 设，则即， 当时该等式恒成立，此时，即为满足要求的点. 三、填空题 9．若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】首先变形曲线，并画出曲线的图象，再根据直线恒过点，利用数形结合，结合临界值，求实数的取值范围. 【详解】由题意得，所以，当时，曲线为； 当时，曲线为， 显然为半圆，如图所示， 易得直线经过定点，当直线与相切时， ，,所以，易得， 故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为． 10．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______． 【答案】18 【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解. 【详解】圆C的圆心，半径， 由题意互相垂直且均经过定点， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当等号成立， 检验，当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得或， 结合题意可知，此时，解得或， 当时，直线，此时， 当时，直线，此时， 经检验，当或，时有最大值为. 11．已知实数a，b满足，若对任意实数c，d，记的最小值为M，则M的最大值为______． 【答案】/ 【分析】根据题意可得或，结合图形及几何意义进行求解． 【详解】解：， 或， 即或， 故点在如图直线族中，   表示点与点距离的平方， 又相邻两直线的距离， 所以的最小值， 故M的最大值为． 四、解答题 12．已知动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点，是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，以为圆心，半径为2的圆 (2)存在， 【分析】（1）根据两点间的距离公式及圆的标准方程求解. （2）根据四点共圆及作差法求出公共弦的方程及恒过的点，结合三角形面积公式、点到直线的距离及圆的性质求解即可. 【详解】（1）设，则，即， 所以， 整理得，即为以为圆心，半径为2的圆． （2）存在，，理由如下： 由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上， 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． 由题设，易知在以为直径的圆（除去点）上，即以为圆心、半径为的圆（除去点）上，且轴， 则，且到直线的距离为， 故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时． 13．已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)①②. 【分析】（1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）①由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果；②由中点条件将 与 的关系转化为直线 与单位圆相交，从而得到 ；再在此范围内分段讨论 的单调性，合并各段值域即得最终取值范围. 【详解】（1）由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. （2）①设点，则，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以， 又，，解得，所以常数. ②由①知， ，所以圆 ，，， 曼哈顿距离： 因为直线 过 ，与圆交于 ，且 为 的中点，设 ，则 ， 由 在圆 上，得 又 在圆上：，两式相减得 因为直线 与圆有两个交点，分别为， 故圆心到该直线的距离小于1，所以， 整理得，解得，所以 ， 令，在 上分段求值域： 当，，在上单调递减，所以此时值域为； 当，，在上单调递增，所以此时值域为； 当，， 时取最大值 ，值域为 ； 当， ，在上单调递增，值域为 ； 综上所述，. 14．已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据，得出动点的轨迹方程； （2）（i）两圆作差，得出公共弦所在直线的方程，求出圆心和半径，从而得出圆的方程； （ii）先假设存在这样的点，根据条件得，通过根与系数的关系，求出的值. 【详解】（1）圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 由题意，即，所以. 设，则， 整理得，. （2）（i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：， 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得. 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为. （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即.    联立，得，. 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入式，得， 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件. 15.出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，对于直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”（“直角距离”）：．请解决以下问题： (1)求线段上一点到原点的“距离”； (2)求所有到定点的“距离”均为2的动点围成的图形的周长； (3)在“欧式几何学”中有如下两个与“距离”有关的正确结论： ①平面上任意三点A，B，C，； ②平面上不在一直线上任意三点A，B，C，若；则是以为直角三角形. 上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3) ①设， 则，，， 根据绝对值三角不等式可知，， 同理， 故， 故成立，故①正确； ②设， 则，， ， ，， ， 满足，但，故②错误. 综上所述：①正确，②错误. 【分析】（1）根据“直角距离”的定义直接求解即可； （2）设点到定点的“距离”为2，再根据定义：任意两点间的“距离”，分四种情况求解即可； （3）直接证明或举出反例判断即可. 【详解】（1）易得线段上一点到原点的“距离”为： . （2）设点到定点的“距离”为2， 则①当时，， 此时为线段， ②当时，， 此时为线段， ③当时，， 此时为线段， ④当时，， 此时为线段， 易得围成的图形的形状为以，为顶点的正方形， 故周长为. （3）略 【点睛】解答新定义问题的策略： （1）通过给定的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. （2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程二十二类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倾斜角与斜率的关系 题型二、已知直线与线段相交求参数范围 题型三、求直线方程 题型四、已知两直线平行或垂直求参数的值 题型五、两点距离、点到直线的距离、两平行线间的距离公式应用 题型六、两点距离、斜率代数公式与几何的转化 题型七、点关于直线对称点的求法及应用 题型八、直线恒过定点的求解与应用 题型九、已知三个条件求圆的标准方程（一般方程） 题型十、圆的三种定义应用（定点定长、定长定角、阿氏圆） 题型十一、判断点与圆的位置关系或已知位置关系求参数范围 题型十二、定点与圆上动点的最值问题 题型十三、判断直线与圆的位置关系或已知位置关系求参数范围 题型十四、求圆上动点与直线距离范围或已知距离求参数范围（值） 题型十五、过圆外（圆上）一点求圆的切线方程、切点弦方程、切线相关的动态分析 题型十六、求弦长或已知弦长求参数范围 题型十七、求与圆有关的一次型（截距）、分式型（斜率）、平方和型（距离）的范围 题型十八、与圆有关的轨迹问题方法归纳 题型十九、圆与圆的位置关系判断或已知位置关系求参数范围 题型二十、求两圆的公切线方程或公切线长 题型二十一、求两圆相交弦所在的直线方程或公共弦长 题型二十二、与圆有关的韦达定理应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线与圆的方程是解析几何入门核心重难点，所有题型均围绕直线方程、圆的方程、位置关系、切线、弦长与距离五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是设直线方程时要注意斜率不存在的特殊情况，二是研究直线与圆的问题优先用几何法（距离、半径、弦心距、半弦长构成直角三角形）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倾斜角与斜率的关系 典例1 设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 题型模版 1.依据：,当时，斜率不存在. 2.方法：斜率与倾斜角范围转化时主要根据正切函数图像求解，不过已知倾斜角范围求斜率的范围时，可以根据正切函数图像得到如下结论：当范围不含时，斜率取边界的两边；当范围含时，斜率取边界的中间. 变式1-1已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 变式1-2．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 变式1-3若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 题型二、已知直线与线段相交求参数范围 典例2 过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 题型模版 方法：画图分析，借用题型一中的结论，观察满足条件的直线倾斜角是否有，若含时，斜率取边界的两边；若不含时，斜率取边界的中间. 变式2-1已知，.若过的直线与线段没有公共点，则的倾斜角的取值范围是___________. 变式2-2已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 变式2-3已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 题型三、求直线方程 典例3已知的三个顶点是. (1)求边AB上的高所在直线的方程； (2)求边AB上的中线所在直线的方程； (3)求边AB的垂直平分线的方程； 题型模版与重点 1模板：斜截式、点斜式、两点式（一般不常用，因为点斜式往往也比较直接，但要明确两点可求直线）、截距式求直线方程，但要注意斜率应用时要讨论斜率是否存在，截距应用时要讨论横纵截距是否都存在以及是否为0. 2.重点：点斜式的熟练应用是学习的重点，在后续圆锥曲线学习种也最常用.（很多学生喜欢沿用初中斜截式代点求值的方法，这一点务必及时改进） 变式3-1过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 变式3-2已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 变式3-3已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 题型四、已知两直线平行或垂直求参数的值 典例4根据条件求值 (1)若直线和直线平行，求m的值； (2)已知直线，直线，且，求m的值． 方法归纳 则 ①且不重合（一般需求值后代入两方程，方程不一致即可） ② 如果用（平行）及（垂直）来解决此类问题，就要讨论斜率不存在情形（分母为0），不建议. 变式4-1已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 变式4-2已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 变式4-3已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 题型五、两点距离、点到直线的距离、两平行线间的距离公式应用 典例5平面直角坐标系内，点，， (1)求直线的方程和线段长度； (2)求三角形的面积； (3)求的角平分线所在直线的方程. 公式及易错点 1. 公式：①两点之间的距离; ②点到直线的距离; ③两平行线之间的距离; 2.易错点：点到直线及两平行直线间的距离务必注意公式中绝对值不能省略，否则常会漏解. 变式5-1过直线和的交点并且与原点相距为1的直线l的方程可能为（    ） A． B． C． D． 变式5-2与直线平行且与它的距离为的直线的方程为______． 变式5-3已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 题型六、两点距离、斜率代数公式与几何的转化 典例6已知、，点在线段上，则的取值范围为________,的最小值为________. 题型模版 比值结构转化为斜率、平方和结构转化为距离（距离的平方），数形结合是突破此类问题的关键. 变式6-1已知实数满足，则的最大值为______． 变式6-2已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式6-3函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型七、点关于直线对称点的求法及应用 典例7 下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．直线l:关于直线的对称直线的方程是； 题型模版与特殊结论 1.特征：求已知点A关于直线的对称点步骤：①设对称点②利用及中点在直线上列方程组③计算; 2.特殊情况结论：当对称直线的斜率为时:点A关于直线:的对称点的坐标为;点A关于直线:的对称点的坐标为.即把点的横坐标代入对称直线中的，解出的即为对称点的纵坐标；把的纵坐标代入对称直线中的,解出的即为对称点的横坐标. 变式7-1已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 变式7-2一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 变式7-3已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 题型八、直线恒过定点的求解与应用 典例8直线恒过定点的坐标为_____． 题型模版与难点分析 1.定点解法：将含有参数的部分合在一起，不含参数的部分合在一起，两部分分别为0，解方程组即可. 2.难点：许多题目解题时并无恒过定点这一问，要求能主动分析动态直线运动特点：“恒过定点”. 变式8-1点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 变式8-2已知直线l：，则点到直线的最大距离为（   ） A．5 B．2 C．8 D．10 题型九、已知三个条件求圆的标准方程（一般方程） 典例9求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 方法归纳与易错分析 1方法归纳：法一：待定系数法，利用条件列三个方程求解即可；法二：先求圆心，再求半径；法三：先求半径，再求圆心. 2.易错分析：表达距离或长度时，绝对值易忽略，会导致漏解. 变式9-1已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 变式9-2已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 变式9-3过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 题型十、圆的三种定义应用（定点定长、定长定角、阿氏圆） 典例10 已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型模版 圆的三种定义：①定点，为定值；②定点,;③定点,=定值 变式10-1已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式10-2若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 变式10-3在平面直角坐标系中，已知两点，，圆，点是圆上任意一点，若为定值，则的值为______． 题型十一、判断点与圆的位置关系或已知位置关系求参数范围 典例11若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 题型模版与易错点 1.模板：点在圆上、圆内、圆外的判断方法是将点代入圆方程左侧之后与右侧比大小：=则圆上；>则圆外；<则圆内. 2.易错点：当圆是一般方程时，一般需要先配方变形为标准方程，右侧要>0(或者直接用),容易忽略这一隐含限制 . 变式11-1已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 变式11-2点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 题型十二、定点与圆上动点的最值问题 典例12已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 题型模版 定点与上动点的距离的范围是. 变式12-1已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式12-2已知圆，若点是圆上的动点，则的最小值为___________． 变式12-3已知、、三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型十三、判断直线与圆的位置关系或已知位置关系求参数范围 典例13已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？ 题型模版 直线与圆的位置关系一般优先转化为圆心到直线的距离与半径比大小. 若动态直线恒过圆内的定点，则直线与圆必相交. 变式13-1直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 变式13-2已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 变式13-3已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型十四、求圆上动点与直线距离范围或已知距离求参数范围（值） 典例14 已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 题型模板与思维习惯 1.题型模板：圆上的点到直线的距离范围是,其中为圆心到直线的距离，为圆的半径. 2.思维习惯：直线与圆的问题，首先考虑往圆心到直线的距离方面取转化，虽不能保证万能，但许多题目都行之有效. 变式14-1已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式14-2已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 变式14-3若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型十五、过圆外（圆上）一点求圆的切线方程、切点弦方程、切线相关的动态分析 典例15已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为 C．直线过定点 D．的最小值为 题型模版与常见结论总结 1.模板：过圆外一点作圆的切线，求切线方程有两条，基本解法如下：①讨论斜率存在时，点斜式设直线；②利用解方程；③上一步若两解则斜率不存在时不符，如一解则斜率不存在时符合;④下结论. 过圆上一点求切线方程有一条的基本解法如下：①求的斜率为圆心）；②利用垂直关系得到切线的斜率；③点斜式写出直线方程. 2.常见结论：①记圆方程为,圆外一点作圆的两切线，切点分别为,则直线的方程（“切点弦方程”）为：,当点在圆上时，由极限思想此式即为切线方程. ②圆外一点作圆的两切线，切点分别为,则点离圆心越近切线长越小，越大. 变式15-1已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（   ） A． B． C． D． 变式15-2直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式15-3过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 题型十六、求弦长或已知弦长求参数范围 典例16．已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 题型模版 1.结论：弦长和弦心距（圆心到弦长所在的直线距离）之间往往相互转化，可以作为公式. 2.题型特征：已知弦长（非最长弦、最短弦）求直线往往有两条;过圆内一定点，最长弦为过圆心（为直径），最短弦与最长弦垂直. 变式16-1直线：截圆：的弦长为__________． 变式16-2已知过点的直线L被圆所截得的弦长为，则直线L的一般式方程为___________. 变式16-3已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则的面积为 C．的最小值为 D．的面积的最大值为2 题型十七、求与圆有关的一次型（截距）、分式型（斜率）、平方和型（距离）的范围 典例17已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 方法归纳 不同形式的代数与几何意义对应关系：①平方和结构与两点间的距离；②比值结构与两点直线的斜率 ；③一次式与直线纵截距.④一次式绝对值与点到直线的距离(或用③与绝对值函数相结合） 变式17-1已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 题型十八、与圆有关的轨迹问题方法归纳 典例18已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 方法归纳与易错分析 1.方法归纳:求轨迹方程有如下几种方法： （1）定义法：圆有三种定义：①定点，为定值；②定点,;③定点,=定值 （2）直接应用法：设目标动点坐标为,将题中条件直接转换为关于的表达式即可. （3）相关点代入法：题中一般有多个动点，一般设目标动点坐标为，将另外动点（一般有运动曲线方程）坐标用的表出来，代入已知条件即可. （4）消参法：设目标动点坐标为，其中都与另外参数有关，消去参数即可. 2.易错分析：轨迹方程要考虑动点坐标的范围，这一点极其容易忽略. 变式18-1阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题，平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆叫阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P到A、B的距离之比为，当三点不共线时， 面积的最大值是______ 变式18-2已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 变式18-3已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是________________. 题型十九、圆与圆的位置关系判断或已知位置关系求参数范围 典例19已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型模版与易错分析 1.模板：记半径分别为，则两圆得位置关系判断方法为：相离4条公切线；外切3条公切线；相交2条公切线；内切1条公切线；内含0条公切线； 2.易错分析：两圆0个交点相离或内含；两圆1个交点外切或内切； 变式19-1若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 变式19-2已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______. 变式19-3在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二十、求两圆的公切线方程或公切线长 典例20设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 1.模板：(1)求公切线方程步骤：①假设直线斜截式（由图讨论斜率是否存在）；②利用两次解方程组；(2)求公切线长，画图分析，在直角梯形中求解即可. 2.难点：解方程并不容易，需要讨论绝对值正负对应. 变式20-1已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 题型二十一、求两圆相交弦所在的直线方程或公共弦长 典例21已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型模版 (1) 求相交弦所在得直线方程两圆作差即可; (2) 求公共弦长步骤：①先两圆作差求相交弦所在的直线方程；②再在一个圆中利用半径和圆心距求弦长即可. 变式21-1圆与圆的公共弦长为_________． 题型二十二、与圆有关的韦达定理应用 典例22平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 题型模版 当仅由圆的几何性质无法解决直线与圆的综合问题时，便需要圆锥曲线的基本方法：①假设直线及交点坐标;②直线与圆联立方程组;③消元;④;⑤韦达定理. 变式22-1已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式22-2已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线上动点，则（    ） A．存在以为直径的圆与相切 B． C． D． 6．在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 7．记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 8．在平面直角坐标系中，到两条坐标轴的距离之和与到点的距离相等的点的轨迹是，则（    ） A．点在上 B．存在斜率为1的直线与恰有3个公共点 C．当且仅当，圆与恰有4个公共点 D．存在定点，过且互相垂直的任意两条直线都与相交，所有交点中必有两个与等距 三、填空题 9．若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 10．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______． 11．已知实数a，b满足，若对任意实数c，d，记的最小值为M，则M的最大值为______． 四、解答题 12．已知动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点，是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 14．已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 15.出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，对于直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”（“直角距离”）：．请解决以下问题： (1)求线段上一点到原点的“距离”； (2)求所有到定点的“距离”均为2的动点围成的图形的周长； (3)在“欧式几何学”中有如下两个与“距离”有关的正确结论： ①平面上任意三点A，B，C，； ②平面上不在一直线上任意三点A，B，C，若；则是以为直角三角形. 上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $