精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高2024级高二上期第三学月考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点求出直线斜率即可得解. 【详解】设倾斜角为，因为，所以，又，所以. 故选：D 2. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数. 故选：C. 3. 过、两点的直线方程是 （  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的截距式定义求解. 【详解】根据截距式方程得出 过、两点的直线方程是 . 故选：A. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆且焦点在轴上，列出不等式求参数范围. 【详解】由题意. 故选：C 5. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接代入点坐标并结合二元二次方程为圆的条件即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 6. 若方程表示圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. R 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的判别式计算直接得出结果. 【详解】因为该方程表示圆， 所以， 所以. 故选：D 7. 若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】圆化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为， 可得圆心到直线的距离为， 若直线被圆截得的弦长为2， 则，整理得，即， 又，所以 ， 当且仅当即时等号成立， 则的最小值为2. 故选：C. 8. 如图所示，在平行六面体中，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向基本定理可得，，利用向量的数量积的运算律可求解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解A，根据垂直的坐标关系即可求解B，根据平行满足的坐标关系即可求解C，根据夹角公式即可求解D. 【详解】A：，A错误； B：由知，，解得，B正确； C：由知，，解得，C错误； D：若，，则，D正确. 故选：BD 10. 在正方体中，下列说法正确的是 （ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与底面所成的角为 C. 直线与垂直 D. 二面角 大小为 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用线线平行得出异面直线所成角判定A，应用线面角定义计算判断B，先证明线面垂直得出线线垂直判断C，根据二面角定义计算判断D. 【详解】对于A，连接， 因为，所以是平行四边形，则 是异面直线与 所成的角， ，是等边三角形， 异面直线 与所成的角为，故A正确； 对于B，底面，直线 与底面所成的角为， ，故B错误； 对于C，连接， 平面， 平面，平面，，故C正确； 对于D，平面，是二面角 的平面角， 二面角 大小为 ，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线交椭圆C于A、B两点，P为椭圆C上的一动点，则（ ） A. 当时，四边形的周长为定值8 B. 当为直角三角形时， C. 当直线PA，PB的斜率都存在时，其斜率之积为 D. 当直线与的斜率之差为2时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，根据椭圆的定义即可判断A；当时，求出点P的坐标，代入三角形面积公式中即可判断B；设出A，B，P的坐标，结合斜率公式即可判断C；将直线与的斜率之差表述出来，结合点P在椭圆上，可得，代入三角形面积公式中即可判断D. 【详解】 对于A：因为椭圆，所以，，，即，， 则四边形的周长为，正确； 对于B：当时，设， 因为点P在椭圆上，解得，取，则，错误； 对于C：因为直线交椭圆C于A，B两点，所以A，B两点关于原点对称， 设，，， 因为，两式相减并整理得， 因为，，所以，正确； 对于D：易知，， 所以，整理得， 因为点P在椭圆上，所以，解得， 则，正确． 故选：ACD 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆的半径大小为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解. 【详解】将圆的一般方程化为标准方程为， 所以圆的半径大小为. 故答案为：. 13. 两平行线，之间的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程化为，再根据两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】直线方程可化为， 所以两平行线，之间的距离为. 故答案为：. 14. 三棱锥中，，，面面，，以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找出点的位置，建立空间直角坐标系找出点到所在平面距离，将问题转化到平面上，求出点在平面上的射影到点距离的最大值和最小值，再根据勾股定理求出的最大值和最小值，得到答案. 【详解】取的中点，的中点，连；由等腰三角形的性质，，由已知平面与平面垂直，可得平面，进而可得出，，两两垂直，如图建立坐标系： 根据几何关系，可求出坐标：，，，，. 不妨记旋转过程中点所在的平面为，由题目已知，在旋转过程中，点在平面截以为圆心，为半径的球所得到的圆上. 记点在内的射影为，到平面的距离为垂线段的长度，记该距离为. 由，可用坐标法计算点到平面的距离为： ，由勾股定理， 由几何关系，，可知当最小时，最小；最大时，最大. 在平面上的几何关系如下图： 可得的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为. 故答案为： 【点睛】易错点睛：本题的难点和易错点在于找到点的范围，易犯错误为将点的范围扩大为以为圆心，半径为的整个球面. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）设为的中点，求直线的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）先确定中点的坐标，根据两点确定直线的斜率，利用直线方程的点斜式写出直线方程. （2）法一：确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积； 法二：通过判断直线与的关系，可得为直角三角形，利用直角三角形的面积的计算方法求三角形面积. 法三：利用行列式的方法求三角形面积. 【小问1详解】 的中点的坐标为. 所以直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 法一： 因为,所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离. 因为， 所以. 法二： 因为，， 所以. 所以. 因为， ， 所以. 法三：由题意：. 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求的值. （2）根据分层抽样的概念，古典概型概率公式求解即可. （3）根据加权平均数与方差公式计算即可． 【小问1详解】 由题意，解得：. 【小问2详解】 由题可知，成绩在区间的频数为：； 成绩在区间的频数为：. 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，成绩在的频数为. 再从这7份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在的概率为：. 【小问3详解】 因为落在与的频率比为， 所以，． 17. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义求解， （2）由点差法得直线斜率后求解， 【小问1详解】 由题可知， 则 由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点，且长轴长为的椭圆， ∴，∴ ∴的轨迹方程为： 【小问2详解】 设,∵ 都在椭圆上， ∴ ，，相减可得， 又中点为，∴ ， ∴ ，即直线的斜率为， ∴直线的方程为，即, 因为点在椭圆内，所以直线与椭圆相交于两点，满足条件. 故直线的方程为. 18. 椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点. （1）求椭圆的方程； （2）若面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解出的值，则椭圆的方程可知； （2）设出直线的方程，联立直线的方程与椭圆方程得到纵坐标的韦达定理形式，根据，代入韦达定理求解出参数值，则直线的方程可知. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率为时，显然不符合题意； 因为，设， 联立，可得， 则， ， 因为， 所以，解得， 所以直线的方程. 19. 如图，等腰梯形的高为2，，，是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上. （1）求证：直线平面； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成的锐二面角为45°，求的值. 【答案】（1）在图①中，过作，垂足为， 则，可知点与点重合，即， 在图②中，可得， 又因为，，平面， 所以直线平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，进而可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （3）设，求平面的法向量，利用空间向量结合面面夹角运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：直线平面，， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 若是的中点，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知：， 因为点在棱上，设， 则， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高二上期第三学月考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 22 3. 过、两点的直线方程是 （  ） A. B. C. D. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 5. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若方程表示圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. R 7. 若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 如图所示，在平行六面体中，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在正方体中，下列说法正确的是 （ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与底面所成的角为 C. 直线与垂直 D. 二面角 大小为 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线交椭圆C于A、B两点，P为椭圆C上的一动点，则（ ） A. 当时，四边形的周长为定值8 B. 当为直角三角形时， C. 当直线PA，PB的斜率都存在时，其斜率之积为 D. 当直线与的斜率之差为2时， 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆的半径大小为___________. 13. 两平行线，之间的距离为____________. 14. 三棱锥中，，，面面，，以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）设为的中点，求直线的方程； （2）求的面积． 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 17. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程. 18. 椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点. （1）求椭圆的方程； （2）若面积为，求直线的方程. 19. 如图，等腰梯形的高为2，，，是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上. （1）求证：直线平面； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成的锐二面角为45°，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $