精品解析：山东省济南燕山中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

9年级10月数学学科学情调研 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质．根据比例的性质可设，，再代入化简，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，， ∴ ． 故选：A． 2. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. 1，，5 B. 1，3，5 C. 5，3，1 D. 5，，1 【答案】D 【解析】 【分析】将函数整理为的一般形式，再对应确定各项系数． 【详解】解：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比为：， 故选：D． 4. 如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，四个三角形的顶点都在格点上，则下列选项中是相似三角形的是（ ）． A. ①和② B. ③和④ C. ②和④ D. ①和④ 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出四个三角形的三边长，再根据三角形相似的判定定理，即可求解． 【详解】解：①中的三角形的三边长分别为； ②中的三角形的三边长分别为； ③中的三角形的三边长分别为； ④中的三角形的三边长分别为； ∵， ∴相似三角形是①和④． 5. 如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得， ∴． 6. 如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长拉长，边长拉长得到的，若两个矩形相似（不全等），则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似多边形的性质，构建方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，图2中的矩形边长为，， ∵两个矩形相似， ∴或， 解得或， 经检验，或是对应原方程的解， ∵两个矩形不全等， ∴（舍去）， ∴． 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三个点的横坐标代入二次函数解析式，求出对应纵坐标后比较大小． 【详解】解：将各点横坐标代入，得，，， ∵， ∴． 8. 如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（    ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积、平移的性质，掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平移的性质、相似三角形的判定与性质计算即可． 【详解】解：沿边平移到的位置， ， ， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长． 【详解】解：∵， ∴=5， 由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD， ∵平分， ∴∠BFD=∠DFE=∠DAE， ∵∠DAE+∠B=90°， ∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°， ∴Rt△ABC∽Rt△FBD， ∴即， 解得：AD=， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 10. 如图，正方形的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边上运动，且满足，连接，过点O作交点G，则下列结论：①连接，则的周长不变；②若，则；③连接，则；④．其中正确的为（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，推出是等腰直角三角形，是线段的垂直平分线，再证明，，据此求解即可． 【详解】解：点O是正方形的中心，连接，则经过点O，连接，，， ∵正方形的边长为4， ∴，，又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴①的周长不变，故①正确； ∵，∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 解得，即，故②正确； ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，①②④正确， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 在与中，已知，且的周长为，则的周长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】由三边对应成比例，可得两个三角形的周长比等于相似比，代入的周长即可计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 即的周长的周长， ∵的周长为 ∴ 的周长为． 12. 宽与长的比是黄金比的矩形，称为黄金矩形.从外形看，它最具美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺卡，如果较长的一条边的长为20cm，那么与其相邻的一条边的长为__________cm（结果保留根号）. 【答案】 【解析】 【分析】由宽与长的比为计算即可． 【详解】解：设与长边相邻的一条边的长为cm， ∵矩形的长为20cm， ∴， 解得：， 故填：． 【点睛】本题考查黄金比的数值，牢记黄金分割比，列比例式时注意是短边与长边之比． 13. 在中，，垂足为点D，当时， __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，画出图形，证明，即可得到，再利用勾股定理即可解答，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ，， ， ， ∴，即， ， ， ， 利用勾股定理可得, 故答案为：． 14. 对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数的相关性质，可求出 ______． x -1 m（m≠-1） y=ax2 c c y=bx2 c+3 d 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可知m=1，代入，将d用含c的式子表示出来即可 【详解】解：由二次函数的性质可得的对称轴为y轴， 故由表可得 故答案为：3 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 15. 如图，是正方形的边上一点，连结，将顺时针旋转得到，连结，分别交，于点，．若与相似，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据旋转的性质得到，，由得，，得到，得出，进而得出，，计算即可得到答案． 【详解】解： 如图，作于点 ， 正方形， ， ， ， 顺时针旋转得到， ，， ， ，， ，， ∴平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）整理方程后用直接开平方法求解，步骤简便； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 两边同除以2，得， 开平方得，即或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：，． 17. 如图，，与交点E，连接，若，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）16 （2） 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法． （1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果； （2）证明，再根据，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 18. 如图，点，在的图象上． （1）求a的值和点B的坐标． （2）当时，y的取值范围为______． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入求得，将代入求出的值即可； （2）根据函数图象确定最大值和最小值即可． 【小问1详解】 解：∵点在的图象上， ∴， ∴， ∵点在的图象上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， 观察图象，当x趋近4时y趋近4（或）， 当时，当时有最小值0； ∴y的取值范围． 19. 在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； （3）在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 【答案】（1）如图，， （2）如图， （3） 【解析】 【分析】（1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似变换的知识，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）结合图形，由位似变换的性质，即可求得的坐标． 【小问1详解】 解：图略， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以原点为位似中心，相似比为，在同一侧的位似点坐标规律：点，对应点坐标为． 20. 如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB． （1）求∠APB的大小． （2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系． 【答案】（1）120°；（2）CD2=AC•BD． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的性质得到∠APC=∠PBD，根据三角形内角和定理计算； （2）根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答． 【详解】解：（1）∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD=60°， ∴∠A+∠APC=60°， ∵△ACP∽△PDB， ∴∠APC=∠PBD， ∴∠A+∠B=60°， ∴∠APB=120°； （2）∵△PCD是等边三角形， ∴PC=PD=CD， ∵△ACP∽△PDB， ∴=， ∴CD2=AC•BD． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键． 21. 表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大． 【答案】方案一：，方案二：，方案一的正方形水池面积更大． 【解析】 【分析】方案一：设正方形边长为x米，利用平行线分线段成比例定理即可求出正方形的边长；方案二：根据题意画出图形，作交于点．根据直角三角形的面积得出的长，利用相似三角形的判定定理即可得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出正方形的边长；把两方案中正方形的边长进行比较即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为米． 方案一：∵， ∴， ∴， ∴； 方案二：如图2，作于H，交于点， 则四边形是矩形， ∴米，米； 由勾股定理得：米， ∵， ∴米； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∵， ∴方案一的正方形水池面积更大． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质等知识，利用相似三角形的性质是解题的关键． 22. 国庆期间，超然楼作为济南地标性建筑，吸引了大量游客．某数学兴趣小组想测量超然楼的高度，测量方案及相关数据如下： 主题 测量超然楼的高度 测量方案及 示意图 测 量 步 骤 步骤1：把2米长的标杆垂直立于地面点D处，后退4米到点Q处，此时楼顶端A，标杆顶端C和点Q正好处于同一直线； 步骤2：再将此标杆垂直立于地面点F处（其中米），后退6米到点P处，此时楼顶端A，标杆顶端E和点P正好处于同一直线． 备注 点B，D，Q，F，P均在同一水平直线上． （1）若米，只根据步骤1中的测量信息，计算超然楼的高度； （2）结合步骤1和步骤2中的测量信息，计算超然楼的高度． 【答案】（1）超然楼的高度为52米 （2）超然楼的高度为52米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形解决实际问题，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据题意得到，从而，根据相似三角形的性质即可求解； （2）设米，由题意，得，得到，，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，，米，米，（米）， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 答：超然楼的高度为52米． 【小问2详解】 解：设米， 由题意，得米，米，米，米，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴（米）， ∵， ∴，即， 解得， ∴米． 答：超然楼的高度为52米． 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 24. 某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点．为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，为中点，，连接，．求的最小值． 【答案】（1）①；②； （2）证明：如图，过作，交于， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得①的答案，根据等腰三角形的性质可得②的答案； （2）如图，过作，交于，可得，，，证明，可得，进一步可得结论； （3）如图，连接，，，求解，可得，，，，，当最小时，即最小；结合，当共线时，，此时最小，由（2）的结论可得：平分，而平分，再进一步可得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ① ，， 平分 ② ． （2）略 （3）如图，连接，，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为中点，正方形边长为9， ∴，，，， ∴最小时，即最小； ∵，当共线时，，此时最小， ∵， 由（2）的结论可得：平分，而平分， ∴， ∵， ∴， 而， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线分线段成比例，正方形的性质，三角形的三边关系的应用，理解题意，确定最小值时的位置是解本题的关键． 25. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 【答案】问题背景： 证明：∵， ∴∠BAC=∠DAE， ， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴； 尝试应用：3； 拓展创新：． 【解析】 【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证； 尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案； 拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案． 【详解】问题背景：略 尝试应用：连接CE， ∵，， ∴， ∴， ∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 由于，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵ ∴， ∴； 拓展创新： 如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE， ∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，， ∴∠ADE=∠ABC， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴， ∴， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9年级10月数学学科学情调研 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. 1，，5 B. 1，3，5 C. 5，3，1 D. 5，，1 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，四个三角形的顶点都在格点上，则下列选项中是相似三角形的是（ ）． A. ①和② B. ③和④ C. ②和④ D. ①和④ 5. 如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 10 6. 如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长拉长，边长拉长得到的，若两个矩形相似（不全等），则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（    ） A. 1 B. 3 C. D. 9. 如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边上运动，且满足，连接，过点O作交点G，则下列结论：①连接，则的周长不变；②若，则；③连接，则；④．其中正确的为（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 在与中，已知，且的周长为，则的周长为______． 12. 宽与长的比是黄金比的矩形，称为黄金矩形.从外形看，它最具美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺卡，如果较长的一条边的长为20cm，那么与其相邻的一条边的长为__________cm（结果保留根号）. 13. 在中，，垂足为点D，当时， __________． 14. 对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数的相关性质，可求出 ______． x -1 m（m≠-1） y=ax2 c c y=bx2 c+3 d 15. 如图，是正方形的边上一点，连结，将顺时针旋转得到，连结，分别交，于点，．若与相似，则______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 17. 如图，，与交点E，连接，若，，． （1）求的长； （2）求证：． 18. 如图，点，在的图象上． （1）求a的值和点B的坐标． （2）当时，y的取值范围为______． 19. 在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； （3）在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 20. 如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB． （1）求∠APB的大小． （2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系． 21. 表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大． 22. 国庆期间，超然楼作为济南地标性建筑，吸引了大量游客．某数学兴趣小组想测量超然楼的高度，测量方案及相关数据如下： 主题 测量超然楼的高度 测量方案及 示意图 测 量 步 骤 步骤1：把2米长的标杆垂直立于地面点D处，后退4米到点Q处，此时楼顶端A，标杆顶端C和点Q正好处于同一直线； 步骤2：再将此标杆垂直立于地面点F处（其中米），后退6米到点P处，此时楼顶端A，标杆顶端E和点P正好处于同一直线． 备注 点B，D，Q，F，P均在同一水平直线上． （1）若米，只根据步骤1中的测量信息，计算超然楼的高度； （2）结合步骤1和步骤2中的测量信息，计算超然楼的高度． 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 24. 某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点．为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，为中点，，连接，．求的最小值． 25. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $