精品解析：山东省济南燕山中学2026-2027学年上学期九年级学情自测数学试题

济南燕山中学九年级开学测数学试题 一、单选（每题5分，共10小题，共50分） 1. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义逐项求解即可做出选择． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查算术平方根和立方根，理解算术平方根和立方根的定义是解答的关键． 2. 若，两点都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：∵直线中的， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 3. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA 2，则PQ的长不可能是（ ） A. 4 B. 3.5 C. 2 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，此时根据角平分线性质得出PQ=PA，再逐一判断即可． 【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=2， ∴PQ=PA=2， 所以的最小值为2， 所以A，B，D不符合题意，D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，求解PQ最小值是解此题的关键． 4. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 5. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据旋转性质得到、，作垂线构造直角三角形，利用证明，可得，；由角度条件得到，在直角三角形中算出，，，最后结合在第二象限，求出点坐标． 【详解】如图，过点B作轴于点C，过点作轴于点D， ∵绕点O逆时针旋转，点B的对应点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点再第二象限， 故坐标为． 6. 已知（1）班和（2）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（ ） A. （1）班成绩比（2）班成绩集中 B. （1）班成绩的上四分位数是80分 C. （1）班有同学的成绩超过140分 D. （1）班的最低分低于（2）班的最低分 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，分别观察数据的集中程度、四分位数、最大值及最小值进行判断即可． 【详解】解：A、观察箱线图知：（1）班成绩的箱线图及须的长度较长，数据分布较分散，则（2）班成绩比（1）班成绩集中，故该选项A错误；  B、观察箱线图知：（1）班成绩的下四分位数是80分，上四分位数约为110分，故该选项B错误；  C、观察箱线图知：（1）班成绩的最大值约为135分，低于140分，没有同学的成绩超过140分，故该选项C错误；  D、观察箱线图知：（1）班成绩的最低分约为50分，（2）班成绩的最低分约为70分，，即（1）班的最低分低于（2）班的最低分，故该选项D正确． 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ） A. 2或6 B. 2或8 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根, ∴, ∴ ∵是方程的两个实数根, ∵， 又 ∴ 把代入整理得, 解得, 故选A 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程． 8. 菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理，求出一元二次方程的解是解题的关键．先解一元二次方程求出菱形的对角线，再根据菱形对角线垂直且互相平分及勾股定理求解即可． 【详解】解方程得， 或（舍去）， 即另一条对角线长是6， 菱形的一条对角线长为8， 菱形的边长． 故选：D． 9. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 10. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 二、填空题（仅错误的打×）（每题7分，共5小题，共35分） 11. 已知一次函数的图象经过点和，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，即， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有实数根需满足判别式非负，由此建立条件不等式组求解即可． 【详解】解：方程 是一元二次方程， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 故 的取值范围是 且 ． 13. 某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加万辆，则从4月份到6月份销售量的平均月增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，则6月份的销售量为万辆，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴从4月份到6月份销售量的平均月增长率为， 故答案为：． 14. 某湿地公园如图所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），A为起点，终点B在上，米，为湖边观景台，长度固定不变（米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，则步行观光路线的最短长度为______． 【答案】米 【解析】 【分析】过点N作交于点，作点B关于的对称点，连接，则垂直平分，证明四边形是平行四边形，将转化为，即需要求出的最小值，当P、N、Q三点共线时，有最小值，最小值为，在中，利用勾股定理求出值，从而求出步行观光路线的最短长度． 【详解】解：过点N作交于点，作点B关于的对称点，连接， 垂直平分、， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 、， ， 当P、N、Q三点共线时，有最小值，最小值为， 在中，、， ， 的最小值为， 即步行观光路线的最短长度为米． 15. 如图，四边形是正方形，四边形是菱形，四边形是矩形，其中点E在边上，在边上，点G是菱形对角线的交点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，进而得出四边形是矩形，则，，根据勾股定理求出，再根据，求出的值，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则， 根据勾股定理可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 三、主观题（共55分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解不等式组：并将解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2） 不等式组的解集为， 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，两个解集的公共部分就是不等式组的解集，再把不等式组的解集表示在数轴上． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组的解集为， 图略． 17. 按要求完成下列各题： （1）化简． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 18. 如图，▱中，为对角线和的交点，，，垂足分别为、．求证：． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD． 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠OFD＝∠OEB． 又∠DOF＝∠BOE， ∴△BOE≌△DOF． ∴OE＝OF． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得OB＝OD，根据BE⊥AC，DF⊥AC得∠OFD＝∠OEB，结合对顶角相等得△OFD≌△OEB，从而证明OE＝OF． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 19. 某市为了科学处理垃圾，新建了A，B两类垃圾处理场共20个，其中A类处理不可回收垃圾，B类处理可回收垃圾，已知每一个A类垃圾处理场日处理量为30吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，该市新建的20个垃圾处理场每天处理城市垃圾总量为720吨． （1）求该市A，B两类垃圾处理场各有多少个？ （2）为了环保要求，不可回收垃圾再次细分为不可回收垃圾和有害垃圾，致使A类垃圾处理场日处理量减少了5吨，市政府拟将个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，请给出新建的垃圾处理场日处理垃圾最多的改建方案，最多日处理垃圾为多少吨？ 【答案】（1）该市A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有12个 （2）将3个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，垃圾处理场日处理垃圾最多，最多日处理垃圾为635吨 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用及一次函数的实际应用． （1）设该市A类垃圾处理场有x个，则B类垃圾处理场有个，根据该市新建的20个垃圾处理场每天处理城市垃圾总量为720吨．建立方程求解即可； （2）设改建后日处理垃圾为y吨，根据题意得到改建后一个A类垃圾处理场日处理量为25吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有个，由日处理垃圾的吨数A类垃圾处理场的个数乘以日处理量B类垃圾处理场个数乘以日处理量，列出关系式，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设该市A类垃圾处理场有x个，则B类垃圾处理场有个， 根据题意得：， 解得：，则（个） 答：该市A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有12个； 【小问2详解】 解：设改建后日处理垃圾为y吨， 根据题意得到改建后一个A类垃圾处理场日处理量为25吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有个， 则， 即， ， 随a的增大而减小， ， 当时，y有最大值，最大值为：（吨） 答：将3个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，垃圾处理场日处理垃圾最多，最多日处理垃圾为635吨． 20. 跳绳是一项有效的有氧运动，因其便捷被学校广泛选为促进学生体质健康的运动项目，某校八年级400 名学生在“跳绳提升”训练前后各参加了一次规则相同的测试，测试成绩为整数，满分10分．两次测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，现用抽样调查的方式从中抽取了50名学生训练前后的测试成绩，并绘制出了如下统计图表． 平均数 中位数 众数 方差 训练前 7.6 7 a 1.84 训练后 8.8 b 10 1.76 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______； （2）补全条形统计图； （3）如图③是李华绘制的训练前跳绳成绩的箱线图，请将训练后跳绳成绩的箱线图补充完整； （4）请根据（3）所绘制的箱线图，分析训练前后的成绩变化． 【答案】（1）， （2） 补全条形统计图如下： （3） 补全箱线图如下： （4）从箱线图看，训练前箱线图的箱体相对较宽，说明训练前数据的离散程度较大，即学生成绩之间的差异较大；训练后箱线图的箱体相对较窄，表明训练后学生成绩的离散程度变小，成绩更为集中；训练前中位数对应的位置较低，训练后中位数对应的位置较高，说明训练后成绩的整体水平提高了． 【解析】 【分析】（）根据众数和中位数的定义解答即可求解； （）求出训练前跳绳成绩8分的学生人数，进而即可补全条形统计图； （）根据训练后的测试成绩画出图形即可； （）根据箱线图作出分析即可； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，众数和中位数，箱线图，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由条形统计图得，训练前跳绳成绩8分的学生人数为名， ∵， ∴训练前众数， 由扇形统计图可知，训练后中位数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（）知，训练前跳绳成绩8分的学生人数为名， 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 21. 如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连结，若，，，求四边形的面积； （3）如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ， 点是边的中点， ， ， ∴， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，得，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）如图，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质和含度角的直角三角形的性质求出，的值，即可解决问题； （3）结合分两种情况讨论：如图，当点落在的边上时，如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点，分别画图进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点， ，，， ，， ， 四边形的面积； 【小问3详解】 如图，当点落在的边上时， 由题意可知：是的中点， ， 在平行四边形中，， ，， ≌， ， ； 如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点， 同理可证≌， ，， 是的中位线， ，，，， 在中，． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是分类讨论解决问题 22. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示． 如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； 研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： 点，，，在函数图象上，则______，______；填“”，“”或“” 当函数值时，求自变量x的值； 在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值； 若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）①，；②x=3或x=-1；③2；④ 【解析】 【分析】（1）根据函数图像的画法，从左至右依次连接个点，即可解决； （2）①根据A点与B点的横坐标，判断两点所在的函数图像，然后根据函数的性质解决即可；根据C点与D点的纵坐标，判断两点所在的函数图像，然后结合函数图像解决即可. ②当时，判断其所在的函数图像，然后结合函数解析式计算解决即可.③由图可知时，所以两点在函数的图像上，然后根据函数的对称性解决即可.④结合函数图像，与函数图象有三个不同的交点，可知必须与两函数图像分别相交才可以，据此解决即可； 【详解】解：如图所示： ，， A与B在上，y随x的增大而增大， ； ，， C与D在上，观察图象可得； ②当时，，不符合； 当时，，或； ，在的右侧， 时，点关于对称， ， ； ④由图象可知，当与分段函数分别相交时才会有三个不同的交点，观察函数图像y＞0，且y＜2，故a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南燕山中学九年级开学测数学试题 一、单选（每题5分，共10小题，共50分） 1. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，两点都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA 2，则PQ的长不可能是（ ） A. 4 B. 3.5 C. 2 D. 1.5 4. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 5. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知（1）班和（2）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（ ） A. （1）班成绩比（2）班成绩集中 B. （1）班成绩的上四分位数是80分 C. （1）班有同学的成绩超过140分 D. （1）班的最低分低于（2）班的最低分 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ） A. 2或6 B. 2或8 C. 2 D. 6 8. 菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 9. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 10. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 二、填空题（仅错误的打×）（每题7分，共5小题，共35分） 11. 已知一次函数的图象经过点和，则________________． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 13. 某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加万辆，则从4月份到6月份销售量的平均月增长率为______． 14. 某湿地公园如图所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），A为起点，终点B在上，米，为湖边观景台，长度固定不变（米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，则步行观光路线的最短长度为______． 15. 如图，四边形是正方形，四边形是菱形，四边形是矩形，其中点E在边上，在边上，点G是菱形对角线的交点，若，则______． 三、主观题（共55分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解不等式组：并将解集表示在数轴上． 17. 按要求完成下列各题： （1）化简． （2）解方程：． 18. 如图，▱中，为对角线和的交点，，，垂足分别为、．求证：． 19. 某市为了科学处理垃圾，新建了A，B两类垃圾处理场共20个，其中A类处理不可回收垃圾，B类处理可回收垃圾，已知每一个A类垃圾处理场日处理量为30吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，该市新建的20个垃圾处理场每天处理城市垃圾总量为720吨． （1）求该市A，B两类垃圾处理场各有多少个？ （2）为了环保要求，不可回收垃圾再次细分为不可回收垃圾和有害垃圾，致使A类垃圾处理场日处理量减少了5吨，市政府拟将个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，请给出新建的垃圾处理场日处理垃圾最多的改建方案，最多日处理垃圾为多少吨？ 20. 跳绳是一项有效的有氧运动，因其便捷被学校广泛选为促进学生体质健康的运动项目，某校八年级400 名学生在“跳绳提升”训练前后各参加了一次规则相同的测试，测试成绩为整数，满分10分．两次测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，现用抽样调查的方式从中抽取了50名学生训练前后的测试成绩，并绘制出了如下统计图表． 平均数 中位数 众数 方差 训练前 7.6 7 a 1.84 训练后 8.8 b 10 1.76 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______； （2）补全条形统计图； （3）如图③是李华绘制的训练前跳绳成绩的箱线图，请将训练后跳绳成绩的箱线图补充完整； （4）请根据（3）所绘制的箱线图，分析训练前后的成绩变化． 21. 如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连结，若，，，求四边形的面积； （3）如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值． 22. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示． 如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； 研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： 点，，，在函数图象上，则______，______；填“”，“”或“” 当函数值时，求自变量x的值； 在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值； 若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $