河北省唐山市第二中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

唐山二中2026-2027学年度第一学期高三月考(1)数学学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 出题人：王超伟 一、单选题 1．已知一组数据为：1，2，5，3，7，10，4，6，8，9，则该组数据的第60百分位数是（    ） A．6 B．6.5 C．7 D．8 2．已知命题，命题，则p是q成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮两次，则在甲比乙进球数多1个的前提下，乙没有进球的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和，若为正整数，则（    ） A．4052 B．2026 C． D． 6．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．设函数，则（    ） A．2是的极小值点 B．方程有2个不同的实数解 C． D． 8．设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．函数恒过定点 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的单调增区间为 D．函数在上的最大值为 10．设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（    ） A．若事件，互斥，则 B．若事件，互斥，则 C．若事件，相互独立，则 D．若，则 11．如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥SO的侧面积为，则下列结论正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积最大值为 C．若点B为弧AC的中点，则二面角的平面角大小为 D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 三、填空题 12．的展开式中的系数为________. 13．___________. 14．已知数列的前项和为，若，则__________. 四、解答题 15．等差数列的前项和，等比数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)若，的面积为，为边的中点，求的长度； (2)若为边上一点，且，，求的最小值． 17．俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为． (1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差； (2)求张老师当天穿西装的概率． 18．已知函数. (1)若函数在处的切线平行于直线，求实数的值； (2)若方程在上恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 19．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为，为坐标原点，且的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)不过点的直线与椭圆相交于两点，点在轴上方，点在轴下方，记直线的斜率分别为，且． （i）证明：直线过定点； （ii）记（i）中定点为，的面积为，的面积为，求的取值范围． 试卷第2页（共3页） 试卷第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山二中2026-2027学年度第一学期高三月考(1)数学学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 出题人：王超伟 一、单选题 1．已知一组数据为：1，2，5，3，7，10，4，6，8，9，则该组数据的第60百分位数是（    ） A．6 B．6.5 C．7 D．8 【答案】B 【详解】将数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共10个数据， 因为，所以该组数据的第60百分位数是. 2．已知命题，命题，则p是q成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用反例证明充分性不成立，利用不等式性质证明必要性成立，则得到答案. 【详解】若则满足命题，但不满足后者命题， 故命题无法推出命题， 而若，则，对两边同乘得，即， 故命题可以推出命题， 故是的必要不充分条件， 故选：B. 3．已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定函数的单调性，然后比较的大小后可得结论． 【详解】由，， 因为函数在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 而， 则，即. 4．甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮两次，则在甲比乙进球数多1个的前提下，乙没有进球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲比乙进球数多1个为事件，乙没有进球为事件， 由题意，， ， 所以. 5．已知数列的前项和，若为正整数，则（    ） A．4052 B．2026 C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件求解出的通项公式，然后表示出并结合即可求解出结果. 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当时，，符合的情况，所以， . 6．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 7．设函数，则（    ） A．2是的极小值点 B．方程有2个不同的实数解 C． D． 【答案】C 【分析】先将含绝对值函数写成分段形式，求导分析单调性与极值；A：根据导数符号判断是极大还是极小值点；B：分段解方程，统计不同实数解个数；C：利用内函数单调性，转化比较自变量大小，判断存在性；D：代入区间检验，举出反例判断全称命题是否成立. 【详解】先去掉绝对值，写出函数表达式 当时，，在单调递增； 当时，，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 对于A，处左增右减，是极大值点，故A错误； 对于B：解方程， ①，由题意得，在上恒成立， 此时单调递增，，， 而，可得该区间存在个实根， ②，令， 可得根为，该区间内方程共有个不同实数解， 综上共个不同实根，故B错误； 对于C：，则， 由已知得在单调递增， 要判断是否存在，使得， 等价于存在，即， 解不等式，根为， 而，故存在这样的，故C正确； 对于D：，证明， 代入，， ， 得到，也就是不满足题意，故D错误. 8．设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质结合双曲线定义可得，.方法一：设，利用正弦定理可得，结合三角恒等变换可得，结合余弦定理运算求解；方法二：分析可得，作的平分线，交于点，可得，，，进而可得结果. 【详解】因为为的平分线，且，，， 则，即. 由双曲线定义可得，即，解得，. 方法一：设， 由正弦定理得，即， 在中，因为，则， 可得， 把代入得， 且，则，可得，即， 由得，即， 把代入得， 化简得，， 在中，由余弦定理得， 整理可得，解得或（舍去）， 方法二：因为， 则或， 即或， 又因为是的内角，则， 可得，则， 作的平分线，交于点， 则，是等腰三角形， 可得，，， 且，可得， 所以. 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．函数恒过定点 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的单调增区间为 D．函数在上的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据对数函数的定点求解即可；对于B，先判断函数的奇偶性，进而判断即可；对于C，求出函数的定义域即可判断；对于D，整理得到，令，进而结合函数的单调性求解判断即可. 【详解】对于A，函数，恒过定点，故A正确； 对于B，函数，， 而，则函数为偶函数， 其图象关于轴对称，故B正确； 对于C，函数， 由，解得， 则函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数，， 令，则，而函数在上单调递增， 则时，，即函数在上的最大值为，D正确. 10．设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（    ） A．若事件，互斥，则 B．若事件，互斥，则 C．若事件，相互独立，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件、对立事件的概率计算公式及条件概率、全概率公式求解即可. 【详解】选项A：若事件，互斥，则，A正确； 选项B：，. 若事件，互斥，事件，不一定互斥，因此. 实际（事件，互斥，），B错误； 选项C：若事件相互独立，则，C正确； 选项D：由得，， 所以，D正确. 11．如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥SO的侧面积为，则下列结论正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积最大值为 C．若点B为弧AC的中点，则二面角的平面角大小为 D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，由圆锥侧面积公式得到，根据勾股定理求出圆锥的高；B选项，由勾股定理得，表达出三棱锥的体积，利用基本不等式求出最大值；C选项，作出辅助线，得到即为二面角的平面角，并求出，故，C错误；D选项，将与沿着折叠到同一平面内，得到最小值为，作出辅助线，由勾股定理求出最小值. 【详解】A选项，圆锥SO的侧面积为，即， 又，故， 由勾股定理得，A正确； B选项，因为为直径，所以⊥，且， 由勾股定理得， ， 当且仅当时，等号成立， 所以三棱锥的体积最大值为，B正确； C选项，取的中点，连接， 点B为弧AC的中点，所以， 又⊥，所以⊥， 因为，由三线合一得⊥， 所以即为二面角的平面角， 其中，故， 又，所以，故，C错误； D选项，若，则为等腰直角三角形，且， 又，所以为等边三角形， 将与沿着折叠到同一平面内，如图所示， 连接，交于点，此时最小，最小值为， 过点作⊥，交的延长线于点， 则，， 所以，由勾股定理得 ，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．的展开式中的系数为________. 【答案】10 【分析】变形为，然后再利用展开式的通项公式可得结果. 【详解】因为展开式的通项， 所以的展开式中含的项为： ， 所以展开式中的系数为. 故答案为：10 【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项公式求指定项的系数，变形为是解题关键，属于基础题. 13．___________. 【答案】 【分析】先将正切化为正弦除以余弦的形式，再利用两角和的余弦逆用进行化简，然后利用二倍角公式及诱导公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 14．已知数列的前项和为，若，则__________. 【答案】 【分析】利用与的关系得到数列通项的递推关系式，再利用递推关系式构造等比数列求解即可. 【详解】依题意得. 当时，，即. 设，则，即. 又是以4为首项，2为公比的等比数列， ，即. 四、解答题 15．等差数列的前项和，等比数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件及与的关系求出，再利用等比数列的通项公式即可求解； （2）根据（1）的结论得出，再利用分组求和、裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由，当时，， 当时，， 显然满足上式，则. 设等比数列的公比为， 因为，所以，解得， 所以. （2）由， 则 . 16．在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)若，的面积为，为边的中点，求的长度； (2)若为边上一点，且，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形的面积公式得到，再根据余弦定理得到，进而结合向量的运算及模长公式即可求出的长度； （2）根据题意及得到，整理得到，再结合“1”的妙用及基本不等式即可求出的最小值． 【详解】（1）由，的面积为， 则，则， 又，则由余弦定理得， 即，得， 又为边的中点，则， 则， 即，所以的长度为． （2）由为边上一点，且，， 则，， 又，且， 即， 整理得，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 17．俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为． (1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差； (2)求张老师当天穿西装的概率． 【答案】(1) 的分布列为： 0 1 ；， (2) 【分析】（1）结合古典概型即可写出分布列，进而可求期望与方差； （2）结合条件概率即可求解. 【详解】（1）将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种， 掷出的点数之和是3的倍数有： ，12种； 则掷出的点数之和不是3的倍数有24种， 随机变量的取值为0，1， ， 所以的分布列为： 0 1 ． ； （2）设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装． 根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为， 穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为， 则当天穿西装的概率为． 所以张老师当天穿西装的概率为． 18．已知函数. (1)若函数在处的切线平行于直线，求实数的值； (2)若方程在上恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】第一问先利用导数求切线斜率，再利用两直线平行，斜率相等构建等式求解即可. 第二问把方程在上恰有3个不相等的实数解转化为新函数有3个零点，讨论单调性，满足极值点在上，极大值大于零，极小值小于零，，，构建不等式组求解即可. 第三问不等式对恒成立，分离参数转化为，求新函数的最小值即可. 【详解】（1），，函数在处的切线斜率为， 又因为函数在处的切线平行于直线，所以， 即. （2）即整理得， 因为方程在上恰有3个不相等的实数解， 所以在上恰有3个不相等的实数解， 令，即时，恰有3个零点； 时，恒成立，单调递增，不可能有3个零点； 时，令得或， 令得, 所以在和时单调递增，在时单调递减； 因为时，恰有3个零点， 所以化简得 求解得取交集得. （3）不等式对恒成立，即， 化简有， 因为所以，即， 令  ，， 令  ，恒成立， 即时，单调递增， 又因为，所以时恒成立， 即时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，综上：. 19．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为，为坐标原点，且的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)不过点的直线与椭圆相交于两点，点在轴上方，点在轴下方，记直线的斜率分别为，且． （i）证明：直线过定点； （ii）记（i）中定点为，的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) （i）由题意得如图所示： 依题意，设的方程为， 联立，消去整理得：， 由， 设， 则， 由，则， 则 ，又， 所以，解得：，或， 当时，直线的方程为： 则直线过定点， 当时，直线的方程为过点，不合题意， 所以直线过定点； （ii） 【分析】（1）根据题意列出方程组解出即可； （2）（i）设的方程为，联立直线与椭圆方程，消元整理写出韦达定理，表示出，从而得出，代入中化简得代回直线方程中即可得出恒过的点；（ii）由（i）知，设直线：，联立直线与椭圆的方程，消元写出韦达定理，表示出，从而得出，换元构造函数利用函数性质分析求解即可得出结论. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以椭圆方程为． （2）（i）略 （ii）如图所示： 由（i）知，设直线：， 联立方程，得， 且． 由， 则， 又，所以， ， 故，令， 由， 又， 所以 令 由， 所以即， 等价于： ， 即， 当时，， 当时，， 故． 试卷第16页（共17页） 试卷第17页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $