精品解析：河北省承德市部分校2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的值域求得，进而求得. 【详解】因为，，所以. 2. 命题“，都有”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是：“，都有”， 其否定为：，使得. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知的条件，利用基本不等式的等号成立条件，分别验证充分性和必要性即可判断. 【详解】 由可得，，满足基本不等式的使用前提： 充分性验证： 若，根据基本不等式，对任意正数有，当且仅当时等号成立. 令，则，等号成立当且仅当，整理得，结合得. 因，故等号取不到，因此，充分性成立. 必要性验证： 若，说明上述基本不等式的等号不成立，因此等号成立的条件不满足，即，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 4. 已知定义在上的奇函数满足，，则（ ） A. 0 B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给函数性质求出函数周期即可得解. 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 所以， 所以，即函数周期为， 所以. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过展开后合并同类项，恰好凑出的形式，无需单独求和的值. 【详解】， 则 ， . 6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值是1 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简得到，整体法判断AB错误，并代入检验得到C正确；平移后所得解析式与不同，故D错误 【详解】 ， A选项，时，，而在上不单调递增， 所以在区间上不单调递增，A错误； B选项，的最大值为1，故的最大值为2，B错误； C选项，，故为的一个对称中心， 故为的一个对称中心，的图象关于点中心对称，C正确； D选项，函数的图象向左平移个单位长度可得 ， 显然与不同，故D错误 7. 已知函数，若，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的最大值，结合函数不等式恒成立，即可得参数范围. 【详解】由，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以在处取得最大值， 要使恒成立，必须且只需， 因此实数的取值范围为. 8. 已知函数，，，则下列说法错误的是（ ） A. 对任意，，函数是偶函数 B. 若，则函数在上存在极值点 C. 若，则函数在上的极小值为 D. 若，且方程有两个实数解，则实数的取值范围为 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求函数在各种条件下的单调性和极值情况，由此判断A，B，C，再结合零点存在性定理判断D即可. 【详解】对于A选项，函数定义域为，关于原点对称， 且， 对任意，，函数是偶函数，故A正确； 对于B选项，当时，，， 当时，，，故， 得到在上单调递减，无极值点，故B错误； 对于C选项，当时，，， 令，则，故在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 因此是上唯一的极小值点，为，故C正确； 对于D选项，当时，结合C选项，函数在时取得最小值， 且，，，， 方程有两个实数解，则最小值，即，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 B. 命题：，的否定是， C. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 D. 若平面向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用扇形的面积和弧长公式判断A，由存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，由一元二次不等式恒成立，应用判别式求参数范围判断C，由向量夹角为锐角列不等式，注意排除同向共线的情况判断D. 【详解】A：扇形圆心角，弧长，得， 扇形面积，正确； B：存在量词命题的否定是全称量词命题，并且否定结论， 故原命题的否定为，正确； C：若恒成立， 则，解得，故的取值范围应为，错误； D：两向量夹角为锐角，需要且两向量不共线， 则，所以， 又两向量共线时，即， 其判别式，无实根，因此不存在共线情况， 所以，正确. 10. 设函数，则（ ） A. 有且仅有2个零点 B. 有且仅有1个极值点 C. 不等式恒成立 D. 在区间上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】由及其定义域可直接求零点；利用可判断单调性，从而得到极值点；利用及单调性即可判断不恒成立；利用可判断单调性. 【详解】对于选项A，函数的定义域为.由，得，故，解得，所以有且仅有1个零点，故A错误； 对于选项B，，令，得，当时，，当时，，所以在处取得极小值，故有且仅有1个极值点，故B正确； 对于选项C，因为，且，而在上单调递减，所以当时，，故不等式不恒成立，故C错误； 对于选项D，由B知，在区间上单调递减，故D正确. 11. 已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，，只有一解，则的取值范围为 C. 若面积为，，则 D. 若，则为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用两角和的正切公式及三角形内角和，得出，由正切值乘积大于0，判断三角形形状即可；对于B，根据正弦定理及已知条件，分析不同取值时三角形解的情况，得出的取值范围；对于C，利用三角形的面积公式，结合余弦定理化简，即可求得角的方程，进一步计算即可求解；对于D，由正弦定理和二倍角公式，化简，得到角的关系即可判断． 【详解】对于A，在中，，故， 利用两角和的正切公式，得， 整理，可得． 因为，所以． 又因为三角形最多1个钝角，若存在钝角，则乘积为负， 所以只有三个角均为锐角时乘积为正． 故是锐角三角形，A正确； 对于B，已知，，三角形解的个数结论： 当时，三角形为直角三角形，只有一解； 当时，也只有一解． 故的取值范围是或，B错误； 对于C，由于， 则，进一步化简可得． 由余弦定理，可得，则，C正确； 对于D，由，结合正弦定理，可得， 即，可得（即，等腰三角形）， 或（即，直角三角形）， 故三角形可能是直角三角形，不一定是等腰三角形，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则____________． 【答案】2 【解析】 【详解】由题意得， 可得，则. 13. 已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】设出切点，根据导数的几何意义得到方程，求出切点横坐标，进而由斜率公式得到方程，求出答案 【详解】设切点为，， 则过点且与曲线相切的直线的斜率为，所以，解得， 故切点为，由斜率公式可得，解得. 14. 已知的内角的对边分别为，且的两条角平分线是与，则当取得最小值时，________. 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线性质得，，进而结合余弦定理求得，再根据，求解即可求得答案. 【详解】因为，所以 所以，由余弦定理得 将代入得：，即 设边上的高为， 因为为角的角平分线， ，， 所以，，即， 因为，所以，解得 同理，由为角的角平分线得： 所以， 因为 所以， 因为，， 所以，配方得， 所以，当时，取得最小值，即取得最小值. 所以，当取得最小值时， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理把边角混合的已知式化为只含角的等式，由约去，再用二倍角公式把与统一成的三角函数，转化为的方程，结合的范围确定角. （2）方法一：把（1）所求的角代入条件求出，用排除钝角情形确定角，再用"作高把分成两段"与"正弦定理求边"两条路径分别把三角形面积用表示，最后由面积条件解出.方法二：先求得，利用正弦定理、三角形的面积公式列方程求得. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理，得． 因为，所以，所以． 又因为，，所以，所以． 所以，所以，所以． 【小问2详解】 由（1）得，所以． 因为，所以． 因为，所以，所以 方法一：如图，在中，过点作于点． 在中，因为，所以，． 在中，因为，所以． 所以的面积． 由题意得，解得（负值舍）． 方法二：因为， 由正弦定理，得． 所以的面积． 由题意得，解得（负值舍） 16. 把余弦曲线向左平移个单位长度，再把所得曲线上各点的横坐标缩短到原来的，最后把所得曲线上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）求函数图象的对称中心，函数的最大值以及区间内最值点的个数； （3）若，，求的值． 【答案】（1） （2）对称中心，最大值是3，区间内有6个最值点 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象变换得出函数解析式； （2）利用余弦型函数的性质，结合整体代换即可求解； （3）利用角的变换及三角恒等变换求解. 【小问1详解】 把余弦曲线即函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再把所得曲线上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象， 最后把所得曲线上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象， 所以函数的解析式为． 【小问2详解】 由（1）得． 令，，解得，． 所以函数图象的对称中心是点，． 因为，所以函数的最大值是3． 令，，解得，． 所以的最值点为，． 解，得． 因为，所以，，，，，． 所以在区间内，有6个最值点． 【小问3详解】 由，得． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 所以 ． 17. 若函数的定义域为，则其图象关于直线对称的充要条件是:对任意恒成立，已知函数． （1）若函数关于直线对称，求实数的值； （2）证明：对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称； （3）若，且函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：对任意， ， 当，即时，恒有，与取值无关， 故对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称 （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可； （2）函数的图象关于直线对称，即，可得，令求解即可； （3）由题意得有两个不相等的实数根，利用换元法设，， 则，有两个不相等正实数根，利用及韦达定理列式求解即可. 【小问1详解】 依题意为偶函数， 所以， 所以， 即对任意的实数恒成立， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 时，， 由题意得有两个不相等的实数根， 设，，则， 因为与一一对应， 所以新方程有两个不相等正实数根， 所以解得， 所以实数的取值范围为． 18. 已知函数，其中． （1）判断函数的单调性； （2）若存在两个极值点，记，求直线的斜率的最大值． 【答案】（1）函数在上单调递增；在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导函数的正负情况求出单调区间. （2）由（1）求得极值点及极值，利用斜率坐标公式列式，构造函数并利用导数求出最大值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得，而， 当或时，；当时，， 所以函数在上单调递增；在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，是函数的极大值点，是函数的极小值点， 依题意，，，， 因此直线的斜率， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，则，即， 函数在上单调递减，因此， 所以直线的斜率的最大值为. 19. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在区间，内各恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时,在上单调递增;当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】求出导函数并利用对其符号分类讨论. 由导函数零点及符号确定单调区间. 由,结合第（1）问的单调性,在,内分别取特殊值判断函数值的符号,确定零点个数. 【小问1详解】 函数的定义域为. . 整理得. 当时,.除外,,故在上单调递增. 当时,令,得. 记,,则. 此时在上成立,在内除外成立. 故当时,<>在上单调递增;当时,的单调递增区间为,, 单调递减区间为. 【小问2详解】 计算得. 当时,由第（1）问知在上单调递增,故时, 时,两个区间内均无零点,不合题意. 当时,记,,则, 且在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. 由,.又,取, 则,故在内恰有一个零点; 而在上,所以在内恰有一个零点. 又,取,则, 故在内恰有一个零点;而在上,所以在内恰有一个零点. 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，都有”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知定义在上的奇函数满足，，则（ ） A. 0 B. 4 C. D. 2 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值是1 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 7. 已知函数，若，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，，则下列说法错误的是（ ） A. 对任意，，函数是偶函数 B. 若，则函数在上存在极值点 C. 若，则函数在上的极小值为 D. 若，且方程有两个实数解，则实数的取值范围为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 B. 命题：，的否定是， C. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 D. 若平面向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10. 设函数，则（ ） A. 有且仅有2个零点 B. 有且仅有1个极值点 C. 不等式恒成立 D. 在区间上单调递减 11. 已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，，只有一解，则的取值范围为 C. 若面积为，，则 D. 若，则为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则____________． 13. 已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则____________． 14. 已知的内角的对边分别为，且的两条角平分线是与，则当取得最小值时，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若，的面积为，求的值． 16. 把余弦曲线向左平移个单位长度，再把所得曲线上各点的横坐标缩短到原来的，最后把所得曲线上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）求函数图象的对称中心，函数的最大值以及区间内最值点的个数； （3）若，，求的值． 17. 若函数的定义域为，则其图象关于直线对称的充要条件是:对任意恒成立，已知函数． （1）若函数关于直线对称，求实数的值； （2）证明：对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称； （3）若，且函数有两个零点，求实数的取值范围． 18. 已知函数，其中． （1）判断函数的单调性； （2）若存在两个极值点，记，求直线的斜率的最大值． 19. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在区间，内各恰有一个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $