河北省唐山市第二中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

唐山二中2025-2026学年高三上学期12月月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 6. 小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 曲线与的公切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，现有棱长为8的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且，，分别为棱，，上离最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则或 10. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 图象的对称中心点为 C. 是偶函数 D. 的单调递增区间为 11. 已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（和）组成的三角形，如下图所示，其中，.现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题中正确的是（ ） A. 在线段上存在一定点，使得平面 B. 存在某个位置，使得直线平面 C. 存在某个位置，使得直线与所成角为 D. 对于任意位置，二面角始终不小于直线与平面所成角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则__________. 13. 已知是的极小值点，那么函数的极大值为______. 14. 已知正四棱锥的各个顶点均在球的球面上，若该正四棱锥的体积为9，则球的表面积最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列满足，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图1，在平面五边形中，为等腰直角三角形，，，，，点E，F分别为，的中点，将沿折到如图2的位置. （1）证明：平面； （2）若二面角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 已知等差数列满足，（为常数）. （1）求的值，并求的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 19. 已知函数，． （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：有且仅有一个极值点． 唐山二中2025-2026学年高三上学期12月月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：取的中点G，连接，， 因为E为中点， 所以为的中位线， 所以. 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又， 平面，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面； （2）. 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）设过点且斜率不为的直线的方程为，设， 由椭圆方程可知，联立， 整理得， 由根与系数的关系得， 设直线的方程为，直线的方程为， 设，则， 将代入得， 所以， 即， 又由可得， 化简整理得， 因为直线的斜率不为，不能同时为，且若假设， 代入到，得； 代入到，得， 将代入到中，整理得，即矛盾，故假设不成立， 即， 故只能，即， 因此点在定直线上. （ii） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知：， 当时，，在上单调递增； 当时，令，则， 在上单调递减，又，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：在上单调递增，在上单调递减， 有且仅有一个极值点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $