山东省济南燕山中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

9年级10月数学学科学情调研 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. 1，，5 B. 1，3，5 C. 5，3，1 D. 5，，1 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，四个三角形的顶点都在格点上，则下列选项中是相似三角形的是（ ）． A. ①和② B. ③和④ C. ②和④ D. ①和④ 5. 如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 10 6. 如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长拉长，边长拉长得到的，若两个矩形相似（不全等），则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（    ） A. 1 B. 3 C. D. 9. 如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边上运动，且满足，连接，过点O作交点G，则下列结论：①连接，则的周长不变；②若，则；③连接，则；④．其中正确的为（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 在与中，已知，且的周长为，则的周长为______． 12. 宽与长的比是黄金比的矩形，称为黄金矩形.从外形看，它最具美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺卡，如果较长的一条边的长为20cm，那么与其相邻的一条边的长为__________cm（结果保留根号）. 13. 在中，，垂足为点D，当时， __________． 14. 对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数的相关性质，可求出 ______． x -1 m（m≠-1） y=ax2 c c y=bx2 c+3 d 15. 如图，是正方形的边上一点，连结，将顺时针旋转得到，连结，分别交，于点，．若与相似，则______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 17. 如图，，与交点E，连接，若，，． （1）求的长； （2）求证：． 18. 如图，点，在的图象上． （1）求a的值和点B的坐标． （2）当时，y的取值范围为______． 19. 在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； （3）在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 20. 如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB． （1）求∠APB的大小． （2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系． 21. 表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大． 22. 国庆期间，超然楼作为济南地标性建筑，吸引了大量游客．某数学兴趣小组想测量超然楼的高度，测量方案及相关数据如下： 主题 测量超然楼的高度 测量方案及 示意图 测 量 步 骤 步骤1：把2米长的标杆垂直立于地面点D处，后退4米到点Q处，此时楼顶端A，标杆顶端C和点Q正好处于同一直线； 步骤2：再将此标杆垂直立于地面点F处（其中米），后退6米到点P处，此时楼顶端A，标杆顶端E和点P正好处于同一直线． 备注 点B，D，Q，F，P均在同一水平直线上． （1）若米，只根据步骤1中的测量信息，计算超然楼的高度； （2）结合步骤1和步骤2中的测量信息，计算超然楼的高度． 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 24. 某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点．为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，为中点，，连接，．求的最小值． 25. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 9年级10月数学学科学情调研 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 【11题答案】 【答案】24 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】3 【15题答案】 【答案】 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， 【17题答案】 【答案】（1）16 （2） 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【18题答案】 【答案】（1）， （2） 【19题答案】 【答案】（1）如图， （2）如图， （3） 【20题答案】 【答案】（1）120°；（2）CD2=AC•BD． 【21题答案】 【答案】方案一：，方案二：，方案一的正方形水池面积更大． 【22题答案】 【答案】（1）超然楼的高度为52米 （2）超然楼的高度为52米 【23题答案】 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【24题答案】 【答案】（1）①；②； （2）证明：如图，过作，交于， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3） 【25题答案】 【答案】问题背景： 证明：∵， ∴∠BAC=∠DAE， ， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴； 尝试应用：3； 拓展创新：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $