精品解析：河北文安第一中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

河北文安第一中学2026-2027学年上学期高三第一次月考数学试卷 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【详解】集合的子集有,共8个. 2. 若，，则（ ） A. 是真命题，且， B. 是真命题，且， C. 是假命题，且， D. 是假命题，且， 【答案】A 【解析】 【详解】由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立，是真命题. 的否定为，. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即曲线在点处的切线方程为. 4. 书架的第一层放有5本不同的文学类书，第二层放有3本不同的社科类书，第三层放有3本不同的工具类书，分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 11种 C. 27种 D. 45种 【答案】D 【解析】 【详解】分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法种数分别为5、3、3， 所以不同的选法种数共有. 5. 已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，则同号且不为0. 由函数图像可知，， ，同时， 则的解集为. 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将用对数的换底公式和运算性质进行变形，得到的范围，再求出的范围，即可判断. 【详解】 , 所以， ， 分析充分性： 若，因为，所以不能推出，所以充分性不成立； 分析必要性： 若，因为，，所以可以推出，所以必要性成立. 7. 如图，已知海岛到海岸公路的距离，，间的距离，甲先乘快艇从到海岸公路上的某一点登陆，快艇速度恒为，再乘汽车沿海岸公路到，汽车速度恒为．若忽略换乘的时间，则甲从到所需的时间最少为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设（）， 则甲从到所需的时间为，. 因为，. 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值，为. 即甲从到所需的时间最少为. 8. 甲、乙、丙、丁4人各自写了1张贺卡，将这4张贺卡随机分给这4人，每人分得1张，则至多有1人得到自己写的贺卡的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，分别求与的概率，利用对立事件概率求法运算求解即可. 【详解】设样本空间为，至多有1人得到自己写的贺卡为事件A，得到自己写的贺卡的人数为， 则，， 若，即4人全部得到自己写的贺卡，此时只有1种结果，可得； 若，即有2人得到自己写的贺卡，共有种结果，可得； 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合不等式的性质判断ABD正确，举反例说明C错误. 【详解】对于选项A，因为，，所以，， 所以，故，A正确， 对于选项B，由选项A的推导可得，B正确， 对于选项C ，取，，，此时，且，但，C错误， 对于选项D，由且，可得，故， 又，所以，D正确. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对A，令得，，故A正确； 对B，令得，①，则，故B错误； 对C，再令得，②， 由得，，即，故C错误； 对D，设， 则， 再令得，，故D正确. 11. 已知函数，其中，，且．是的导函数，的所有零点分别为，，，，其中，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：当时，为二次函数，展开后求导得一次导函数，求解导数零点，结合二次函数顶点的横坐标性质即可验证等式成立. 选项B：分别将与按多项式形式展开，利用韦达定理表示出两类零点的和，对比项的系数推导两者关系，判断等式不成立. 选项C：由的个互异零点，结合函数在相邻零点区间符号交替的特性，根据零点存在定理得每个区间内各存在一个导数零点；再结合为次多项式，确定导数零点总数，得到与的数量关系. 选项D：利用多个因式乘积的求导法则写出的表达式，代入导数零点，两边同除以非零的乘积项，化简后得到倒数和为0的结论. 【详解】选项A： 当时，， 求导得. 令，解得唯一零点，即，A正确. 选项B： 是首项系数为的次多项式，由因式展开得完整形式： 对求导： 因为有个零点， 因此也可写成： 展开后项的系数为 . 对比两个表达式中项的系数： 整理得 ，显然，故B错误. 选项C： 已知是的个不同零点，因此在相邻零点区间内函数值符号交替变化： 当时，所有因式均为正，； 当时，，其余因式为正，； 以此类推，每个区间内的符号唯一且与相邻区间相反. 因此在每个区间内必有一个极值点（先增后减或先减后增），即在每个区间内至少有1个实根，共至少个实根. 又是次多项式，最多有个实根，因此恰好有个不同实零点，即，故，C正确. 选项D： 类比两个因式的乘积求导法则，可推广到个一次因式的求导：每次对其中一个因式求导，其余因式保持不变，再把所有结果相加，得： 因为是的零点，故，代入上式得： 由于在相邻的之间，故不等于任意一个，因此.将上式两边同时除以这个乘积，每一项化简后可得： 即对任意，都有，故D正确. 【点睛】本题围绕多项式函数的零点与导函数零点展开，综合考查韦达定理、乘积求导法则、零点存在性定理，是导数与多项式性质结合的经典题型. 核心结论：首一次多项式若有个互异实零点，则其导函数恰有个互异实零点，且分别落在原函数相邻零点之间，这是零点存在性定理在多项式中的直接应用. 多个一次因式乘积的求导可采用“逐项求导、其余因式不变再求和”的法则，代入零点后同除整体乘积项，是推导零点倒数和等式的常用技巧. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，且，则__________． 【答案】0.6 【解析】 【分析】先由随机变量，观察到正态分布曲线对称轴为直线，根据对称性即可求得答案. 【详解】解：因为随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称， 所以， 所以. 13. 定义符号函数：已知函数，则的值域为__________；若函数的值域为，则不等式的解集为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第①问按 的分段定义写出 的分段表达式，发现 ，直接得值域； 第②问由 值域为 反推二次函数 的零点与开口方向，确定 、 与 的关系后再解不等式. 【详解】①由 的定义： 当 时，，； 当 时，，； 当 时，，. 综上，.因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故 的值域为 . ②设 ，则 . 由 的值域为 ，知 对一切 成立，且最大值为 . 当 时，，需 ； 当 时，，需 ； 当 时，，需 ； 当 时，，需 . 又 ， 则以为零点且开口向上，故 ，且 ，因此 ，. 不等式 化为 ，即 . 因为 ，所以 ，即 ，解得 或 . 故不等式的解集为 . 【点睛】符号函数与绝对值函数的等价转化是突破口；由复合函数值域反推参数关系时，抓住零点两侧符号反转的特征是关键. 14. 若，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形，可得，再由的单调性可得，构造函数，由，即可得到的范围. 【详解】由题意可得对恒成立，则， 由可得， 即， 令，则，则函数在上单调递增， 即由可得， 令，即对恒成立， 可得，令，则， 当时，即，，在单调递增， 可得，要使，则，即, 又因为，所以不满足； 当时，即，，在单调递增， 得到，符合要求，则； 当时，即，当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以当时，有极小值，即最小值， 所以，解得，所以； 综上所述，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究市民是否坚持每周运动与颈椎健康状况的关系，随机抽取400名市民开展调查，得到如下列联表： 颈椎 运动情况 合计 坚持每周运动 未坚持每周运动 健康 110 90 200 不健康 80 120 200 合计 190 210 400 （1）分别记坚持每周运动和未坚持每周运动的市民颈椎健康的概率为，，求，的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析市民的颈椎健康是否与坚持每周运动有关． 附：， 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 的估计值为，的估计值为； （2） 在小概率值的检验标准下，推断市民颈椎健康与坚持每周运动有关，该推断犯错误的概率不超过0.005。 【解析】 【分析】（1）根据列联表分别计算坚持每周运动和未坚持每周运动的市民颈椎健康的频率，利用频率估计概率； （2）先提出零假设，然后计算出卡方值，根据独立性检验的思想判断即可. 【小问1详解】 由已知，坚持每周运动的市民颈椎健康的频率， 未坚持每周运动的市民颈椎健康的频率， 所以坚持每周运动的市民颈椎健康的概率的估计值为， 未坚持每周运动的市民颈椎健康的概率的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：市民的颈椎健康与坚持每周运动无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为市民的颈椎健康与坚持每周运动有关，此推断犯错误的概率不大于. 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值． （2） 【解析】 【分析】（1）函数求导得，研究函数单调性以及极值即可； （2）对原函数求导，条件可转化为恒成立，分离参数后求解的最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 则． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则的极大值为，无极小值． 【小问2详解】 由， 得． 因为在上单调递增，所以， 即在上恒成立． 又，所以． 因为，所以． 故的取值范围为． 17. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． （1）求，的解析式； （2）令函数． （ⅰ）已知，且，，求的值； （ⅱ）求不等式的解集． 【答案】（1），． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性得，联立解方程组即可求解； （2）（ⅰ）分析单调性，用零点存在性定理找区间即可得到的值； （ⅱ）构造奇函数，再利用函数单调性解不等式． 【小问1详解】 由，得． 因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 则，联立， 解得，． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得， 因为，和在上都为增函数， 所以在上单调递增， 因为，， 所以，， 又，所以． （ⅱ）令．因为是奇函数，所以， 所以， 所以是奇函数， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得， 则， 则，解得或， 故不等式的解集为． 18. 某粽子店每天都会制作一批粽子售卖，其中碱水粽占20%，红枣甜粽占30%，蛋黄肉粽占50%，且每个碱水粽的售价为2元，每个红枣甜粽的售价为3元，每个蛋黄肉粽的售价为6元． （1）设某顾客在店里随机购买个粽子． （ⅰ）若，求该顾客没有买到碱水粽的概率； （ⅱ）若，记为该顾客购买碱水粽的费用，求和． （2）某顾客第一天在该店随机选2个粽子，若携带的钱足以购买这2个粽子，则该顾客第二天携带6元钱随机购买2个粽子，若携带的钱不足以购买这2个粽子，则该顾客第二天携带12元钱随机购买2个粽子，重复上述操作．设该顾客第一天携带6元钱，为第天该顾客携带12元钱购买粽子的概率，求． 【答案】（1）（ⅰ）0.64；（ⅱ）4；25.6 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用对立事件的概率公式结合概率的乘法公式求解；（ii）根据题意顾客买到的碱水粽的个数服从二项分布，依据期望和方差的公式和性质求解； （2）要使得携带6元钱足以购买2个粽子，则不能购买蛋黄肉粽，可得携带6元钱足以购买2个粽子的概率为，不足以购买2个粽子的概率为，根据题意可得，且，由此运算得解. 【小问1详解】 （i）由题可知，顾客随机购买1个粽子，不是碱水粽的概率为， 则该顾客随机购买2个粽子，没有买到碱水粽的概率为. （ii）记为顾客买到的碱水粽的个数，则， 由题可知，， 则，， 则，. 【小问2详解】 要使得携带6元钱足以购买2个粽子，则不能购买蛋黄肉粽， 故携带6元钱足以购买2个粽子的概率为，不足以购买2个粽子的概率为. 由题可知，，且， 则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 则. 19. 已知函数． （1）证明曲线是轴对称图形，并求其对称轴的方程； （2）求的最值； （3）若曲线上所有的点均在圆上或圆内，求圆半径的最小值． 【答案】（1）证明：由，得． 要证曲线是轴对称图形，则只需证． 因为，所以．由， 得． 故曲线是轴对称图形，且其对称轴的方程为． （2）最小值为0，最大值为． （3）． 【解析】 【详解】（1）略 （2）令，则． 设，则恒成立， 则在上单调递增， 则，． 故的最小值为0，最大值为． （3）由，得或，由，得， 则曲线经过点，，． 设外接圆的圆心为，则，得， 则外接圆的半径为． 要使得曲线上所有的点均在圆上或圆内，则圆的半径大于或等于． 下面证明的外接圆即为所求的圆，即证在上恒成立，整理得． 由（2）知，可得． 当时，不等式显然成立． 当时，则． 易知函数，在上均单调递增，且函数值均大于0， 所以在上单调递增，从而． 故圆半径的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北文安第一中学2026-2027学年上学期高三第一次月考数学试卷 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 若，，则（ ） A. 是真命题，且， B. 是真命题，且， C. 是假命题，且， D. 是假命题，且， 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 书架的第一层放有5本不同的文学类书，第二层放有3本不同的社科类书，第三层放有3本不同的工具类书，分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 11种 C. 27种 D. 45种 5. 已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，已知海岛到海岸公路的距离，，间的距离，甲先乘快艇从到海岸公路上的某一点登陆，快艇速度恒为，再乘汽车沿海岸公路到，汽车速度恒为．若忽略换乘的时间，则甲从到所需的时间最少为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙、丁4人各自写了1张贺卡，将这4张贺卡随机分给这4人，每人分得1张，则至多有1人得到自己写的贺卡的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，其中，，且．是的导函数，的所有零点分别为，，，，其中，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，且，则__________． 13. 定义符号函数：已知函数，则的值域为__________；若函数的值域为，则不等式的解集为__________． 14. 若，，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究市民是否坚持每周运动与颈椎健康状况的关系，随机抽取400名市民开展调查，得到如下列联表： 颈椎 运动情况 合计 坚持每周运动 未坚持每周运动 健康 110 90 200 不健康 80 120 200 合计 190 210 400 （1）分别记坚持每周运动和未坚持每周运动的市民颈椎健康的概率为，，求，的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析市民的颈椎健康是否与坚持每周运动有关． 附：， 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． 17. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． （1）求，的解析式； （2）令函数． （ⅰ）已知，且，，求的值； （ⅱ）求不等式的解集． 18. 某粽子店每天都会制作一批粽子售卖，其中碱水粽占20%，红枣甜粽占30%，蛋黄肉粽占50%，且每个碱水粽的售价为2元，每个红枣甜粽的售价为3元，每个蛋黄肉粽的售价为6元． （1）设某顾客在店里随机购买个粽子． （ⅰ）若，求该顾客没有买到碱水粽的概率； （ⅱ）若，记为该顾客购买碱水粽的费用，求和． （2）某顾客第一天在该店随机选2个粽子，若携带的钱足以购买这2个粽子，则该顾客第二天携带6元钱随机购买2个粽子，若携带的钱不足以购买这2个粽子，则该顾客第二天携带12元钱随机购买2个粽子，重复上述操作．设该顾客第一天携带6元钱，为第天该顾客携带12元钱购买粽子的概率，求． 19. 已知函数． （1）证明曲线是轴对称图形，并求其对称轴的方程； （2）求的最值； （3）若曲线上所有的点均在圆上或圆内，求圆半径的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $