2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

B组素养提升 1.Amx2-m=m(x2-1)=m(x+1)(x-1),x2-2x+1=(x 知识点3：-合台 a -1)2,公因式为x-1,故选A. 对应练习 2.Ba2+8ab-33b2=(a-3b)(a+11b) (1)D(2)3,10(1)设所求方程为ax2+bx+c=0(a≠0)， 3.B题图甲中阴影部分的面积为a2-62, 则由题宝，可得4+(-5)=一台4×(-5)=台即名1 题图乙中阴影部分面积为(a+b)(a-b)， 因为两个图形中阴影部分的面积相等， =-20,验证四个选项，只有D项符合条件 a 所以a2-b2=(a+b)(a-b). (2)由一元二次方程根与系数的关系，可得 4.98x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2y]. [2+(-5)=-b, .rb=3, 解得 当x+y=10,xy=1时， l2×(-5)=-c, Lc=10. xy[(x+y)2-2xy]=1×(102-2×1)=98. 关键能力攻重难 55或-1由题意，得) =x2-4x=5, 例1：(1)方法一：移项，得x2-2x=8.配方，得(x-1)2=9.由此 可得x-1=±3. 即x2-4x-5=0,解得x=5或x=-1. .1=4,2=-2..方程的解集为{-2,4}. 6.(1)△ABC为等边三角形. 方法二：原方程可化为(x-4)(x+2)=0, 证明：因为a2+b2+c2=ab+bc+ac, x-4=0或x+2=0..x1=4,x2=-2. 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0, ·方程的解集为-2,4}. 所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, (2)方法一：原方程可化为(x-2)(2x-3)=0, 所以a=b,b=c,a=c,所以△ABC为等边三角形. (2)a2-b2+c2-2ac=(a2-2ac+c2)-b x-2=0或2x-3=05名=2=2 =(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b) 方程的解集为，号} =[(a+b)-c][a-(b+c)], 方法二：.a=2,b=-7,c=6,∴.△=b2-4ac=1>0 又因为a+b>c,a<b+c, 所以[(a+b)-c][a-(b+c)]<0, =b±-40匹：二，即=26=子 2a 2×2 所以a2-b2+c2-2ac值的符号为负 C组创新拓展 六方程的解失为，号} C根据题意得(x+2)2-(6)-5(x+2)=0, (3)原方程可化为(x-1)2-2(x-1)=0. 整理得(x+2)2-5(x+2)-6=0, 因式分解，得(x-1)(x-1-2)=0..x-1=0或x-3= 即(x+2-6)·(x+2+1)=0,即(x-4)(x+3)=0, 0..x1=1,x2=3. 解得x=4或x=-3,因为4-3=1， ·.方程的解集为1,3 所以方程(x+2)⑧√6=0的所有解的和为1. 对点训练1：(1)因式分解法：(3x-1)(x+3)=0, .3x-1=0或x+3=0, 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 必备知识探新知 解得=了或=一3， 知识点1：1.常数a≠02.开平方配方直接开平方法 方程的解集为{-3，号} -b±-4ac 一次因式一m-n - (2)公式法：4=32-4×1×(-1)=13>0， 2a 对应练习 =3,压，=3，压 2 2 (1)D(2)C(1)x2-8x+5=0,.x2-8x=-5,x2-8x +16=-5+16,(x-4)2=11,故选D. 六方程的解集为-3，E-3+31 12， 2」 (2)原方程可化为5x2-6x+8=0,.a=5,b=-6,c=8,故 (3)因式分解法：(x+4)[(x+4)-5]=0, 选C. 即(x+4)(x-1)=0,∴x+4=0或x-1=0, 知识点2：不相等相等没有 解得x=-4或x=1,∴.方程的解集为：{-4,1}。 对应练习 (4)因式分解法：方程化为(x-1)2-2(x-1)-15=0, (1)A(2)(-0,4](1)4=(-5)2-4×2×3=1>0, .[(x-1)-5][(x-1)+3]=0, .方程2x2-5x+3=0有两个不相等的实数根.故选A. .(x-6)(x+2)=0,.x-6=0或x+2=0 (2)因为一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，所以4= 解得x=6或x=-2, 16-4k≥0.即k≤4. ·.方程的解集为-2,6}. -175 例2：(1)关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有实数根，分 所以x1+x2=2m,x1·x名2=m2-m-1.因为x1+x2=1 两种情况讨论： x12,所以2m=1-(m2-m-1),即m2+m-2=(m+ ①当m+1=0,即m=-1时，原方程是一元一次方程，此 2)(m-1)=0,解得m1=-2,m2=1.因为方程x2-2mx 时方程为-2x-4=0,必有实数根； +m2-m-1=0有实数根，所以4=(-2m)2-4(m2-m ②当m+1≠0，即m≠-1时，原方程是一元二次方程， -1)=4m+4≥0，解得m≥-1.所以m=1.故选D. 因为已知方程有实数根， 课堂检测固双基 所以△=b2-4ac=(2m)2-4×(m+1)×(m-3)=8m+ 1.A根的判别式为4=64-4g>0,解得q<16.故选A. 12≥0， 2.A设方程的另一个根为t,根据题意得2+t=-1,解得t=-3, 解得m≥-号且m≠-1 即方程的另一个根是-3.故选A. 3.C根据题意得x1+x2=2,x1x2=-5,所以x好+号=(：1+ 综上可知，当m≥-弓时，方程(m+1)+2+m-3=0 x2)2-2x1x2=2-2×(-5)=14,故选C. 有实数根。 :4.B解方程x2-6x+8=0得x=2或4，所以第三边长为2或 (2):关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有两个相： 4.边长为2,3,6不能构成三角形； 等的实数根， 而3,4,6能构成三角形， 「m+1≠0， 所以三角形的周长为3+4+6=13，故选B. 4=-4ac=(2m)2-4×(m+1)×(m-3)=8m+12=0,5.2 由根与系数的关系得：1+2=5，x,=a.由x-x号=10， 解得m=一子 ! 得(x1+x2)(1-2)=10.1+2=5,.1-2=2, 小方程为-宁-3x-号=0， (-)P=(+)2-4=25-4如=4，解得a=尖 两边同时乘以-2，得x2+6x+9=0,即(x+3)2=0, 练案[10] 解得x1=x2=-3. 对点训练2：D当t-2<0,即t<2时，方程的解集为☑： :A组基础巩固 当t-2=0,即t=2时，方程的解集为1}； !1.D两边开平方，得x+3=±5，即x=±5-3，所以x1=-8 当t-2>0,即t>2时，方程的解集为{1--2,1+ x2=2,所以方程的解集为{-8,2}. 2.C由题意知：4=m2-4m≥0，解得m≥4或m≤0，故选C. √t-2. 综上知，方程的解集为☑或1或{1--2,1+-2.故3.AB 当m=0时，方程化为-4红+5=0，解得x=子，此时方程 选D. 只有一个实数根，A正确；当m=1时，方程化为x2-4x+4= 例3：因为1和x2是一元二次方程22+5x-3=0的两根， 0,因为4=(-4)2-4×1×4=0， 所以+=一多西=一2 5 所以此时方程有两个相等的实数根，B正确； 当m=-1时，方程化为-x2-4x+6=0, (1)因为1x1-5212=x+x号-2x1x2=(x1+x2)2-4x1x2= 因为4=(-4)2-4×(-1)×6=40>0，所以此时方程有两 (-)-4×(-）空+6=翠所以函-61=子 个不相等的实数根，C错误； 当m=2时，方程化为2x2-4x+3=0,因为4=（-4)2-4×2 (2) x+ (x1+)2-2x132 ×3=-8<0,所以此时方程无实数根，D错误.故选AB. x好·号 （163)2 4.B设方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两根为x1,2,由题意 (-2×(-)空+3 37 知，x1+x2=0,即-(a2-2a)=0,解得a=0或a=2, (别 9 -9 又x1x2=a-1≤0，.a≤1.故选B. 4 5.D设关于x的方程x2+2(k+2)x+2=0的两个实数根为 (3)x+x=(x1+x2)(x号-x2+x)=(x1+x2)[(x1+ a,6,由根与系数的关系得a+b=-2k+2=-(2k+4). )2-31=(-)×[(-)-3x-】 1 关于x的方程x2+2(k+2)x+2=0的两个实数根之和大 -215 8 于-4，.-(2k+4)>-4,.k<0. 由4=[2(k+2)]2-4×1·2=16(k+1)≥0，解得k≥-1， 对点训练3：D:1,2是方程x2-√7x+1=0的两根 即k的取值范围是[-1,0).故选D. x1+2=万，x2=1, 6.1设另一个根为a. 所以x+号=(x1+2)2-2x2=7-2=5,故选D. 根据题意可得a+2=m,2a=m-1, 例4：D因为x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根，a+2=2a+1,a=1,另一个根为1. 176036 课堂检测 固双基 1.(多选题)若3a=2b,下列各式进行的变形中，正确的 是 D.-名=2的解集是{-引 A.3a+1=2b+1 B.3a-1=2b-1 3.(m+n)-2(m-n)的计算结果是 C.9a=4b D.-=-b A.3n +2m B.3n+m 3 C.3n-m D.3n-2m 2.下列方程的解正确的是 )4.方程-3x2-4x+4=0的解集是 A.x-3=1的解集是{-2 5.因式分解：(a-b)2+11(a-b)+28= B. 2x-2x=6的解集是{-4 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9] C3x-4=(x-3)的解集是13到 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集.（重点） 1.通过对一元二次方程的解集及根与系数 2.掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数.（重 的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理 点) 的数学素养 3.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方 2.通过求一元二次方程的解集，提升数学 程两根的代数式的值.（重点、难点） 运算素养。 必备知识探新知 知识点1一元二次方程的定义及其解法 1.一元二次方程的定义：形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a,b,c 思考1：方程ax2+bx 。 ,且 [思考1] +c=0(a,b,c是常 2.一元二次方程的解法 数)一定是一元二次 直接开 方程吗？ 形如(x-k)2=t(t≥0)的方程，两边 转化为两个一元一次方程 平方法 提示：不一定，a≠0 时为一元二次方程，a 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过 化成(x-)2=t(t≥0)的 配方法 =0,b≠0时为一元 形式，再用 求解 一次方程 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，利用求根公式x= 公式法 求解 因式 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个 的乘积，即可化成 分解法 a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x,= ,x2= 提醒：求根公式只适用于解一元二次方程，只有确定方程是一元二次方程才能使 用，其使用的限制条件是△=b2-4ac≥0. ●037 ●对应练习 (1)用配方法解方程x2-8x+5=0,将其化为(x+a)2=b的形式，正确的是() A.(x+4)2=11 B.(x+4)2=21 C.(x-8)2=11 D.(x-4)2=11 (2)用公式法解方程6x-8=5x2时，a,b,c的值分别是 A.5,6,-8 B.5,-6,-8 C.5,-6,8 D.6,5,-8 知识点2一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用△表示， 即△=b2-4ac.当△>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个的实数 思考2：利用一元二次 根；当4=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个 的实数根；当A<0 方程根与系数的关系 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根。 解题时，需要注意什 ●对应练习 么条件？ (1)方程2x2-5x+3=0的根的情况是 () 提示：先把方程化为 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 ax2+bx+c=0的形 C.无实数根 D.无法确定 式，然后验证，是否 (2)若关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则飞的取值范围是 满足a≠0,4=b2- 4ac≥0这两个条件， 知识点3一元二次方程的根与系数的关系 同时满足这两个条件 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1,x2,那么x1+x2= 才能用根与系数关系 ,X1·X2= 解題. 提醒：(1)如果方程x2+x+q=0的两个根为x1,x2那么x1+x2=一P,1·x2 =9 (2)以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+ x1x2=0. ●[思考2] ●对应练习 (1)已知一元二次方程的两根分别是4和-5，则这个一元二次方程可以是() A.x2-6x+8=0 B.x2+9x-1=0 C.x2-x-6=0 D.x2+x-20=0 (2)若2和-5为一元二次方程x2+bx-c=0的两根，则b,c的值分别等于 关键能力攻重难 。题型一求一元二次方程的解集 归纳提升：解一元二 次方程时，首先考虑 例 1,用适当的方法求下列方程的解集 用直接开平方法或因 (1)x2-2x-8=0; 式分解法求解，如果 (2)2x2-7x+6=0: 不能用这两种方法， (3)(x-1)2-2x+2=0. 再考虑用公式法或配 思路探究：根据方程的特征，合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程 方法.公式法是解一 元二次方程的通用方 法，可以解所有的一 元二次方程 P[归纳提升] 038 归纳提升：1.只有当对点训练 方程是一元二次方程 1.(2024·全国同步练习)求下列方程的解集： 时，才能利用根的判 (1)3x2+8x-3=0; 别式确定字母的取值 (2)x2+3x-1=0; 范围. (3)(x+4)2=5(x+4); 2.对于一元二次方程 (4)(x-1)2-2(x-1)=15. ax2+bx+c=0(a≠ 0),其根的判别式为 △=b2-4ac. (1)“方程有两个不 相等的实根”的充要 条件是“A>0”: (2)“方程有两个相 ●题型二一元二次方程根的判别式的应用 等的实根”的充要条 件是“4=0”： 2.已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有实数根. (3)“方程有两个实 (1)求m的取值范围； 根”的充要条件是 (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根 “4≥0”： 思路探究：(1)方程的二次项系数为m+1,因此不确定方程是否为一元二次方 (4)“方程没有实 程，需对m+1与0的关系进行讨论 根”的充要条件是 (2)方程有两个相等的实数根，则该方程为一元二次方程，故可利用根的判别式 “△<0”. 进行求解 归纳提升：与一元二 >[归纳提升] 次方程两根有关的几 对点训练 个代数式的变形： 2.(2024·江苏省单元测试)方程(x-1)2=t-2(t为常数)的解集为 ( (1)x+x号=(x+2xx2 A.⑦ +x号)-2x1x2=（x1+ B.1} x2)2-2x162: C.{1-t-2,1+-2} (2)1+1=名+ D.⑦或1}或{1--2,1+√-2} x1 X2 ●题型三根与系数关系的应用 (3)lx1-x21 3.若x1和x2是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根. =√(x1-x2)7 例 (1)求1x1-x21的值； =√(x+)2-46 四水号的位： (4)点+= 号+ (3)x+x2 (x1+2)2-2xx2 X12 (5)(x1-2)2=(x1+ x2）2-4x1x2: (6)(x1+k)(x2+k) =xx2+k(x1+x2)+ 2. P[归纳提升] 039 )对点训练 3.已知x1,x2是方程x2-7x+1=0的两根，则x+x号= A.2 B.3 C.4 D.5 ●易混易错警示 忽略根与系数的关系成立的前提条件致误 例大若是方程女-2m+m-m-1=0的两个根，且+无=1-5，则m的值为 A.-1或2 B.1或-2 C.-2 D.1 错因探究：因为x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根， 所以x1+x3=2m,x1·2=m2-m-1. 因为x1+x2=1-x1x2, 所以2m=1-(m2-m-1), 即m2+m-2=(m+2)(m-1)=0, 解得m1=-2,m2=1.故选B. 纠错：根与系数的关系成立的前提是4=2-4c≥0，方程有两个实数根，=一b+公-4 2a ,x2 -b-√B-4a时，有 +2=- b 2a c a 课堂检测 固双基 1.(教材改编题)关于x的一元二次方程x2+8x+g=0 A.6 B.8 有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(） C.14 D.16 A.g<16 B.q>16 4.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2- C.q≤4 D.q≥4 6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（) 2.已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2，则另 A.11 B.13 一个根是 ( C.11或13 D.12 A.-3 B.-2 5.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的 C.3 D.6 两个实数根，且x2-x好=l0,则a= 3.设x1,2是一元二次方程x2-2x-5=0的两根，则 夯基提能作业 x+x号的值为 ( ) 请同学们认真完成练案[10] 2.1.3 方程组的解集 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解方程组的解集的定义及表示方法.（难点） 1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养 2.掌握用消元法求方程组解集的方法.（重点） 2.通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学 3.会利用方程组知识解决一些简单的实际问题.（重 点、难点) 科素养