专题08 图形的位似 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题08图形的位似期中复习讲义 1.理解位似图形的概念，知道位似是特殊的相似；能区分相似图形与位似图形，明确位似图形必须具备两个条件：相似，对应顶点的连线交于同一点（位似中心）。 2.认识位似中心，会识别位似中心的位置（可以在图形内部、外部、边上、顶点处）；掌握位似图形的性质：位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）。 3.能够利用位似的性质，放大或者缩小图形；会按照给定的位似比画出原图形的位似图形。 4.掌握平面直角坐标系中位似变换的坐标变化规律：以坐标原点为位似中心，位似比为k，原图形点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)，理解正负号代表位似图形在位似中心的同侧或异侧。 5.能根据两组对应点的坐标，求位似比、求位似中心的坐标；已知位似比和部分点坐标，求对应点坐标。 6.厘清易错点： 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形； 原点作位似中心时，有两种位似结果，不要只写其中一组坐标； 画图时注意对应顶点连线必须经过同一个位似中心。 题型 考察方向 难度 题型一 位似图形相关概念辨析 ★ 题型二 位似图形的识别 ★ 题型三 判断位似中心 ★★ 题型四 求两个位似图形的相似比 ★★ 题型五 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★ 题型六 求位似图形的对应坐标 ★★ 题型七 在坐标系中求两个位似图形的比值 ★★★ 题型八 在坐标系中画位似图形 ★★★ 题型九 在坐标系中画位似中心 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：位似图形相关基础概念 1. 位似图形定义 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形。 这个公共交点叫做位似中心； 两个位似图形的相似比也叫做位似比。 2. 两个必备条件（缺一不可） （1）图形必须相似； （2）所有对应顶点连线交于一点，对应边平行 / 共线。 3. 位似与相似的关系 位似图形一定是相似图形； 相似图形不一定是位似图形（缺少 “对应顶点共点、对应边平行” 条件）； 位似是一种特殊的相似，是具备位置关系的相似。 4. 位似中心的 4 种位置分类 位似中心在两个图形外部； 位似中心在两个图形内部； 位似中心在图形的一条边上； 位似中心在图形的某个顶点上。 知识点02:位似图形的性质 1.位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2.位似中心的位置：可以在图形内部、外部、边上或顶点上。 3.线段比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 4.图形变换：位似变换是一种特殊的相似变换，不改变图形的形状，只改变图形的大小和位置。 5.周长与面积： 周长比 = 位似比； 面积比 = 位似比的平方。 知识点03:位似图形的判定方法 1.定义法： 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于一点； 对应边互相平行（或共线）。同时满足以上三个条件，即可判定为位似图形。 2.直观识别： 找到对应顶点，连线后看是否交于同一点； 观察对应边是否平行。 知识点04:位似图形的作图步骤 1. 一般作图（无坐标系） 以将图形放大 / 缩小 k 倍为例： (1)确定位似中心 O； (2)连接原图形的每个顶点与 O，并延长（或反向延长）； (3)在这些线上按位似比 k 截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于 k； (4)顺次连接各对应点，得到放大 / 缩小后的位似图形。 以将△ABC放大（位似中心在两图形之间）为例，步骤如下： 1.确定位似中心：在平面内任选一点 O 作为位似中心。 2.连接并反向延长：分别连接原三角形的顶点 A、B、C 与位似中心 O，并反向延长 OA、OB、OC。 3.按位似比截取对应点：在反向延长线上，按位似比 k（k>1）截取对应点 A′′、B′′、C′′，使 4.顺次连接成图：顺次连接 A′′、B′′、C′′，得到放大后的△A′′B′′C′′，即为△ABC 的位似图形。 2. 坐标系中的作图 以原点为位似中心，位似比为 k 为例： 若原图形顶点坐标为 (x,y)，则： (1)同向位似（即位似中心在对应点连线的延长线上）：对应点坐标为 (kx,ky)； (2)反向位似（即位似中心在对应点之间）：对应点坐标为 (−kx,−ky)。 若位似中心不是原点，可先平移图形，使位似中心移至原点，完成位似变换后再平移回去。 知识点05：平面直角坐标系中的位似（高频考点） 位似中心为坐标原点的坐标变化规律 设原图形任意一点坐标为(x,y)，以原点为位似中心，位似比为k： 位似中心 位似比 k 同向位似对应点坐标 反向位似对应点坐标 原点 O(0,0) k>0 (kx,ky) (−kx,−ky) 任意点 P(a,b) k>0 (a+k(x−a),b+k(y−b)) (a−k(x−a),b−k(y−b)) 注：同向位似指新图形与原图形在位似中心同侧，反向位似指新图形与原图形在位似中心两侧。 知识点06：本节高频易错点汇总 误区 1：认为 “相似图形就是位似图形”，忽略对应顶点共点、对应边平行的条件； 误区 2：坐标系原点位似只算一种坐标，漏掉反向位似的另一组解； 误区 3：作图时不通过位似中心连射线，随意画图形； 误区 4：混淆面积比，计算面积时忘记将位似比平方； 误区 5：位似中心在图形外侧时，不会反向延长射线作反向位似图形； 误区 6：位似比颠倒，原图与新图的距离比值写反。 题型一：位似图形相关概念辨析 1．用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（   ） A．三角形的周长 B．三角形的内角大小 C．三角形的面积 D．三角形各边的长度 【答案】B 【分析】放大镜观察三角形时，相当于进行相似变换，相似变换中三角形的内角大小保持不变，而周长、面积和各边长度都会按比例变化．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】放大镜观察相当于相似变换， 三角形的形状不变，内角大小不变， 但各边长度、周长和面积都会按比例放大或缩小，故选项错误； 一定不发生变化的是三角形的内角大小，故选项B正确； 故选：B． 2．如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得． 【详解】解：补充条件，则， 所以与是以点为位似中心的位似图形． 故答案为：（答案不唯一）． 3．一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的周长比等于位似比，掌握位似图形的周长比等于位似比是解答本题的关键． 根据位似图形的周长比等于位似比解答即可． 【详解】解：位似图形的周长比等于位似比，且位似比为，图形的周长是， 图形的周长是， 故选：C． 题型二：位似图形的识别 4．下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的概念，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：如果两个相似多边形，它们的对应顶点所在的直线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．按照定义可判断选项A、C、D的图形都是位似图形，均不符合题意． 故选：B． 5．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 6．下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义逐一判定即可得答案． 【详解】①两个正方形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形， ②两个等边三角形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形， ③两个同心圆符合位似图形的定义，是位似图形， ④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形， ∴正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查位似图形的定义，记住位似图形的性质是解题的关键①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 题型三：判断位似中心 7．在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． 8．图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查图形的位似：连接，三条直线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图： 与位似，则位似中心是点N， 故选：B． 9．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 题型四：求两个位似图形的相似比 10．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质对应点到位似中心的距离之比等于位似比，周长比等于位似比即可得． 【详解】和是以点为位似中心的位似图形， ． 11．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即；结合图形可知、、共线且在上，利用求出的值，根据相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形 ，且相似比等于 与的周长之比等于 设，（） 与的周长之比是． 12．如图，与是位似图形，点O为位似中心．若与的周长之比为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， 的周长与的周长比是， ， ， ， ， 故选：C． 题型五：画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 13．如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点 D．点E或点G 【答案】A 【分析】作射线，根据位似中心的概念、线段的位似比解答即可． 【详解】解：作射线， ， 射线经过点D和点G，且，， ∴点A的对应点为点D或点G， 故选：A． 【点睛】本题考查位似变换，正确记忆位似图形的特征是解题关键． 14．已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为______． 【答案】（4，6） 【分析】根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，即可得出对应点的坐标应乘以2，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得， ∴对应点的坐标应乘以2， ∵点的坐标为（2，3）， ∴点的坐标为，即（4，6） 故答案为（4，6）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或-k是解答本题的关键． 15．作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 【答案】C 【详解】解：位似图形的对应边成比例，对应点的连线经过位似中心，对应线段互相平行，小明和小亮的图都符合位似的要求，但位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在两侧，因此只有小明和小亮合到一起才正确． 题型六：求位似图形的对应坐标 16．如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点．已知点，．则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点，，且线段与线段是位似图形， ∴，即． 17．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 【答案】 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据与的相似比为，得到，，进而得到，． 【详解】解：如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵与的相似比为，点是位似中心，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数，位似比为，把缩小，即缩小倍或倍． 【详解】解：∵点，位似中心为原点，位似比为，把缩小， ∴点A的对应点的坐标为或， 即或． 题型七：在坐标系中求两个位似图形的比值 19．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 【答案】 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， 又∵位似图形的相似比等于位似比， ∴与的位似比为. 20．如图，和是以为位似中心的位似图形，已知、、为、、的中点，已知的面积为4，则的面积为_____． 【答案】16 【详解】∵分别是的中点， ∴与的相似比（位似比）为， 相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比为， ∵的面积为， ∴的面积为． 21．如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（   ） A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质．根据位似图形的对应边成比例，利用点和点的坐标求出位似比，进而求出的长． 【详解】解：矩形与矩形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ． 点的坐标为，点的坐标为 ， ， ． ， ， ． 题型八：在坐标系中画位似图形 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查作图-位似变换，解题关键是画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．根据题意分两种情况画出满足题意的线段，即可做出判断． 【详解】解：画出图形，如图所示： 故选D． 23．如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可（注意有两种情形）．解题的关键是掌握位似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图所示： 或即为所求， 的坐标为或， 故答案为：或． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4）， ∴AB＝2，BC＝2， 由勾股定理得：AC＝＝， ∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2， ∴线段DF的长度为AC＝， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 题型九：在坐标系中画位似中心 25．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点是坐标原点，点坐标分别为，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，连接对应点，连线的交点即为位似中心，根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，为位似中心， 故选：B． 26．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形．若A(0，3)、B(-2，0)、C(1，0)、E(6，0)，与的位似中心是点M，则M点的坐标为_______． 【答案】 【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出MO：MH=1：2，即可求出MO的长． 【详解】连接DA，并延长交x轴于点M，过点D作DH⊥OE于点H， 由题意可得：BC=3，OE=6，△ABC∽△DOE， 则位似比为：3：6=1：2， 故OH=2OB=4，DH=2OA=6， 则D点的坐标为：（4，6）， 由MO：MH=1：2， MH=MO+4， 故MO：（MO+4）=1：2， 解得：MO=4， 则M点坐标为：（-4，0）． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确得出位似比，进而得出M点坐标是解题关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为：， 故选：D． 解答题 28．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的面积________． 【答案】(1)，； (2) (3)10 【分析】（1）连接三组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使，，再连接即可； （3）利用割补法求面积． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：的面积． 29．如图，在平面直角坐标系中，与关于点（为位似中心）成位似图形． (1)则点的坐标为__________ ； (2)以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 【答案】(1) (2)如图所示： 【分析】（1）连接、、，交点即为点，写出坐标即可； （2）连接、、，分别取各自的中点，即为所求点、、，依次连接即可． 【详解】（1）解：点如图所示， 由图可知，点的坐标为． （2）略 30．若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”． (1)知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，则__________； ②若，则__________； (2)知识运用：如图②，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”． 【答案】(1)； (2) 证明：， ， ，即， 又， ， ， 又， ， ， ， 绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形， 和互为“旋转位似图形”． 【分析】本题主要考查了位似图形的判定和性质， 对于（1），根据位似图形的对应角相等得出①的答案；再根据位似图形的对应边成比例得出答案； 对于（2），先说明，可得，再说明，进而得出，最后根据“旋转位似图形”定义得出答案. 【详解】（1）解：①和互为“旋转位似图形”， 又 ②， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 31．图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上取一点F，； (3)在图③中，在内部取一点G，连结，使． 【答案】(1) 如图，点即为所作； (2) 如图：连接，点即为所作； (3) 如图：点即为所作； 【分析】本题考查作图，应用与设计作图、中位线的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，再由相似比与面积比的关系可知，当时，，再作中点即可； （2）根据面积比，作三等分点，连接就可； （3）根据面积比，作四等分位置即可． 【详解】（1），， ， 当时，则， 故取分别为，中点即可， （2）， ，即， （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08图形的位似期中复习讲义 1.理解位似图形的概念，知道位似是特殊的相似；能区分相似图形与位似图形，明确位似图形必须具备两个条件：相似，对应顶点的连线交于同一点（位似中心）。 2.认识位似中心，会识别位似中心的位置（可以在图形内部、外部、边上、顶点处）；掌握位似图形的性质：位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）。 3.能够利用位似的性质，放大或者缩小图形；会按照给定的位似比画出原图形的位似图形。 4.掌握平面直角坐标系中位似变换的坐标变化规律：以坐标原点为位似中心，位似比为k，原图形点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)，理解正负号代表位似图形在位似中心的同侧或异侧。 5.能根据两组对应点的坐标，求位似比、求位似中心的坐标；已知位似比和部分点坐标，求对应点坐标。 6.厘清易错点： 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形； 原点作位似中心时，有两种位似结果，不要只写其中一组坐标； 画图时注意对应顶点连线必须经过同一个位似中心。 题型 考察方向 难度 题型一 位似图形相关概念辨析 ★ 题型二 位似图形的识别 ★ 题型三 判断位似中心 ★★ 题型四 求两个位似图形的相似比 ★★ 题型五 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★ 题型六 求位似图形的对应坐标 ★★ 题型七 在坐标系中求两个位似图形的比值 ★★★ 题型八 在坐标系中画位似图形 ★★★ 题型九 在坐标系中画位似中心 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：位似图形相关基础概念 1. 位似图形定义 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形。 这个公共交点叫做位似中心； 两个位似图形的相似比也叫做位似比。 2. 两个必备条件（缺一不可） （1）图形必须相似； （2）所有对应顶点连线交于一点，对应边平行 / 共线。 3. 位似与相似的关系 位似图形一定是相似图形； 相似图形不一定是位似图形（缺少 “对应顶点共点、对应边平行” 条件）； 位似是一种特殊的相似，是具备位置关系的相似。 4. 位似中心的 4 种位置分类 位似中心在两个图形外部； 位似中心在两个图形内部； 位似中心在图形的一条边上； 位似中心在图形的某个顶点上。 知识点02:位似图形的性质 1.位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2.位似中心的位置：可以在图形内部、外部、边上或顶点上。 3.线段比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 4.图形变换：位似变换是一种特殊的相似变换，不改变图形的形状，只改变图形的大小和位置。 5.周长与面积： 周长比 = 位似比； 面积比 = 位似比的平方。 知识点03:位似图形的判定方法 1.定义法： 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于一点； 对应边互相平行（或共线）。同时满足以上三个条件，即可判定为位似图形。 2.直观识别： 找到对应顶点，连线后看是否交于同一点； 观察对应边是否平行。 知识点04:位似图形的作图步骤 1. 一般作图（无坐标系） 以将图形放大 / 缩小 k 倍为例： (1)确定位似中心 O； (2)连接原图形的每个顶点与 O，并延长（或反向延长）； (3)在这些线上按位似比 k 截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于 k； (4)顺次连接各对应点，得到放大 / 缩小后的位似图形。 以将△ABC放大（位似中心在两图形之间）为例，步骤如下： 1.确定位似中心：在平面内任选一点 O 作为位似中心。 2.连接并反向延长：分别连接原三角形的顶点 A、B、C 与位似中心 O，并反向延长 OA、OB、OC。 3.按位似比截取对应点：在反向延长线上，按位似比 k（k>1）截取对应点 A′′、B′′、C′′，使 4.顺次连接成图：顺次连接 A′′、B′′、C′′，得到放大后的△A′′B′′C′′，即为△ABC 的位似图形。 2. 坐标系中的作图 以原点为位似中心，位似比为 k 为例： 若原图形顶点坐标为 (x,y)，则： (1)同向位似（即位似中心在对应点连线的延长线上）：对应点坐标为 (kx,ky)； (2)反向位似（即位似中心在对应点之间）：对应点坐标为 (−kx,−ky)。 若位似中心不是原点，可先平移图形，使位似中心移至原点，完成位似变换后再平移回去。 知识点05：平面直角坐标系中的位似（高频考点） 位似中心为坐标原点的坐标变化规律 设原图形任意一点坐标为(x,y)，以原点为位似中心，位似比为k： 位似中心 位似比 k 同向位似对应点坐标 反向位似对应点坐标 原点 O(0,0) k>0 (kx,ky) (−kx,−ky) 任意点 P(a,b) k>0 (a+k(x−a),b+k(y−b)) (a−k(x−a),b−k(y−b)) 注：同向位似指新图形与原图形在位似中心同侧，反向位似指新图形与原图形在位似中心两侧。 知识点06：本节高频易错点汇总 误区 1：认为 “相似图形就是位似图形”，忽略对应顶点共点、对应边平行的条件； 误区 2：坐标系原点位似只算一种坐标，漏掉反向位似的另一组解； 误区 3：作图时不通过位似中心连射线，随意画图形； 误区 4：混淆面积比，计算面积时忘记将位似比平方； 误区 5：位似中心在图形外侧时，不会反向延长射线作反向位似图形； 误区 6：位似比颠倒，原图与新图的距离比值写反。 题型一：位似图形相关概念辨析 1．用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（   ） A．三角形的周长 B．三角形的内角大小 C．三角形的面积 D．三角形各边的长度 2．如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 3．一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（   ） A． B． C． D． 题型二：位似图形的识别 4．下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 5．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 6．下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：判断位似中心 7．在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 9．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 题型四：求两个位似图形的相似比 10．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比是（     ） A． B． C． D． 11．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 12．如图，与是位似图形，点O为位似中心．若与的周长之比为，则为（    ） A． B． C． D． 题型五：画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 13．如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点 D．点E或点G 14．已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为______． 15．作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 题型六：求位似图形的对应坐标 16．如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点．已知点，．则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 18．如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 题型七：在坐标系中求两个位似图形的比值 19．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 20．如图，和是以为位似中心的位似图形，已知、、为、、的中点，已知的面积为4，则的面积为_____． 21．如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（   ） A． B．7 C． D．8 题型八：在坐标系中画位似图形 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 23．如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为______． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 题型九：在坐标系中画位似中心 25．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点是坐标原点，点坐标分别为，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 26．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形．若A(0，3)、B(-2，0)、C(1，0)、E(6，0)，与的位似中心是点M，则M点的坐标为_______． 27．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 解答题 28．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的面积________． 29．如图，在平面直角坐标系中，与关于点（为位似中心）成位似图形． (1)则点的坐标为__________ ； (2)以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 30．若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”． (1)知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，则__________； ②若，则__________； (2)知识运用：如图②，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”． 31．图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上取一点F，； (3)在图③中，在内部取一点G，连结，使． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $