第3章 图形的相似 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第三章| 图形的相似 P朝高频考点突破 考点一成比例线段及比例的性质 典例1[2025连云港海州期中]已知线段a, 6c清地号-合-后Ha-6+爱=2 (1)求a,b,c的值 (2)添上一条线段d,使得这四条线段成 比例. 分析 0由号-台-后可说a=2张6=kc 6k,然后代入a-b+2c=22进行求解即可. (2)由(1)及成比例线段的性质可进行求解. 解答：(1)根据题意，设a=2k,b=3k,c= 6k,又.a-b十2c=22,.2k-3k+12k= 22,解得k=2.∴.a=4,b=6,c=12. (2)根据(1)可知，a=4,b=6,c=12,当a, b,c,d成比例线段，.a:b=c:d,则有 ad=bc,即4d=72,解得d=18.当a,c,d,b 成比例线段，∴.a:c=d:b,则有ab=cd, 即24=12d,解得d=2.当a,b,d,c成比例 线段，∴.a:b=d:c,则有ac=bd,即48= 6d,解得d=8.综上所述，当d=2或8或18 时，这四条线段成比例 小结 本题考查成比例线段的概念及比例的性质， 解题时若遇到若千比例相等的条件，常采用设比 值的方法进行计算，需特别注意成比例线段的顺 序性。 对应练习 1.已知线段a,b,c满足a:b:c=3：2: 6,且a+2b+c=13. (1)求a,b,c的值. 18 聚焦高频考点，各个击破 (2)若线段a,b,c,d是成比例线段，求d 的值 考点二相似多边形性质的应用 典例2[2025驻马店驿城期中]如图①，E 是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意 一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG, 且菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是， 连接EB,GD (1)求证：EB=GD (2)若∠DAB=60°，AB=2,求GD的长. (典例2图①) 分析 (1)利用相似多边形的对应角相等和菱形 的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线 段相等.(2)连接BD交AC于，点P,则BP⊥ AC,根据∠DAB=60°得到BP=1,然后求得 EP的长，最后利用勾股定理求得EB的长，即 可求得线段GD的长。 解答：(1)，菱形AEFG∽菱形ABCD, ∴.∠EAG=∠BAD.∴.∠EAG+ ∠GAB=∠BAD+∠GAB.'.∠EAB= ∠GAD..:AE=AG,AB=AD, .△AEB≌△AGD.∴.EB=GD (2)如图②，连接BD交AC于点P,则 BP⊥AC,.∠DAB=60°，∴.∠PAB= 30°..'菱形AEFGO∽菱形ABCD,相似比是 2 AB=2,AE-3,BP=7AB=1. .AP=√AB2-BP=√3..EP=23. .EB=√JEP2+BP2=√I2+1=√13」 .GD=13. (典例2图②) 小结 本题考查相似多边形的性质，解决问题的关 键是熟知相似多边形的对应角相等、对应边成比 例，这同时也是判定相似多边形的方法 对应练习 2.[2024北镇期中]矩形OABC∽矩形 ODEF,它们的相似比为号，这两个矩形 在平面直角坐标系中的位置如图所示. 已知点B的坐标为(9,6)，求点E的 坐标. D (第2题) 考点三平行线分线段成比例的应用 典例3如图①，在△ABC中，D为BC上一 点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交 AB于点M,作PN∥AB交AC于点N. 第三章图形的相似 (1)若D是BC的中点，且AP:PD=2: 1,则AM:AB的值为 )若D是BC上任意一点，求证：A区 AN AP AC AD D (典例3图①) 分析 (1)过，点D作DE∥PM PM∥AC DEI∥AC DEI∥PM AE_CD APAM_2 BE BD BD=CD PD ME1 BE=AE 号 (2) AMAP AE CD AE AD AB BC AMAM AE AP CD AB AE AB AD BC 同理AN-AP BD AC AD BC 铝把品品熙)品 解答：1)3 (2)如图②，过点D作DEPM交AB于点 B,DEPM-又：Pw C DEVAC.福设： AB AM AE AP、CD AEX AB-AD ×设同理可#代 AP BD AM AP AB +AN C AD 19 数学（北师版）九年级上 CD BD AP BCBC AD' M (典例3图②) 小结 本题考查平行线分线段成比例的应用，解决 问题的关键是过“分点”或“端点”添加平行线，构 造“平行线分线段成比例”的基本图形，从而直接 或间接找到含待求线段的比例式，再进行计算或 证明 对应练习 3.[2025六安金安期中]如图，直线11，l2,13 分别交直线l4于点A,B,C,交直线1，于 点D,E,F,且11∥l2l3,已知DE: EF=5:3,AC=24. (1)求BC的长， (2)若l4交l5于点O,当AD=4,BE=1 时，求OB的长 (第3题) 考点四黄金分割 典例4[2025临汾期中]黄金分割是几何学 中的瑰宝之一，给人以震撼的美感。 (1)如图①，一把二胡的琴弦AC的长为 6dm,千斤线绑在黄金分割点B处，则B点 下方的琴弦BC的长为 dm. (2)某数学兴趣小组在进行课题研究时，由 20 黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图②， 在△ABC中，D是BC边上一点，AD将 △ABC分割成两个三角形(S△ABD> SAm),当满足ミAm_△时，则称AD SAAHD S△AC 为△ABC的黄金分割线. ①求证：此时D是线段BC的黄金分割点. ②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积. ① ② (典例4图) 分析 (1)根据黄金分割的定义进行计算 (2)①设△ABC中BC边上的高为h,由面积 公式可得D是BC的黄金分割，点；②设△ACD 的面积为5，则△ABD的面积为(4一s),根据 SAAD_SAAD列方程解答. S△ABmS△AC 解答：(1)由黄金分割的定义得，BC=6× 5-1-=(35-3)dm. (2)①设△ABC中BC边上的高为h, S△ACD S△ABD 2CD·h BD- S△ABC 2BD·6 号cA “8品肥D是BC的克金分制点 ②设△ACD的面积为s,则△ABD的面积 为4》，由条件可得产。行整理得 s2-12s+16=0,解得s1=6-2√5,52=6+ 25(不合题意，舍去)，∴.△ACD的面积为 6-2√5. 小结 本题考查黄金分割的计算与证明，解决问题 的关键是理解黄金分割的定义并进行证明，能利 用黄金比进行有关的计算」 对应练习 4.[2025杭州期末]如图，C是线段AB的黄 金分割点，且BC>AC. (1)若AB=2,则AC的长为 (2)若S1表示以BC为边的正方形面 积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面 积.试判断S,与S2的大小关系，并说明 理由 S2 S (第4题) 考点五相似三角形的判定与性质 典例5如图，在矩形ABCD中，E为CD的 EH 中点，H为BE上的一点，B日=3，连接CH 并延长，交AB于点G,连接GE并延长，交 AD的延长线于点F. EC EH (1)求证：BGBH (2)若∠CGF=90,求AC的值 G (典例5图) 分析 (1)通过证明相似三角形获证比例式， (2)通过一线三垂直的“K”模型得到相似三角 形，进而利用相似三角形的对应边成比例解决 问题 第三章图形的相似 解答：(1).·四边形ABCD为矩形，∴.AB∥ CD.∴.∠HEC=∠HBG,∠HCE= ∠HGB..△EHC△BHG.BBH EC EH (2)四边形ABCD为矩形，∴.∠A= ∠CBG=90°，AB=CD..∠AGF+∠F= 90°..∠CGF=90°，∴.∠AGF+∠BGC= 90°..∠F=∠BGC.∴.△AFGの△BGC. 能-瓷：E为CD的中点C E-Cn2AB“瓷3 3C-名.·AG-ABG-号AB. .ABCD,.∠FDE=∠A.又.∠F= ∠P△FU△FAG,R-R AA-号aD-Bc:站C 5 BC -AB AB2 AB 1 BC... BC-18.…BC 32. 小结 本题考查相似三角形的判定与性质的综合 应用，解决问题的关键是明确判定三角形相似的 基本思路：①若已知一对等角，则可找另一对等 角，或找夹已知等角的两边对应成比例；②若已 知两边对应成比例，则找其夹角相等，或找第三 边也对应成比例。 对应练习， 5.[2025临泉期末]如图，四边形ABCD为 平行四边形，E为边AD上一点，对角线AC 与BE相交于点F,且∠ACB=∠ABE. (1)求证：AE2=EF·BE. 21 数学（北师版）九年级上 (2)若AE=2,EF=1,求A匹的值 S△CBF (第5题) 考点六相似三角形的应用 典例6为了测量路灯的高度MN,小明从灯 杆底部，点N沿人行道垂直方向拉一卷尺到 点B处，在点B,N之间水平放置一平面镜， 移动镜子的位置，当镜子在C点时，小明能 在镜中看到灯EP的E点；当镜子在D点 时，小明能在镜中看到灯MF的F点，其视 线如图①所示，D,P,F三点共线，且EP⊥ MN,FM⊥MN.已知小明的眼睛离地面的 高度AB=1.5m,BC=1.2m,CD=0.3m, DN=10m,MF=3m.求： (1)线段NP的长和灯杆MN的高度. (2)EP的长， E p BCD (典例6图①)》 分析 (1)根据反射知识和等腰直角三角形的判 定与性质得到PN=DN=10m,MF=MP= 3m,MN=PN+PM=13m.(2)过点E作 EG⊥BN于点G,则EG=PN=10m,EP=GN, 证明△ABCc∽△FGC求得CG=8m,进而求得 GN即可求得EP. 解答：(1)AB=1.5m,BC=1.2m, CD =0.3 m,.'AB BD =1.5 m. 22 .∠ADB=∠BAD=45°.∴.∠PDN= ∠DPN=45°..PN=DN=10m. .'FM⊥MN,∠MPF=∠DPN=45°， ∴.∠MFP=∠MPF=45°.∴.PM=FM= 3m.∴.MN=PN+PM=l3m.∴.线段 NP的长为10m,灯杆MN的高度为13m. (2)如图②，过点E作EG⊥BN于点G,则 四边形EGNP是矩形，.EG=PN= 10m,EP=GN.,∠ABC=∠EGC=90°， ∠ACB=∠ECG,.△ABC∽△EGC. 胎-瓷即品-g解得G=8m 10_CG .∴.GN=DN+CD-CG=10+0.3-8= 2.3(m)..EP=GN=2.3m.∴.EP的长 为2.3m. MF ￥CD GN (典例6图②) 小结 本题考查相似三角形的应用，解决问题的关 键是借助光线或视线到达物体顶端，将光线或视 线作为三角形的一边所在的直线，构造相似三角 形，再利用相似三角形的对应边成比例求物体的 高度.注意有时需构造两对或多对相似三角形， 再分别由它们的对应边成比例列方程，联立组成 方程组进行解答 对应练习， 6.[2025成都青羊期末]小明决定利用所学 数学知识测量出旗杆CD的高度.如图， A,B,C三点在同一条直线上，A,E,D 三点也在同一条直线上，BE⊥AC,DC⊥ AC,垂足分别是B和C,小明眼睛到地面 的高BE=1.5米，且AB=3米，CB的长 度为9米 (1)求旗杆CD的高度， (2)小明在测量时发现通过地面BC直线 上的点F处的一个小水坑刚好看到旗杆 顶端D,求小水坑F到小明的距离BF 的长 (第6题) 考点七位似与作图 典例7[2025芜湖期末]在如图①所示的方 格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P 为位似中心的位似图形 (1)在图中标出位似中心点P的位置， (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出 △OAB的一个位似图形△OA2B2,使它与 △OAB的相似比为2. (3)已知△OAB的面积为2.5，则△OA2B2 的面积为 (典例7图①) 分析 (1)分别连接OO、BB并延长交于点P， 则，点P即为所求.（2)根据位似图形的性质作 出图形即可.(3)根据相似三角形的面积比等 于相似比的平方求解即可. 解答：(1)如图②，点P即为所求作」 第三章图形的相似 (2)如图②，△OA2B2即为所求作 (3),·在第三象限画出△OAB的一个位似 图形△OA2B2,使它与△OAB的相似比为 2,.△OA2B2的面积：△OAB的面积= 4:1.·△OAB的面积为2.5，∴.△OA2B2 的面积为10. (典例7图②) 小结 本题考查作图、位似变换和三角形的面积， 熟记位似三角形的性质是解题的关键. 对应练习 7.[2025怀宁期末]如图，△ABC三个顶点 的坐标分别为A(一4,0)，B(0,2), C(-2,4) (1)△A1B1C1三个顶点的坐标分别为 A1(2,0),B1(0,-1),C1(1,-2), △A,B1C1是△ABC通过位似变换得到的， 位似中心的坐标为 ;△A1B1C1和 △ABC的相似比为 (2)请在线段AB上找一点M使得 AM:BM=2:3. 5432-10B 2345x (第7题) 23数学（北师版）九年级上 R△QBEB中，∠B=30.QE=号QB.Sam 号PB·QE.设经过ts△PQ的面积为4cm.点P,Q 到达终点前，PB=(6-t)cm,QB=2tcm,QE=tcm.由题 意，得2(6-t)·t=4,即t-6t十8=0，解得t=2,t2= 4.当t=4时，2t=8,8>45,不合题意，舍去.∴.t=2.点 Q到达点C后，1>25.QE=AC=号BC=2cm,PB= 6-0cm号×2×6-4)=41=6-5综上所 述，经过2s或6-4）△PQ的面积为4am2。 0(1)(-2,0).x(x十2)=0，x十2=0或x=0, 解得x1=-2,x2=0.,-2<0,∴.方程x2十2x=0的衍 生点P的坐标为（一2,0）.(2)①根据题意，可得 △=(-1)2-4×q×1≥0， 1-4g0 即 ”解得g≤}且 q≠0， g≠0， q≠0.②设关于x的一元二次方程gx2一x十1=0的两 个实数根分别为m,n+2,则m十(n+2)=号mn十 2)1 2m+2=m+2m,解得m=±2.当m=2 时，9一 m+(m+2)22+2 。=。,当m=一2时，g= 1 1 m+(m+2)-22+2 尘综上0的值为 2 或-2+1 2 (3)y=kx+3(2-k)=k(x-3)+6, ∴.直线过定点M(3,6).∴.方程x2+bx十c=0的两个实 -b 数根为x1=3,x2=6..x1十x2= =一b=3+6=9, xxg==c=3X6=18.6=-9c=18 第三章【 图形的相似 [高频考点突破] ①(1)a:b:c=3:2:6,.设a=3k,b=2k,c=6k. 又a+2b+c=13,∴.3k+2×2k+6k=13,解得k=1. .a=3,b=2,c=6.(2)线段a,b,c,d是成比例线 段号-行，即号-日解得d=4 50 ②：矩形OABC矩形ODEF,它们的相似比为 3 · “8器-8器=是：点B的坐标为9,60A=9 0=60品-流=号0D=60f=4点E的 坐标为（一4，一6）. ⊙(1)4nm,DE:EF=5:3,AC=24,.A BC 保-号C-号BC-景AC-g②：AC 24,BC=9,..AB=AC-BC=24-9=15.'AD//BE, AD-4,E-1品品-片÷品-0 3AB=8 ④(1)3-√5.(2)S,=S2.理由：：S,表示以BC为边 的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积， .S1=BC,S2=AC·AB.BC2=AC·AB,.S,=S2 ⑤(1)'四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上 点，对角线AC与BE相交于点F,∴.AD∥BC ∴.∠EAF=∠ACB=∠ABE.,'∠AEF=∠BEA, △EAPU△BA品需A-F·BE (2)由(1)得AE2=EF·BE,且AE=2,EF=1,.BE= 4.∴.BF=BE-EF=4-1=3.∠AFE=∠CFB, EAF=∠BCE,,△AEF∽△CBF.F=, SACBF 隙)= ⑥(1)BE⊥AC,DC⊥AC,∴.EBCD.∴.△ABEc∽ △AD.器装脚品廉得CD=6米庆 杆CD的高度为6米.(2)由题意得∠EFB=∠DFC, ∠HBF=∠F,△EBF△IE.需-8g,即 。g第，解得BF-号米：小水坑F到小明的拒离 1.5BF BF的长为9米 ⑦1)(0,0)：2：连接AA1,BB1,CC,交于点0，则位 似中心为点O(0,0).由勾股定理得B,C,=√+1下= √2，BC=√2+2=2√2，：△A,B,C,和△ABC位似， 三相似比为对应边长之比，即，C:相似比为 C BC √21 222 。(2)如图，点M即为所求作 5432-10 (第7题) [综合素养提升] ①B,△ABC和△A'B'C是以原点O为位似中心的位 似图形，∴.△ABC△A'B'C.AA'=2OA,∴.相似比 为号：点B的坐标为(2,1)点B'的坐标为(2×3， 1×3),即(6,3). ②B如图，过点F作FH⊥BG于点H,FK⊥BC于点 K,则∠EHF=90°.易证四边形BHFK是正方形.：四边 形ABCD是正方形，∴.∠A=90°=∠EHF,∴.∠EFH十 ∠FEH=90°.：DE⊥EF,.∠DEA+∠FEH=90 ∠DEA=∠BFH.△DARAFHF.品品 正方形ABCD的边长为3，BE=2AE,∴.AE=1,BE 2.设FH=a,则易得BH=a..HE=2十a.2十a 3 得a1.·FH=B=1.易证△DCNa “祭然：易得=3，脉=FK=1…CK=2设 CN=6,则KN=2-6:马=2名6解得6=号，即 CN=兰易E△ADE△BEM,品-器即号= BM=号MN=BC-CN-BM=3- 2-5 361 E (第2题) 附：答案与解析 'AC∥BD,.△AOC∽△BOD. OA+OC+ACAC.AC 1 ·OB+OD+BD-BD·BD-21 ④24由题意得AB⊥BC,∴.∠ABC=90°DE⊥AC, ∴.∠DEC=90°..∠DEC=∠ABC=90°.：AB= 60cm,AB+BC=140cm,∴.BC=140-60=80(cm). ∴.AC=√AB2+BC=√602+80=100(cm).:D为 BC的中点，CD=2BC=40cm:∠ACB=∠DCE :△CD0△CA.积-货：品-焉解得 DE=24 cm. ⑤12如图，分别过点A,D作BC的垂线，垂足分别为 H,M,AH交DE于点N,BC=√AB2+AC=10cm, :SaME=合AC·AB=号C·AH.AH= 1 AC5-酷m:四边形DEFG是平行四边形， BC DE/mC.△ADEn△MBc.-8=品 2·AN=AH=号em:DM=AH-AN= 12 cm.六.S.eG=DE·DM=5X号 -12(cm). D BGM H F (第5题) 01):AD/BC易得是瓷：品-架 CAC-FG∠AGF=∠CGD,.△AGFn△CGD, .∠AFG=∠CDG.∴.AB∥CD.(2).AD∥BC, 易毋瓷-是·器需“器器 AD=cD器-瓷：AD易得 器路架 ·CE-AC ⑦(1)设AC=x,根据黄金分割点的定义可得x2=1· 1-x,解得，=5-1， 2,x2=二5二1（舍去），k= 2 兰-5(》方案穿离跟鞋设高鞋的高度为 51