精品解析：江苏苏州第一中学校2026-2027学年第一学期十月自主学习能力检测高一数学试卷

苏州第一中学校2026—2027学年第一学期十月自主学习能力检测 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题“”是存在量词命题， 其否定为全称量词命题，是：. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，， 则，所以. 3. 集合的真子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【详解】∵集合含有3个元素， ∴集合的真子集个数为. 4. 设甲：且，乙：且，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可． 【详解】根据充分条件，必要条件的定义，若”且”则”且”是真命题，充分性成立． 反之是假命题，比如当，时满足且，但推不出且. 5. 不等式的解集为（   ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项通分，然后转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】， 解得，所以不等式的解集为. 6. 若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 72 B. 57 C. 50 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】应用基本不等式计算求解最小值. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值为． 7. 已知，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设， 所以，解得，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以. 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据一次函数与二次函数的性质，整理关于的等式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由，则函数单调递增，且当时，；当时，. 因为时，恒成立，所以恒成立， 则当时，恒成立；当时，恒成立. 故有时，，则， 所以，当且仅当，即时取等号. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系逐一判断即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以有，因此选项A不正确，选项B正确； ，因此选项C正确； ，选项D正确， 故选：BCD. 10. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过基本不等式、代数变形、特殊值验证等方法逐一判断各选项是否恒成立.   【详解】选项A：因为，，，由基本不等式， 所以，即，当且仅当时取等号，故A正确.  选项B：，又，所以， 而，所以， 当且仅当时取等号，故B正确.  选项C：，代入，， 则， 因为，所以， 则，即，当且仅当时取等号，故C错误.  选项D：， 因为，所以，则， 即，当且仅当时取等号，D正确. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用列举法表示集合______． 【答案】 【解析】 【分析】由可列举出符合题意的的值，进而表示出集合． 【详解】集合 所以可以取的值为，1，2，3，所以． 故答案为：． 13. 不等式的解集是__________． 【答案】或 【解析】 【详解】对于不等式， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，不等式的解集是或. 14. 设a，b，c且，则当取最大值时，的最大值为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】将表示为的形式，利用基本不等式求得当取最大值时，，再根据二次函数的性质求得的最大值. 【详解】a，b，c且， 即， 所以 ， 当且仅当时等号成立，此时， 所以， 根据二次函数的性质可知，当时， 取得最大值为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：求一个表达式的最值，可以考虑以下两种方法，一种是利用基本不等式来求最值，利用基本不等式求最值，要注意“一正二定三相等”；一种是利用二次函数的性质来求最值，利用二次函数的性质来求最值，要注意开口方向和对称轴. 四、解答题：本题共5小题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）若，求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【小问1详解】 因为的解集为， 所以，则或， 当时，，所以． 【小问2详解】 若，则集合是集合的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 16. 已知命题，，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据存在量词命题为真，将其转化成“，在时有解”问题，即使即得的取值范围； （2）先利用数形结合思想求出命题为真时的范围，结合（1）的结论，先考虑全是假命题时的范围，即可求出“命题和至少有一个为真命题”时的的范围. 【小问1详解】 由命题，为真，即，在时有解， 即需使，因，故得. 即实数的取值范围是. 【小问2详解】 若为真命题， ①当时，显然成立； ②当时，需使，解得：， 综上，当为真命题时，. 由（1）知，当为真命题时，， 当全是假命题时，则有，即得， 故当命题和至少有一个为真命题时，的取值范围为. 17. 已知集合，集合. （1）若集合B为单元素集合，求实数a的值； （2）若AB=A，求实数a的取值范围. 【答案】（1）-3 （2） 【解析】 【分析】（1），根据B仅有一个元素，由求解； （2）由得到，分和有一个元素求解. 【小问1详解】 仅有一个元素， ， 【小问2详解】 ，， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 18. 育人中学为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元.设荣誉室的左右两面墙的长度均为（米）. （1）将甲工程队的整体报价（元）表示为长度（米）的函数； （2）当（米）取何值时，甲工程队的整体报价最低？并求出最低整体报价； （3）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数的取值范围. 【答案】（1） （2），元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件计算出整体报价. （2）利用基本不等式对整体报价的最小值进行求解，同时求得对应的的值. （3）根据“乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低”列不等式，结合二次函数的知识求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意得： . 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立. 故当左右两侧墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元. 【小问3详解】 对任意的恒成立. 从而对任意的恒成立， 令，在上的最小值为，∴ 所以的取值范围为：. 19. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【小问1详解】 由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州第一中学校2026—2027学年第一学期十月自主学习能力检测 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 集合的真子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 4. 设甲：且，乙：且，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 5. 不等式的解集为（   ） A. B. C. 或 D. 6. 若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 72 B. 57 C. 50 D. 64 7. 已知，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 10. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用列举法表示集合______． 13. 不等式的解集是__________． 14. 设a，b，c且，则当取最大值时，的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）若，求； （2）若，求a的取值范围． 16. 已知命题，，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 17. 已知集合，集合. （1）若集合B为单元素集合，求实数a的值； （2）若AB=A，求实数a的取值范围. 18. 育人中学为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元.设荣誉室的左右两面墙的长度均为（米）. （1）将甲工程队的整体报价（元）表示为长度（米）的函数； （2）当（米）取何值时，甲工程队的整体报价最低？并求出最低整体报价； （3）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数的取值范围. 19. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $