山西运城市万荣县部分学校2026-2027学年上学期10月学情自测九年级数学试卷

2026-2027学年第一次阶段测试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 C D B B B A A 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.菱形 12.14 13.3 14.70° 15. 4而 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(本题10分) 解：(1)x2+4x=10 x2+4x+22=10+4… 2分 (x+2)2=14 …3分 x+2=±14 …4分 x=-2±V14 x=-2+V14x,=-2-V14 …5分 (2)2(x-3)2=x2-9 20x-3)-(x2-9)=0…6分 (x-3)[2x-6-(x+3)]=0…7分 (x-3)(x-9)=0…8分 x-3=0或x-9=0… 9分 x=3,x2=9 ……10分 17.(本题7分) 解：四边形AMCW是正方形。理由如下：…1分 .四边形ABCD是菱形 第1页共5页 .AO=CO=LAC=4cm,BO=DO,ACL BD 由题意得BM=DN=t=2cm 3分 ∴.BO-BM=DO-DN ∴.MO=NO ∴.四边形AMCN是平行四边形 4分 .AC⊥BD .四边形AMCN是菱形…5分 在Rt△AOD中，∠AOD=90° 0D=VAD2-0A2=V52-16=6cm ∴.BD=2OD=l2C2…6分 .'N=BD-BM-DN=12-2-2=8cm ∴.AC=W .四边形AMCW是正方形…7分 18.(本题9分) (1)40-x 30-2x… 2分 (2)由题意可知：（40-x)(30-2x)=612…5分 x2-55x+294=0 解得：x=49(不合题意，舍去)，x2=6…7分 包装盒的体积：612×6=3672（cm2)…8分 答：小正方形边长为6Cm,包装盒的体积为3672.…9分 19.(本题7分) 解：(1)①0.48 ②0.4…2分 (2) 甲 A B D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) 第2页共5页 D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 。。。。。。 …4分 共有16种等可能的结果， 其中甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的结果有6种， 所以P(甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目)=長3 …7分 168 20.(本题7分) 解：(1)△=[2(m+2)]-4×(m2+4m-1)×1…1分 =4(m+2)2-4m2-16m+4 =4m2+16m+16-4m2-16m+4=20>0…2分 .无论为何值，方程都有两个不相等的实数根…3分 (2)(x+2)(x3+2)=xx3+2x1+2x2+4=xx2+2(x+x2)+4=5…4分 .x+x3=2(+2)=2+4,xx2=m2+41-1… 5分 ∴.m2+4m-1+2(22+4)+4=5 …6分 解得=-4+V10,m,=-4-10 答：的值是-4+√10或-4-0…7分 21.(本题9分) 解：（1)如右图 ,四边形ABCD是平行四边形 A D 3 .OA=OC,AD//BC…1分 ∴.∠1=∠2，∠3=∠4 4 B ∴.△AOE2△COF…2分 ∴.OE=OF ∴.四边形AECF是平行四边形 3分 第3页共5页 A M (2)① B 0 …5分 C 如图，矩形WPQ即为所求…6分 M ② B D…8分 如图，矩形WPQ即为所求…9分 22.(本题13分) 解：（1)设这两年该文创产品销量的年平均增长率为x.…1分 10(1十X2=14.4…3分 解得：x1=0.2=20%,飞3=-2.2（不合题意，舍去)…4分 答：这两年该文创产品销量的年平均增长率为20%。…5分 （2)设每件冰箱贴应该降价m元.… 6分 (40--20)(100+10m)=2240 8分 m2-10mm+24=0 解得：=6，=4…9分 为了扩大宣传效果、尽可能增加销量 ∴.m=6 答：每件冰箱贴应该降价6元.……I0分 (3)5 2250……13分 23.(本题13分) 解：（1)四边形AEFG是菱形.理由如下：…1分 由折叠可得：EA=EF,∠EFD=∠EAD=90°，∠GEF=∠GEA…2分 .AH⊥DF 第4页共5页 ∴.∠AHF=90° ∴.∠AHF+∠EFD=180° D ∴.AH/EF…3分 ∴.∠AGE=∠GEF ∴.∠AGE=∠GEA ..AG=AE ∴.AG=EF …4分 ∴.四边形AEFG是平行四边形 又，EA=EF 所以平行四边形AEFG是菱形 …5分 (2)①连接PE…6分 .点E是AB的中点，AB=8 ∴.EA=EB=4 由折叠可得：DF=DA=5,EF=EA=4, ∠DFE=∠A=90°…7分 ∴.∠EFP=90°，EF=EB .四边形ABCD是矩形 .CD=AB=8,CB=DA=5,∠C=∠B=90°=∠EFP 又.EP=EP ∴.△EFP≌△EBP 8分 .PF=PB 设CP=x,则PF=PB=5-x 在Rt△DCP中，∠C=90° DP2=DC2+CP2 即(5+5-x)=82+x2…9分 解得x=5 9 .CP=9 10分 e或 …13分 第5页共5页数 学 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效、 4.考试结束后，将答题卡交回 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.一元二次方程x(x-1)=0的根为 A.x1=x2=0 B.x1=x2=1 C.x1=0,x2=1 D.x1=0,x2=-1 2.一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为花，=1，x2=-2,则该一元二次方程可以因式 分解为 A.(x-1)(x-2)=0 B.(x+1)(x+2)=0 C.(x+1)(x-2)=0 D.(x-1)(x+2)=0 3.将一元二次方程3x2-2x=5化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项 分别是 A.-3,2,-5 B.3,-2,-5 C.-3,-2,5 D.3,-2,5 4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是 A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是矩形 C.当AC⊥BD时，它是菱形 B D.当∠ABC=90°时，它是矩形 5.现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞 溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发 生变化的概率是 A C. D. 数学第1页（共6页） 6.判断方程x2-2x-8=0的根的情况正确的是 A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 7.某班级里有1名学生学会了一首趣味手势舞，经过两轮学生互相传授学习之后，全班一共 有64名学生学会了这支手势舞.若每轮中，平均1个学会的学生教会x个不会的学生，则 下面所列方程正确的是 A.1+x+x(1+x）=64 B.2(1+x)=64 C.x+(1+x)=64 D.1+x+x2=64 8.如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形 ABCD,且对角线AC=8,BD=6,则纸条的宽度是 A.9.6 B.5 C.4.8 D.2.4 9.在数学活动课上，小明利用“面积法”探究一元二次方程的几何解 法，他尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c=0时，构造出如图 所示的图形：先构造一个面积为x的中心正方形，再以正方形的边 为一边向外构造四个宽为3的阴影矩形，如图所示拼成一个大正方 形.已知阴影部分的面积和为64，则该方程的正数解为 A.2 B.3 一x3卡 C.4 D.5 10.正八边形承载八方纳福的吉祥寓意，手工社团要裁剪一张边长为6cm 的正八边形装饰贴纸，俯视图如图所示.要把这张贴纸平铺放到正方 形画框内部，画框不能弯折，忽略贴纸与画框厚度，请问正方形画框 的内边长至少( )cm.(精确到1cm,参考数据：√2≈1.414) A.15 B.14 C.11 D.10 6cm 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11.顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是▲ 12.一个不透明的盒子中装有若干个红球和6个黑球，这些球除颜色外均相同.从盒子中随机 摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.3左右，则盒子中红球的个数约 为▲一· 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，某同学 用刻度尺测量长度时，点A,B对应的刻度分别为0,6，则CD的 A 长为▲ 0 2345 6 数学第2页（共6页） 14.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是35°，则两条对角线所央锐 角度数为▲ 15.在正方形ABCD中，点M、N分别是AB、BC边上的中点，连接AW、 DM,交于点O,连接B0.若AD=4,则B0的长为▲· 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分)选择合适的方法解方程 (1)x2+4x=10 (2)2(x-3)2=x2-9 17.（本题7分)如图，四边形ABCD是菱形，AD=2√13cm,AC=8cm,对角线AC与BD交于 点O,对角线BD上有两动点M,N,动点M从点B向点D运动，动点N从点D向点B运动， 速度均为1cm/s,连接AM,CM,AV,CN.若运动时间为ts,当t=2 时，判断四边形AMCN的形状，并说明理由· 18.（本题9分)运城老字号“福同惠”糕点厂为迎接中秋佳节，准备设计一款新型桂花糕包装 盒.如图1，现有一张矩形纸板，其中AB=30cm,BC=80cm 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的上下两个阴影部分为两个小正方形. 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒. F A D 底面 B 图1 图2 解决问题： (1)设剪去的小正方形边长为xcm,折叠成的包装盒的底面长为▲cm,底面宽为 ▲cm(请用含x的代数式表示) (2)若折叠成的包装盒底面积为612cm2,求剪去的小正方形边长及包装盒的体积. 数学第3页（共6页） 19.(本题7分)吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包 投掷、D趣味套圈、甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助 工作 (1)为估算参加“沙包投掷”项目的人数，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果 如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据 ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率▲（精确到0.1）. (2)利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目 的概率. 20.(本题7分)已知关于x的一元二次方程x2-2(m+2)x+m2+4m-1=0. (1)求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且(x1+2)(x2+2)=5,求m的值， 21.（本题9分)阅读与思考 利用对称性完成单尺作图 数学课上，老师和同学们一起对“利用对称性完成单尺作图”问题进行了探讨 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图，由于其作图工具是一把没有刻度 的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、一条射线、或者连接线段， 延长已知线段. 问题1：如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上一，点，现要用单尺作图，求作 平行四边形AECF,且，点F在BC上. 分析：平行四边形是中心对称图形，且口ABCD与口AECF有公共的对称中心. 数学·第4页（共6页） 勤学小组的作法：①连接AC,BD相交于点O;②连接E0并延长交BC于点F;③ 连接CE,AF.□AECF即为所求. E D 图1 图2 问题2：已知菱形ABCD中，点E是AD边上一点、现要用单尺作图，在DC边上求 作一点F,使DF=DE. 分析：菱形是轴对称性图形，对角线BD所在的直线就是它的一条对称轴·因为 DF=DE,所以点E与点F也关于直线BD对称. 善思小组的作法：①连接BD;②连接CE交BD于点P;③连接AP并延长交CD 于点F点F即为所求. D B B 图3 图4 反思：以上作图都利用了图形的对称性，这种方法可以迁移到其他对称图形的作 图中 任务一：推理解释 (1)借助图2，证明勤学小组作出的四边形AECF是平行四边形. 任务二：类比操作 已知菱形ABCD.请仅用无刻度直尺按照下面要求作图，（要求保留作图痕迹，不写做法） (2)如图5，点M,N分别为AB,BC的中点，求作一个矩形MNPQ,使P,Q分别在边CD,AD上； (3)如图6，点M为边AB上一点，求作一个矩形MNPQ,使得N,P,Q分别在BC,CD,AD上. M B 图5 图6 数学第5页（共6页） 22.(本题13分)综合与实践 项目主题 运城盐湖景区“七彩盐湖”文创产品销售策划 随着运城盐湖“山海经·盐泽神境”夜游项目的火爆，景区决定推出一 项目情境 款名为“七彩盐湖”的文创冰箱贴，景区运营部对这款产品的销量和利 润进行了调研与测算 运营部发现，该系列文创产品上市第一年(2024年)售出10万件，随着 素材1 景区夜游项目的加持，第三年(2026年)售出14.4万件. 该冰箱贴每件成本为20元，最初定价为每件40元时，每天可售出100 素材2 件，为了配合国庆黄金周的宣传，景区决定降价促销.经市场调查发 现：售价每降低1元，每天可多售出10件 问题解决 驱动问题一 (1)求这两年该文创产品销量的年平均增长率 (2)若景区希望每天获得2240元的利润，且为了扩大宣传效果、尽可能 驱动问题二 增加销量，每件冰箱贴应该降价多少元？ (3)当每件冰箱贴应该降价▲元时，每天获得的利润最大，最大利 驱动问题三 润为▲元. 23.（本题13分)综合与探究 【问题情境】 如图1，在矩形BCD中，点E是边AB上的一个动点，连接DE,将△ADE沿DE折叠得到 △FDE. 【猜想证明】 (1)过点A作AH⊥DF于点H,交DE于点G,连接GF.判断四边形AEFG的形状，并说明 理由. 【拓展延伸】 (2)已知AD=5,AB=8. ①如图2，当点E为AB中点时，延长DF交BC于点P,求CP的长 ②如图3，连接FC,FB,当△FCB是以FC为腰的等腰三角形时，请直接写出线段AE的 长度 E 图1 图2 图3 数学第6页（共6页）