精品解析：山西省运城市万荣县光华中学2025-2026学年上学期九年级第四次月考数学试卷

2025-2026学年上学期九年级第四次月考数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 以下说法合理的是（　　） A. 小明做了次掷图钉的实验，发现次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B. 某彩票的中奖概率是，那么买张彩票一定有张中奖 C. 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是 D. 小明做了次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是二分之一 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，连接，交轴于点，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，则等于（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 6. 将抛物线的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的表达式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 17 7. 在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点M为边上一点，，连接并延长，与的延长线交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 10. 日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（ ） A. 40秒 B. 60秒 C. 80秒 D. 100秒 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，则的值是_____． 12. 已知，是二次函数的图象上的两点．若，则__________ ． 13. 如图，四边形的对角线交于点O，，如果，那么的值是 ____． 14. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，） 15. 如图，在x轴的正半轴上依次截取，分别过点，，，，作x轴的垂线与反比例的图象相交于点，，，，，连接，，，…，，得直角三角形，直角三角形，直角三角形，…，直角三角形，并设其面积分别为，，，，，则的值为____________________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 17. 为提高学生的身体素质，了解学生体育锻炼的需求，虹友中学随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪类体育运动”（必选且只选一类）的调查，并根据调查结果，绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢“篮球”运动的学生人数占所调查人数的，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了多少名学生？并将条形统计图补充完整； （2）若虹友中学共有名学生，请你估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生有多少名？ （3）如果小萍和小红也参加了本次调查，那么小萍和小红喜欢同一种体育运动的概率为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于y轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标； （3）点P为y轴上一点，当最小时，求点P的坐标． 19. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点C作轴且交反比例函数于点D，连接，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 20. 某商店6月份的利润是3600元，要使8月份的利润达到4900元，平均每月利润增长的百分率是多少？ 21. 为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 自制直角三角形模具，皮尺 皮尺，测角仪 测量示意图 测量步骤 甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上． 乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用 测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角． 说明 A，B，C，D，E，R均在同一平面内，测角仪高度忽略不计 测量数据 请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（结果精确到．参考数据：） 22. 如图，在正方形中，点P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，交于点F． （1）证明：； （2）如图，把正方形改为菱形，其它条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 23. 掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系，如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级第四次月考数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 以下说法合理的是（　　） A. 小明做了次掷图钉的实验，发现次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B. 某彩票的中奖概率是，那么买张彩票一定有张中奖 C. 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是 D. 小明做了次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是二分之一 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键，概率是理论值，试验频率可能波动．概率是事件固有的属性，不因少量试验而改变，对于等可能事件，概率是确定的． 【详解】解：概率是描述事件发生可能性的量，对于随机事件，概率是固有的，不随试验次数改变； A、次试验不能确定概率，故此选项错误，不符合题意； B、概率表示长期频率，买张彩票不一定有张中奖，故此选项错误，不符合题意； C、射击中靶与不中靶不是等可能事件，概率不一定是，故此选项错误，不符合题意； D、均匀硬币每次掷出正面朝上的概率均为，与前次结果无关，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．方程整理后，利用完全平方公式变形得到配方结果即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D 3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，连接，交轴于点，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，根据菱形的性质可得，，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：C． 4. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了组合体的三视图．根据三视图中的主视图定义，从前往后看，得到的平面图形即为主视图． 【详解】解：该立体图形的主视图为： 故选：B． 5. 如图，，，，则等于（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 先根据平行线分线段成比例定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6. 将抛物线的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的表达式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．根据平移的规律求得解析式，化成一般式即可求得． 【详解】解：抛物线的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为：， 即， ， ． 故选：B． 7. 在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，根据条件可得，，再根据即可求解． 【详解】解：∵在中，，是边上的高，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 过点作于，则，根据点都在反比例函数的图象上，则，由折叠知，．推出，推出，根据，则，则，得出，因为，则，得出． 【详解】解：过点作于， ， ， ∵点都在反比例函数的图象上， ， 由折叠知，． ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，在正方形中，点M为边上一点，，连接并延长，与的延长线交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，可求出，则可求出，证明得到，，则可得到；设，则，，解直角三角形得到，则可求出，；证明，可得，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴可设， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（ ） A. 40秒 B. 60秒 C. 80秒 D. 100秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，结合一枚炮弹从发射到落地，即把代入，进行计算，得，解得（舍去），即可作答． 【详解】解：∵迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为 ∴一枚炮弹从发射到落地，即 ∴， 则， 解得（舍去）， ∴一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为80秒， 故选：C 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系：，． 先根据根与系数的关系求出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 已知，是二次函数的图象上的两点．若，则__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．确定抛物线的对称轴为y轴，由于抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，于是可判断与的大小． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，四边形的对角线交于点O，，如果，那么的值是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明及是解题的关键．由，证明得 ，则， ，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的值是， 故答案为：． 14. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，） 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则， 由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ， 故答案为：18． 15. 如图，在x轴的正半轴上依次截取，分别过点，，，，作x轴的垂线与反比例的图象相交于点，，，，，连接，，，…，，得直角三角形，直角三角形，直角三角形，…，直角三角形，并设其面积分别为，，，，，则的值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．根据反比例函数中的几何意义再结合图象即可解答． 【详解】解：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，． ，， ， ， 同理可得，，，． 以此类推，． ， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴，． 17. 为提高学生的身体素质，了解学生体育锻炼的需求，虹友中学随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪类体育运动”（必选且只选一类）的调查，并根据调查结果，绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢“篮球”运动的学生人数占所调查人数的，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了多少名学生？并将条形统计图补充完整； （2）若虹友中学共有名学生，请你估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生有多少名？ （3）如果小萍和小红也参加了本次调查，那么小萍和小红喜欢同一种体育运动的概率为______． 【答案】（1）人，补全统计图如图 （2）估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生有名 （3） 【解析】 【分析】（）利用最喜欢“篮球”运动的学生人数除以即可求出一共调查的人数，然后用总人数见其它的人数即可求出最喜欢“排球”运动的学生人数， （）利用最喜欢“滑冰”运动的学生所占比乘以即可； （）画出树状图，找到等可能情况总数和小萍和小红喜欢同一种体育运动的情况数，利用概率公式求解即可； 本题主要考查了条形统计图，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键． 【小问1详解】 这次调查中，一共调查了（人）， 最喜欢“排球”运动的学生人数为：（人）， 补全统计图如图， 【小问2详解】 （人）， 答：估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生有名； 【小问3详解】 设最喜欢“足球”， 最喜欢“篮球”，最喜欢“排球”，最喜欢“滑冰”分别用，，，表示， 画树状图如下： 共有种等可能结果，其中小萍和小红喜欢同一种体育运动的有种， ∴小萍和小红喜欢同一种体育运动的概率为， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于y轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标； （3）点P为y轴上一点，当最小时，求点P的坐标． 【答案】（1）如图，，，关于轴对称的点的坐标得到的坐标，，，然后描点，连线，即为所求； （2），，的坐标都乘以得到的坐标，，，然后描点，连线，即为所求，． （3） 连接，交轴于点，连接，此时的值最小． 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、轴对称变换，勾股定理，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． （1）根据关于轴对称的点的坐标得到的坐标，，，然后描点，连接即可； （2）把、、的坐标都乘以得到的坐标，，，然后描点，连接即可； （3）由两点之间线段最短可知，连接，交轴于点，点即为所求，再根据待定系数法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线的解析式为，则有， 解得， ∴， 当时，， ∴． 19. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点C作轴且交反比例函数于点D，连接，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而可求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，进而得到点D纵坐标，利用反比例函数解析式求出点D坐标，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方或二者交点处时的自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：反比例函数过点， ∴ ， 反比例函数的解析式为：； 点在反比例函数的图象上， ∴ ， ． 点，在直线的图象上， ， ， 一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ， 轴， ∴点D的纵坐标为4， 在中，当时，， ， ； 【小问3详解】 解：由函数图象可得，不等式的解集为或． 20. 某商店6月份的利润是3600元，要使8月份的利润达到4900元，平均每月利润增长的百分率是多少？ 【答案】平均每月利润增长的百分率约是 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，核心公式为“初始量最终量”，其中为增长次数． 【详解】解：设平均每月利润增长的百分率为． 根据题意，列方程得：， 开平方，得：， ∴(舍去负值)． 答：平均每月利润增长的百分率约是． 21. 为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 自制直角三角形模具，皮尺 皮尺，测角仪 测量示意图 测量步骤 甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上． 乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用 测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角． 说明 A，B，C，D，E，R均在同一平面内，测角仪高度忽略不计 测量数据 请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解直角三角形的应用，理解题意，弄清线段间的数量关系，直角三角形中的边角关系是解题的关键． 方案一：可利用，利用相似三角形的性质求出，进而求出； 方案二：在中求出，在中求出，进而求出． 【详解】解：方案一：由题意，， ， ， 解得 ， 答：教学楼的高约为； 方案二：由题意，可知， 在中， ， ， 在中， ， ， ， 答：教学楼的高约为； 22. 如图，在正方形中，点P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，交于点F． （1）证明：； （2）如图，把正方形改为菱形，其它条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）线段与线段的数量关系是：， 理由如下： 在菱形中，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证出，得，由于，得； （2）先证，得，，由，得到，，而可得，再结合三角形内角和定理可得，为等边三角形，即可得到结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记菱形的性质确定出是解题的关键． 23. 掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系，如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1） （2）该女生在此项考试中没有得满分，理由见解答 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法； （1）设y关于x的函数表达式为，把代入上式得，即可求解； （2）令，解方程，可求出该女生的成绩，即可求解； 理解和的实际意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数表达式为， 把代入上式得， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：该女生在此项考试中没有得满分． 理由：令， 即， 解得，（舍去）， ， ∴该女生在此项考试中没有得满分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $