6.8 余角和补角 题型专练 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

浙教版（2024）七年级上册 6.8 余角和补角 题型专练 【题型1】求一个角的余角 【典例】已知∠α＝25°30′，则它的余角为(　　) A. 25°30′ B. 64°30′ C. 74°30′ D. 154°30′ 【举一反三1】一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 如图，直线AB，CD相交于点O，过点O引射线OM和ON，∠BOM＝∠DON＝90°。 【举一反三2】(1)如图1，若∠COM＝35°，则∠BON的度数为　 　°。  (2)如图1，请直接写出图中所有互余的角。 (3)如图2，若射线OE在∠MOB的内部，且∠MON－∠BOE＝45°，请比较∠MOE与∠DOE的大小，并说明理由。                 图1　                    　 　图2 【举一反三3】已知：α＝60°，则α的余角是 　   　°． 如图，直线AB，CD，MN都经过同一点O，∠DOB＝60°，∠BOF＝90°，OM平分∠DOF。 【举一反三4】(1)求∠MOF的度数。 (2)求∠AON的度数。 (3)请直接写出图中所有与∠AON互余的角。 将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是(　　) 【举一反三5】 【题型2】求一个角的补角 【典例】下列关于余角、补角的说法，正确的是(　　) A. 若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余 B. 若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互补 C. 若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余 D. 若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互补 【举一反三1】下列说法正确的是(　　) A.一个角的补角大于这个角 B.小于平角的角的补角是钝角 C.互余的两个角可以不共顶点 D.若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互为余角 【举一反三2】∠1是∠2的补角，∠2是∠3的余角，若∠1=125°，则∠3=　　　　.  【举一反三3】若∠A＝34°，则∠A的补角为　     　． 【举一反三4】将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O. ①如图1，若∠AOD=35°，求∠BOC的度数； ②若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转.如图2.试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由. 【题型3】余角和补角的性质 如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOB＝36°，则∠COD的度数为(　　) 【典例】 A.36° B.44° C.54° D.63° 【举一反三1】将一副三角尺按不同的方式摆放，下列摆放方式中，∠α与∠β互余的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图所示，AB是一条直线，若∠1＝∠2，则∠3＝∠4，其理由是(　　) A. 内错角相等 B. 等角的补角相等 C. 同角的补角相等 D. 等量代换 【举一反三3】将一幅三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起.可知∠1=∠3，理由是　　　　　　　　　　　　.  【举一反三4】已知∠A+∠B＝90°，∠A+∠C＝180°，∠B与∠C的和等于周角的，求∠A的度数． 【题型4】与余角、补角有关的计算 已知一个角比它的余角的4倍还多15°，则这个角的补角的度数为(　　) A.33° B.75° C.105° D.147° 【举一反三1】如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是(　　) A. ∠1=∠3 B. ∠1=180°-∠3 C. ∠1=90°+∠3 D. 以上都不对 【举一反三2】如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，∠2与∠3的和等于周角的，那么∠2的度数为____°. 如图1，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC＝∠AOB，OD平分∠AOC。 【举一反三3】(1)分别求∠AOB的补角和∠AOC的度数。 (2)现有射线OE，使得∠BOE＝30°。 ①小明在图2中补全了射线OE，根据小明所补的图，求∠DOE的度数。 ②小静说：“我觉得小明所想的情况并不完整，∠DOE的度数还有其他的结果。”请你判断小静说的是否正确。若正确，请求出∠DOE度数的其他结果；若不正确，请说明理由。 　　 【举一反三4】已知O是直线AB上一点，在同一平面内直线AB的同侧有∠AOD=∠DOB=∠COE=90°. ①请画出题设的图形，并分别写出∠COD的余角，∠AOC的补角； ②写出图中相等的锐角，并说明理由. 【题型5】方位角的表示 如图，下列说法中，错误的是(　　) A.射线OA的方向是正西方向 B.射线OB的方向是东北方向 C.射线OC的方向是南偏东60° D.【典例】射线OD的方向是南偏西55° 【举一反三1】在一幅地图中，点A的位置如图所示，下列说法正确的是(　　) A. 点A在点O的30°方向，距点O10 km处 B. 点A在点O北偏东30°方向，距点O10 km处 C. 点A在点O北偏东60°方向，距点O10 km处 D. 点O在点A北偏东60°方向，距点A10 km处 【举一反三2】如图，∠AOC＝140°，则射线OA的方向是　             　． 【举一反三3】如图，OA的方向是北偏东15°，∠WOB＝50°。若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是　 　。 【题型6】与方位角有关的计算题 【典例】在同一平面上，若∠BOA＝60.3°，∠BOC＝20°30′，则∠AOC的度数是(　　) A. 80.6° B. 40° C. 80.8°或39.8° D. 80.6°或40° 【举一反三1】如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东30°30'方向，轮船B在灯塔P的南偏东70°20'方向，则∠APB的度数是(　　) A. 60°30' B. 18°40' C. 79°10' D. 80° 10' 【举一反三2】如图，甲从O处出发沿北偏东15°32'向走向A处，乙从O处出发沿南偏西55°28'方向走到B处，则∠BOA的度数是 　                  　． 如图，OB的方向是南偏东60°，OA，OC分别平分∠NOB和∠NOE，求∠AOC的度数。 【举一反三3】 浙教版（2024）七年级上册 6.8 余角和补角 题型专练（参考答案） 【题型1】求一个角的余角 【典例】已知∠α＝25°30′，则它的余角为(　　) A. 25°30′ B. 64°30′ C. 74°30′ D. 154°30′ 【答案】B 【解析】由题意得：∠α＝25°30′， 故其余角为(90°﹣∠α)＝64°30′． 故选：B． 【举一反三1】一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】A 【解析】设这个角是x，则90°-x=2x，解得x=30°. 如图，直线AB，CD相交于点O，过点O引射线OM和ON，∠BOM＝∠DON＝90°。 【举一反三2】(1)如图1，若∠COM＝35°，则∠BON的度数为　 　°。  (2)如图1，请直接写出图中所有互余的角。 (3)如图2，若射线OE在∠MOB的内部，且∠MON－∠BOE＝45°，请比较∠MOE与∠DOE的大小，并说明理由。                 图1　                    　 　图2 【答案】（1）145 解：(2)因为∠BOM＝90°， 所以∠AOM＝∠COM＋∠AOC＝180°－∠BOM＝90°，∠COM＋∠BOD＝180°－∠BOM＝90°， 所以∠COM和∠AOC互余，∠COM和∠BOD互余。 因为∠DON＝90°， 所以∠AON＋∠BOD＝180°－∠DON＝90°，∠NOC＝∠AON＋∠AOC＝180°－∠DON＝90°， 所以∠AON和∠BOD互余，∠AON和∠AOC互余。 综上所述，互余的角有∠COM和∠AOC，∠COM和∠BOD，∠AON和∠BOD，∠AON和∠AOC。 (3)∠MOE＝∠DOE。理由如下： 由(2)知∠COM＝∠AON。 设∠COM＝x，则∠AON＝x，∠AOC＝90°－x＝∠BOD，∠MON＝90°＋x。 因为∠MON－∠BOE＝45°， 所以(90°＋x)－∠BOE＝45°， 所以∠BOE＝x，所以∠MOE＝90°－x，∠DOE＝∠DOB＋∠BOE＝90°－x＋x＝90°－x， 所以∠MOE＝∠DOE。 【解析】(1)因为∠BOM＝90°，∠COM＝35°， 所以∠BOD＝180°－∠BOM－∠COM＝55°。 又因为∠DON＝90°， 所以∠BON＝∠DON＋∠BOD＝90°＋55°＝145°。 【举一反三3】已知：α＝60°，则α的余角是 　   　°． 【答案】30 【解析】90°﹣60°＝30°， 故答案为：30． 如图，直线AB，CD，MN都经过同一点O，∠DOB＝60°，∠BOF＝90°，OM平分∠DOF。 【举一反三4】(1)求∠MOF的度数。 (2)求∠AON的度数。 (3)请直接写出图中所有与∠AON互余的角。 【答案】解：(1)因为∠DOB＝60°，∠BOF＝90°， 所以∠DOF＝∠BOF－∠DOB＝90°－60°＝30°。 又因为OM平分∠DOF， 所以∠MOF＝∠MOD＝∠DOF＝15°。 (2)因为∠BOM＝∠MOD＋∠DOB＝15°＋60°＝75°， 所以∠AON＝180°－∠AOM＝∠BOM＝75°。 (3)与∠AON互余的角有∠CON，∠MOD，∠MOF。 将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是(　　) 【举一反三5】 【答案】C 【题型2】求一个角的补角 【典例】下列关于余角、补角的说法，正确的是(　　) A. 若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余 B. 若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互补 C. 若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余 D. 若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互补 【答案】A 【解析】若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余，故A选项正确；B选项错误；C选项中是3个角，不符合互余的定义，故C选项错误；D选项中是3个角，不符合互补的定义，故D选项错误． 【举一反三1】下列说法正确的是(　　) A.一个角的补角大于这个角 B.小于平角的角的补角是钝角 C.互余的两个角可以不共顶点 D.若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互为余角 【答案】C 【解析】A项，钝角的补角是锐角，小于这个角，故本选项错误； B项，小于平角的角可以是钝角、直角、锐角，所以小于平角的角的补角可以是钝角、直角、锐角，故本选项错误； C项正确； D项，互为余角是两个角的关系，故本选项错误. 【举一反三2】∠1是∠2的补角，∠2是∠3的余角，若∠1=125°，则∠3=　　　　.  【答案】35° 【解析】因为∠1是∠2的补角， 所以∠1+∠2=180°， 因为∠1=125°，所以∠2=55°， 因为∠2是∠3的余角， 所以∠2+∠3=90°，所以∠3=35°. 【举一反三3】若∠A＝34°，则∠A的补角为　     　． 【答案】146° 【解析】∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°﹣34°＝146°． 故答案为：146°． 【举一反三4】将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O. ①如图1，若∠AOD=35°，求∠BOC的度数； ②若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转.如图2.试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由. 【答案】解　①因为∠AOB=90°，∠AOD=35°， 所以∠BOD=90°-35°=55°， 因为∠COD=90°， 所以∠BOC=90°-55°=35°. ②∠AOC+∠BOD=180°，理由： 如题图1时， 因为∠AOB=∠COD=90°， 所以∠AOC+∠BOD =∠AOB+∠BOC+∠BOD =∠AOB+∠COD =90°+90° =180°； 如题图2时， ∠AOC+∠BOD=360°-90°-90°=180°， 综上可知，∠AOC+∠BOD=180°. 【题型3】余角和补角的性质 如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOB＝36°，则∠COD的度数为(　　) 【典例】 A.36° B.44° C.54° D.63° 【答案】A 【举一反三1】将一副三角尺按不同的方式摆放，下列摆放方式中，∠α与∠β互余的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【举一反三2】如图所示，AB是一条直线，若∠1＝∠2，则∠3＝∠4，其理由是(　　) A. 内错角相等 B. 等角的补角相等 C. 同角的补角相等 D. 等量代换 【答案】B 【解析】∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4(等角的补角相等)． 故选：B． 【举一反三3】将一幅三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起.可知∠1=∠3，理由是　　　　　　　　　　　　.  【答案】同角的余角相等 【解析】根据同角的余角相等可知， ∠ACD-∠2=∠ECB-∠2，即∠1=∠3. 【举一反三4】已知∠A+∠B＝90°，∠A+∠C＝180°，∠B与∠C的和等于周角的，求∠A的度数． 【答案】解 ∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠C＝180°，∠B与∠C的和等于周角的， ∴ 解得，∠A＝75°，∠B＝15°，∠C＝105°， 即∠A的度数是75°． 【题型4】与余角、补角有关的计算 已知一个角比它的余角的4倍还多15°，则这个角的补角的度数为(　　) A.33° B.75° C.105° D.147° 【答案】C 【解析】 设这个角的度数为x。 由题意，得x＝4(90°－x)＋15°， 解得x＝75°， 所以这个角的补角为180°－x＝180°－75°＝105°。 【举一反三1】如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是(　　) A. ∠1=∠3 B. ∠1=180°-∠3 C. ∠1=90°+∠3 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】∵∠1+∠2=180°，∴∠1=180°-∠2，又∵∠2+∠3=90°，∴∠3=90°-∠2，∴∠1-∠3=90°，即∠1=90°+∠3．故选C． 【举一反三2】如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，∠2与∠3的和等于周角的，那么∠2的度数为____°. 【答案】 15 【解析】 设∠1＝x°，则∠2＝90°－x°，∠3＝180°－x°.由题意，得 90°－x°＋180°－x°＝×360°， 解得x＝75，所以∠2＝90°－75°＝15°. 如图1，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC＝∠AOB，OD平分∠AOC。 【举一反三3】(1)分别求∠AOB的补角和∠AOC的度数。 (2)现有射线OE，使得∠BOE＝30°。 ①小明在图2中补全了射线OE，根据小明所补的图，求∠DOE的度数。 ②小静说：“我觉得小明所想的情况并不完整，∠DOE的度数还有其他的结果。”请你判断小静说的是否正确。若正确，请求出∠DOE度数的其他结果；若不正确，请说明理由。 　　 【答案】解：(1)因为∠AOB＝120°， 所以∠AOB的补角为180°－120°＝60°， ∠AOC＝∠AOB＝×120°＝80°。 (2)①因为OD平分∠AOC，∠AOC＝80°， 所以∠AOD＝×80°＝40°， 所以∠BOD＝∠AOB－∠AOD＝80°， 所以∠DOE＝∠BOD＋∠BOE＝110°。 ②小静的说法正确。 当射线OE在射线OB的上方时，如答图。   由①，得∠BOD＝80°， 所以∠DOE＝∠BOD－∠BOE＝50°。 【举一反三4】已知O是直线AB上一点，在同一平面内直线AB的同侧有∠AOD=∠DOB=∠COE=90°. ①请画出题设的图形，并分别写出∠COD的余角，∠AOC的补角； ②写出图中相等的锐角，并说明理由. 【答案】解　①如图， ∠COD的余角为∠AOC，∠DOE；∠AOC的补角为∠BOC. ②图中相等的锐角有∠AOC=∠DOE；∠BOE=∠COD. 理由如下： 因为∠AOD=∠DOB=∠COE=90°， 所以∠AOC+∠COD=90°，∠COD+∠DOE=90°， 所以∠AOC=∠DOE； 因为∠BOE+∠DOE=90°，∠COD+∠DOE=90°， 所以∠BOE=∠COD. 【题型5】方位角的表示 如图，下列说法中，错误的是(　　) A.射线OA的方向是正西方向 B.射线OB的方向是东北方向 C.射线OC的方向是南偏东60° D.【典例】射线OD的方向是南偏西55° 【答案】C 【举一反三1】在一幅地图中，点A的位置如图所示，下列说法正确的是(　　) A. 点A在点O的30°方向，距点O10 km处 B. 点A在点O北偏东30°方向，距点O10 km处 C. 点A在点O北偏东60°方向，距点O10 km处 D. 点O在点A北偏东60°方向，距点A10 km处 【答案】C 【解析】由题意得：90°﹣30°＝60°，2×5＝10(km)， ∴点A在点O北偏东60°方向，距点O10 km处． 故选：C． 【举一反三2】如图，∠AOC＝140°，则射线OA的方向是　             　． 【答案】北偏东40° 【解析】已知∠AOC＝140°， ∴∠AOB＝180°﹣∠AOC＝40°， 由方位角的概念可知， 射线OA的方向是北偏东40°． 故答案为：北偏东40°． 【举一反三3】如图，OA的方向是北偏东15°，∠WOB＝50°。若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是　 　。 【答案】北偏东70° 【解析】因为OA的方向是北偏东15°，易知OB的方向是北偏西40°， 所以∠AOB＝40°＋15°＝55°。 又因为∠AOC＝∠AOB， 所以15°＋55°＝70°， 所以OC的方向是北偏东70°。 【题型6】与方位角有关的计算题 【典例】在同一平面上，若∠BOA＝60.3°，∠BOC＝20°30′，则∠AOC的度数是(　　) A. 80.6° B. 40° C. 80.8°或39.8° D. 80.6°或40° 【答案】C 【解析】∠AOC＝∠BOA+∠BOC＝60.3°+20°30′＝80.8°， ∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC＝60.3°﹣20°30′＝39.8°， 故选：C． 【举一反三1】如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东30°30'方向，轮船B在灯塔P的南偏东70°20'方向，则∠APB的度数是(　　) A. 60°30' B. 18°40' C. 79°10' D. 80° 10' 【答案】C 【解析】如图： 由题意得：∠APC＝30°30′，∠DPB＝70°20'， ∴∠APB＝180°﹣∠APC﹣∠DPB ＝179°60′﹣(30°30′+70°20′) ＝179°60′﹣100°50′ ＝79°10′， 故选：C． 【举一反三2】如图，甲从O处出发沿北偏东15°32'向走向A处，乙从O处出发沿南偏西55°28'方向走到B处，则∠BOA的度数是 　                  　． 【答案】140°04' 【解析】由题意，得：∠1＝15°32'，∠3＝90°﹣55°28'＝34°32'， ∴∠BOA＝∠1+∠2+∠3＝15°32'+90°+34°32'＝140°04'； 故答案为：140°04'． 如图，OB的方向是南偏东60°，OA，OC分别平分∠NOB和∠NOE，求∠AOC的度数。 【举一反三3】 【答案】解：因为OB的方向是南偏东60°， 所以∠SOB＝60°， 所以∠NOB＝180°－∠SOB＝120°。 又因为OA平分∠NOB， 所以∠NOA＝∠NOB＝60°。 因为OC平分∠NOE， 所以∠NOC＝∠NOE＝45°， 所以∠AOC＝∠NOA－∠NOC＝15°。 学科网（北京）股份有限公司 $