6.8余角和补角培优测试 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** “余角和补角 培优测试”通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖从概念理解到动态应用的完整路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|余角补角概念、简单性质应用|选择1-5题结合三角板摆放考查互余互补判定，填空11-13题直接应用角平分线性质| |提升层|角平分线与余补角综合、多结论辨析|选择6-10题涉及多角关系推理，填空14-16题判断互余互补结论正确性| |拓展层|动态旋转、分类讨论及综合计算|解答20-24题通过三角板旋转、射线运动探究角的数量关系，培养空间观念与创新意识|

6.8余角和补角 培优测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．将一副三角板按不同位置摆放，下图中与互余的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，若∠2＝25°，∠3＝35°，则∠1的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 3．如图，点为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③与互补；④．其中正确的有 （　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，O是直线上的一点，是一条射线，平分，在内，且，．下列四个结论：①；②射线平分；③图中与互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其中结论正确的序号有（　　） A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 5．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，C，D在线段上，下列四个说法： ①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条； ②图中有3对互为补角的角； ③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°； ④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25 其中正确说法的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（　　） A． B． C． D． 10．如图 ，垂足为D， ，下列结论正确的有（　　） ⑴ ；（2） ；（3） 与 互余；（4） 与 互补． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题4分，共24分） 11．如图，O为直线上一点，、分别是、的平分线，则的余角是　 　． 12．下列说法正确的有 　 　．（请将符合题意说法的序号填在横线上） ⑴锐角的补角一定是钝角； ⑵一个角的补角一定大于这个角； ⑶若两个角是同一个角的补角，则它们相等； ⑷锐角和钝角互补． 13．如图，已知点O在直线AB上， ，则 　 　. 14．如图，已知点 是射线 上一点，过 作 交射线 于点 ， 交射线 于点 ，给出下列结论：① 是 的余角；②图中互余的角共有3对；③ 的补角只有 ；④与 互补的角共有3个，其中正确结论有　 　（把你认为正确的结论的序号都填上）. 15．如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论：①∠DOE＝90°；②∠COE与∠AOE互补；③若OC平分∠BOD，则∠AOE＝150°；④∠BOE的余角可表示为．其中正确的是　 　．（只填序号） 16．下列说法：①点C是线段AB的中点，则 ；②平面上有4个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共可以画4条直线；③锐角和钝角定互补；④ ，其中正确结论的序号是　 　. 三、解答题（共8题，共66分） 17．已知点、、在同一条直线上，． （1）如图1，若，，则　 　． （2）如图2，若，，平分，求． （3）如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，写出的度数（用含的式子表示）． 18．如图，将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放． （1）在　 　的摆放方式中∠与∠互余；在　 　的摆放方式中∠与∠互补． （2）在哪种摆放方式中∠与∠相等？请说明理由． 19．如图，是直线上的一点，，、分别是、的平分线． （1）图中所有与互余的角有　 　； （2）图中与互补的角有　 　； （3）求的度数． 20．如图①，将一副常规直角三角尺的直角顶点叠放在一起，，．解答下列问题． （1）若∠DCE＝35°24'，则∠ACB＝　 　；若∠ACB＝115°，则∠DCE＝　 　； （2）当∠DCE＝α时，求∠ACB的度数，并直接写出∠DCE与∠ACB的关系； （3）在图①的基础上作射线BC，射线EC，射线DC，如图②，则与∠ECB互补的角有　 　个． 21．如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足为点O． （1）写出∠AOF的一个余角和一个补角． （2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度数． （3）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由． 22．如图，两条直线相交于点O，且，射线（与射线重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为每秒，射线（与射线重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为每秒，两射线，同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指不大于平角的角）. （1）图中一定有　 　个直角；当，的度数为　 　；当，的度数为　 　； （2）当时，若，试求出t的值； （3）当时，探究的值，在t满足怎样的条件时是定值，在t满足怎样的条件时不是定值？ 23．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方. （1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC，此时∠AOM=　 　度；∠BON=　 　度. （2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由. （3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是　 　秒. 24．已知：是直线上的一点，是直角，平分钝角． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，平分，求的度数； （3）当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】余角、补角及其性质 【解析】【解答】解：选项A：根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°， ∴∠α+∠β=90°， 即∠α与∠β互余；故A符合题意； 选项B：如图， 故B不符合题意； 选项C：如图， 故C不符合题意； 选项D： 故D不符合题意； 故答案为：A 【分析】根据余角的定义逐项判断即可。 2．【答案】B 【知识点】余角、补角及其性质 【解析】【解答】解：如图，如下对图形进行标注， ∵∠AOB＝∠COD＝90°，即∠2+∠BOC=∠BOC+∠4=90° ∴∠4＝∠2＝25°， ∴∠1＝∠EOF−∠3−∠4＝90°−25°−35°＝30°. 故答案为：B. 【分析】根据同角的余角相等得∠4＝∠2＝25°，进而根据∠1＝∠EOF−∠3−∠4代入计算即可得出答案. 3．【答案】B 【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：解：①，平分平分， ∴， ， ∴， ∴与互余，故符合题意；②∵平分平分， ∴， ∴， ∴与互补，故符合题意； ③， ∵， ∴， 不互补，故不符合题意； ④， ∴，故符合题意， 故答案为：B． 【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果，再判断即可. 4．【答案】D 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：平分， ， ， ， 是一条直线， ， ， ， ，故①符合题意； ， ， ， ， ∴射线平分，故②符合题意； ，，， ，， ∴图中与互余的角有2个，故③符合题意； ， ， ，，，， ，，，，， ∴图中互补的角有6对，故④符合题意， 正确的有①②③④， 故答案为：D． 【分析】利用已知先得出∠AOD的度数，再计算∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再逐一分析即可. 5．【答案】B 【知识点】余角、补角及其性质 【解析】【解答】解：和互补， ， ∵，故①符合题意； 又，②也符合题意； ，故③不符合题意； ，所以④符合题意． 综上可知，①②④均符合题意． 故答案为：B． 【分析】由于互余两角之和为180°，互余两角之和为90°，再将各个式子中化为含有∠α+∠β的式子，再将∠α+∠β=180°代入求值，即可判断. 6．【答案】B 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质 【解析】【解答】解：如图所示，延长至点，得是平角， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】延长至点，得是平角，根据余角及性质、平角的定义及角的和差关系进行求解即可. 7．【答案】C 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质 【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， 而∠AOF=∠DOF， ∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF， 即∠COE=∠BOE，所以①符合题意； ∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°， 所以②符合题意； ∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD， 而，所以③不符合题意； ∵E、O、F三点共线， ∴∠BOE+∠BOF=180°， ∵∠COE=∠BOE， ∴∠COE+∠BOF=180°，所以④符合题意． 所以，正确的结论有3个． 故答案为：C． 【分析】由∠AOB=∠COD=90°，利用余角的性质可得∠AOC=∠BOD，结合∠AOF=∠DOF，即可判断①正确；由于∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，可判断②正确；由于∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而，可判断③错误；由平角的定义可得∠BOE+∠BOF=180°，结合∠COE=∠BOE，可判断④正确. 8．【答案】C 【知识点】直线、射线、线段；角的概念及表示；余角、补角及其性质；线段的长短比较 【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段共6条，故①正确； ②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②错误； ③由，根据图形可以求出 ，故③正确； ④当F在线段上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为，④正确. 故答案为：C. 【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④当F在线段CD上最小，当F和E重合时最大，计算得出答案即可． 9．【答案】D 【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵ 与 互补， ∴ ， ∵ ， 分别为 ， 的平分线， ①当点B、O、C三点共线时， 则 ； ∵ ， ∴点B、O、C三点共线时，不符合题意； ②当点B、O、C三点不共线时， ，如下图： 则 ， ∵ ， ∴ ； ③当点B、O、C三点不共线时， ，如下如： 则 ， ∵ ， ∴ ； 综上可得： . 故答案为：D. 【分析】此题分三种情况讨论：①当点B、O、C三点共线时，②当点B、O、C三点不共线时， 且∠AOC＜∠AOB，③当点B、O、C三点不共线时，且∠AOC＞∠AOB，分别结合补角的定义及角平分线的定义，由角的和差即可得出答案. 10．【答案】C 【知识点】余角、补角及其性质 【解析】【解答】∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故（1）符合题意； 同理可得 ，故（2）符合题意； ∵ ， ∴ 与 互余，故（3）符合题意； ∵ ＜ ， ∴ ＜ ， ∴ 与 不互补，故（4）不符合题意； 故答案选C． 【分析】根据等角的余角相等及平角等于180°，进行作答即可。 11．【答案】、 【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵、分别是、的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴的余角是、． 故答案为：、． 【分析】根据角平分线的定义及余角的定义求解即可。 12．【答案】（1）（3） 【知识点】角的概念及表示；余角、补角及其性质 【解析】【解答】解：（1）锐角的补角一定是钝角，故（1）符合题意； （2）一个角的补角不一定大于这个角； ∵90°角的补角的度数是90°， ∴说一个角的补角一定大于这个角不符合题意，故（2）不符合题意； （3）若两个角是同一个角的补角，则它们相等；故（3）符合题意； （4）锐角和钝角不一定互补， ∵如∠A=10°，∠B=100°，当两角不互补， ∴说锐角和钝角互补不符合题意，故（3）不符合题意； 故答案为：（1）（3）． 【分析】分别利用锐角、钝角、补角的定义或举特例进行逐一判断即可. 13．【答案】30° 【知识点】余角、补角及其性质 【解析】【解答】解：∵∠AOC与∠BOC互为邻补角， ∴∠AOC＋∠BOC＝180°，① 又∵∠AOC＝5∠BOC，② 把②代入①，可得5∠BOC＋∠BOC＝180°， 解得∠BOC＝30°. 故答案为：30°. 【分析】由∠AOC与∠BOC互为邻补角得∠AOC＋∠BOC＝180°，再将∠AOC＝5∠BOC代入，得5∠BOC＋∠BOC＝180°，即可解得∠BOC度数. 14．【答案】①④ 【知识点】余角、补角及其性质 【解析】【解答】解： CA⊥BE ， ∠1是∠B的余角，故①符合题意； ， ∴ ∠1与∠CAD互为余角，∠B与∠BAD互为余角， CA⊥BE ， ∴ ∠CAD与∠BAD互为余角， 所以图中互余的角共有4对，故②不符合题意； ∠1与∠ACF互补； ∵∠1+∠DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠1=∠BAD， ∵∠BAD+∠DAE=180°， ∴∠1+∠DAE=180°， ∴∠1与∠DAE互补， 故③不符合题意； CA⊥BE ，AD⊥BF 所以与∠ADB互补的角有∠ADC、∠CAB、∠CAE共3个，故④符合题意； 所以正确的结论有：①④ 故答案为：①④. 【分析】根据垂直定义可得∠BAC=90°，∠ADC=∠ADB=∠CAE=90°，根据互余关系可判断①、②，再根据互补的性质判断③、④即可. 15．【答案】①②③④ 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，即∠COE与∠AOE互补，故②符合题意； 若OC平分∠BOD，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴∠BOE的余角可表示为，故④符合题意， 故答案为：①②③④ 【分析】根据角平分线的定义，余角、补角的定义对每个结论一一判断即可。 16．【答案】①④ 【知识点】直线、射线、线段；常用角的度量单位及换算；余角、补角及其性质；线段的中点 【解析】【解答】解：①点C是线段AB的中点，则 ，故①正确； ②平面上有4个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共可以画6条直线，故②错误； ③只有和为180°的两个角才互为补角，故锐角和钝角不一定互补，故③错误； ④ ，故④正确. 故答案为：①④. 【分析】根据线段中点的性质对 ① 作判断；根据直线的条数公式：判断 ② ，任举一个反例即可判断③，根据角度的换算关系计算可以判断 ④ . 17．【答案】（1）20° （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①当在的上方时，如图， ∴与互余，也与互余， ∴， ∴， ②当在的下方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴， ∴， 综上所述，的度数为：或． 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质 【解析】【解答】（1）解：∵，， ∴ ， 故答案为：20°； 【分析】（1）利用角的运算求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可； （3）分类讨论：①当在的上方时，②当在的下方时，再分别画出图象并求解即可。 18．【答案】（1）甲；丁 （2）解：在乙、丙摆放方式中两角相等，理由如下： 在乙中：∵∠＝90°－∠1，∠＝90°－∠1， ∴∠＝∠； 在丙中：∵∠＝180°－45°＝135°，∠＝180°－45°＝135° ∴∠＝∠． 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质 【解析】【解答】（1）解：在甲图中， 根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°， ∴∠α+∠β=90°， 即∠α与∠β互余； 在丁图中， 根据图形可知∠α与∠β是邻补角， ∴∠α+∠β=180°； 故答案为：甲，丁 【分析】（1）根据余角和补角的性质及计算方法求解即可； （2）利用等角的余角，等角的补角相等的性质求解即可。 19．【答案】（1）， （2） （3）解：是的平分线，，，，是的角平分线，． 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：（1）、分别是、的平分线．，，，，图中所有与互余的角有，，故答案为：，； （2），，，图中与互补的角有，故答案为：； 【分析】（1）利用余角的定义求解即可； （2）利用补角的性质求解即可； （3）利用角平分线的性质求出，利用邻补角的性质求出∠AOC的度数，最后利用角平分线的性质可得。 20．【答案】（1）； （2）解：， ， ； ，即与互补； （3）5 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质 【解析】【解答】(1)解：， . ， ， ， ， 故答案为：；； （3）解：由图可知， ， 与互补的角有5个； 故答案为：5． 【分析】（1）根据三角板中的特殊角，以及互余的意义可求出答案； （2）方法同（1）即可得出结论； （3）利用直角的意义互补的定义即可得出答案。 21．【答案】（1）解：∵OC⊥CD， ∴∠DOF=90°， ∴∠AOF+∠AOD=90°， 又∵∠BOC=∠AOD， ∴∠AOF+∠BOC=90°， ∵OC平分∠BOE， ∴∠COE=∠BOC， ∴∠AOF+∠COE=90°； ∴∠AOF的余角是，∠COE，∠BOC，∠AOD； ∵∠AOF+∠BOF=180°， ∴∠AOF的补角是∠BOF （2）解：∵OC平分∠BOE，∠BOE=60°， ∴∠BOC=30°， 又∵∠AOD=∠BOC， ∴∠AOD=30° （3）解：∠AOF=∠EOF，理由如下： 由（1）可得∠AOD=∠BOC=∠COE， ∵OF⊥OC， ∴∠DOF=∠COF=90°， ∴∠AOD+∠AOF=∠EOF+∠COE=90°， ∴∠AOF=∠EOF 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质 【解析】【分析】（1）先求出 ∠AOF+∠BOC=90°， 再求出 ∠AOF+∠COE=90° ，最后求解即可； （2）先求出 ∠BOC=30°， 再根据 ∠AOD=∠BOC求解即可； （3）根据题意求出∠DOF=∠COF=90°， 再求出 ∠AOD+∠AOF=90°即可作答。 22．【答案】（1）4；； （2）解：当与重合时，， 当与重合时，， ∴当时，， 由，得， 解得； 当时，， 由，得， 解得， 综上，当时，t的值为2或； （3）解：当时，， ∴， 解得， 当时，， ， ∴ ； 当时，， ， ∴ ， 综上，当时，的值是定值5；当时，的值不是定值. 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质 【解析】【解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴图中共有4直角； 由题意得：， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 故答案为：4，，； 【分析】（1）根据两直线AB、CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，可得图中一定有4个直角；当t=2时，根据射线OM、ON的位置，可得∠MON的度数，当t=4时，根据射线OM、ON的位置，可得∠MON的度数； （2）分两种情况： ①当时 ， ②当时 ，根据，分别列出方程并求解即可； （3）先判断当∠MON为平角时t值，然后分两种情况： 当时，当时 ，分别计算的值，根据结果作出判断即可. 23．【答案】（1）120；30 （2）解：如图3， ， ∠AOM-∠NOC=30°， ∵∠BOC=120°， ∴∠A0C=60°， ∵∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC， ∴∠AOM-∠NOC=30°. （3）6或24 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念 【解析】【解答】（1）∵OM恰好平分∠BOC， ∴∠BOM=120°÷2=60°， ∴∠AOM=180°-60°=120°. ∠BON=90°-60°=30°. 故答案为：120；30； （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒， ∵∠BOC=120°， ∴∠AOC=60°， ∴∠BON=30°， ∴旋转60°或240°时，ON平分∠AOC， ∵10x=60或10x=240， ∴x=6或x=24， 即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒. 故答案为：6或24. 【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BOM=∠BOC=60°，利用邻补角的定义可得∠AOM=120°，根据∠BON=∠MON-∠BOM即可求解； （2） 由∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC即可求解； （3）由ON平分∠AOC，所以分两种情况：一是ON在OB的下方，二是ON在∠AOC的内部，根据ON的初始位置和旋转后的位置计算出旋转的度数，再除以10即可求解. 24．【答案】（1）解：∵， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①时，由题意得， ∴ ， ∴； ②时， 由题意得， ∴ ， ∴． 综上，时，时，． 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可得∠BOC=180°-∠AOC=140°，由垂直的定义可得∠COD=90°，从而求出∠BOD=∠BOC-∠COD=50°，利用角平分线的定义可得，根据∠DOE=∠BOE-∠BOD即可求解； （2）由角平分线的定义可得，从而得出 ，继而得解； （3） 分两种情况：①时， ②时， 据此分别画出图形并求解即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $