黑龙江省佳木斯市第二中学2026-2027学年高三上学期第二次调研考试数学试题

高三学年第二次调研考试 数学试卷 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1．已知集合，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 3．已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（   ） A． B． C． D． 4．=，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．若向量，的夹角为120°，，则|（    ） A． B． C． D．7 7．在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，角的对边分别为．已知，且的内角平分线，则面积的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量在上的投影向量为 D．若，则向量与的夹角为锐角 11．若奇函数在上可导，当时，满足，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 三、填空题(每小题5分，共15分) 12．已知正数a，b是关于x的方程的两根，则的最小值为______. 13．已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数___________． 14．已知正方形的边长为2，E是的中点，F是线段上的点，则的最大值为________． 四、解答题(共5个题，满分77分) 15．(本题满分13分)已知函数，其中. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并给出证明； (3)若，求的取值范围. 16．(本题满分15分)在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 17．(本题满分15分)已知向量，向量，函数． 当时，求函数的最小正周期和单调递减区间； 若函数在区间的最大值为6，求函数在的最小值． 18．(本题满分17分)已知函数 （1）求的极小值； （2）已知函数，其中为常数且，若函数在区间上为单调增函数，求实数的取值范围. 19．(本题满分17分)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线斜率； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【提示：令】 答案第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026年10月17日数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B D C C D ACD AB 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】先化简集合,求出即得解. 【详解】解： 所以，所以的元素个数为2. 故选：B. 2．A 【分析】利用复数的乘法运算化简，可得的虚部. 【详解】解：，则的虚部为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题计算的关键是复数的运算法则.本题考查了复数的计算，属于简单题. 3．C 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】令，由，所以， 所以是偶函数，的图象关于轴对称， 所以，的图象关于轴对称， 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数.又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由，可得或， 结合图象可得或， 所以的解集是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是得出函数关于对称，以及根据函数的单调性的定义得出的单调性. 4．B 5．D 6．C 【分析】将平方，利用向量数量积的定义即可求解． 【详解】∵， ∴． 故答案为： 7．C 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解. 【详解】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 8．D 【分析】思路一：由正弦定理、三角形面积公式可得面积关于的函数即可求解；思路二：由角平分线性质、等面积法以及基本不等式得，结合三角形面积公式即可得解. 【详解】解法1：设，则 在中，由正弦定理，故； 在中，由正弦定理，故； ，当，即时，面积最小值． 解法2：由角平分线性质可知，，所以有 ， 化简得：，即，当且仅当时，等号成立． 故而． 故选：D. 9．ACD 【详解】，所以A正确； ，所以B不正确； ，所以C正确； ，所以D正确. 10．AB 【分析】对A，根据向量平行的坐标公式求解即可；对B，根据垂直向量数量积为0求解即可；对C，根据投影向量公式计算即可；对D，举反例判断即可. 【详解】已知平面向量，，， 对于选项A，若，则，即，即选项A正确； 对于选项B，若，则，即，即选项B正确； 对于选项C，若，则，则向量在上的投影向量为，即选项C错误； 对于选项D，当时，，则当，向量与的夹角为锐角错误，即选项D错误， 故选：AB． 11．BC 【分析】对于A，令，解出即可；对于B、C、D，构造函数，由题意求导研究函数性质即可. 【详解】对于A，令，则，所以， 所以选项A错误； 对于B，构造函数，则当时，， 所以在单调递增；所以， 所以，所以选项B正确； 对于C，构造函数，由时，， 所以，由， 又由选项B可知在单调递增，所以当时，， 即当，，所以在上单调递增， 所以选项C正确； 对于D，构造函数，当时，由选项B可知在单调递增， 又知，所以当，，在，； 即当时，在为负，在为正； 由为奇函数，所以当时， 在为负，在为正， 所以不等式的解集为：，所以选项D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：构造函数，由在的正负，进而研究在的正负；再根据函数的奇偶性由图形的对称性得出的正负. 12．4 【分析】根据韦达定理可得，，进而， 利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意，得，，则，当且仅当，即时等号成立.经检验，知当时，方程有两个正实数解，符合题意，所以的最小值为4. 故答案为：4 13． 【分析】由复数除法结合纯虚数定义可得答案. 【详解】，因为纯虚数， 则. 故答案为： 14． 【分析】先建系得出坐标，再应用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数值域计算求解. 【详解】 如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则，，，∴． 设，则，∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为 故答案为： 15．(1) (2)为奇函数，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由对数的真数大于0，列出不等式组求解； （2）根据奇函数的定义判断即可； （3）分类讨论，利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）定义域为; （2）为奇函数 ， 为奇函数. （3）, ①单调递减， ②单调递增， 综上：或 16．（1）；（2）． 【分析】（1）由正弦定理化边为角后可求得角； （2）由正弦定理求出，确定为锐角后求得，利用两角和的余弦公式及诱导公式可得结论． 【详解】（1）因为， 所以，即， 又，所以，，所以； （2）因为，所以， 又，则，是锐角，所以， ， 所以． 【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和与差的正弦、余弦公式．在解三角形中，出现边角关系的条件时，常常利用正弦定理进行边角转换，角化边后应用代数式的变换求得边的关系，边化角后应用三角函数司徒变换公式变形求得角． 17．（1），；（2）0 【分析】结合向量数量积的坐标表示可求，结合二倍角公式进行化简可求周期及函数的单调递减区间 由及，可求的范围，结合正弦函数的性质及已知函数的性质可求k，进而可求函数的最小值． 【详解】（1）由题意，因为，， 所以 ， 当时，， 令， 可得，，， 即函数的单调递减区间，． （2）由题意，可得，所以，则， 函数在区间的最大值为6，则， 当时，，， 当时，，则舍， 的最小值为0． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于忽视函数的定义域导致错解，试题难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等． 18．（1）.（2） 【分析】(1)求导分析函数的单调性与极小值即可. (2)代入可得,根据函数在区间上为单调增函数可知在区间上恒成立,再参变分离其最值即可. 【详解】（1）因为,所以. 令,得,令,则,令,则. 所以在上单调递减,在上单调递增. 所以的极小值为. （2）因为,所以.所以. 因为在上是单调增函数,所以在区间上恒成立, 即在上恒成立, 即,其中. 令,易知函数在上单调递增, 所以. 又易知, 所以, 故实数的取值范围是. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质,考查运算求解能力以及化归与转化思想. 19．(1) (2) 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $