精品解析：黑龙江省龙东十校联盟2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

2026～2027学年度高三年级第一学期10月份月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色、墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数及其性质、导数及其应用、三角函数、解三角形，平面向量与复数，数列. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出集合、，利用交集运算即可求解. 【详解】由得， 由得，所以. 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为数列满足，，所以，，，， 所以 3. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，，都是单位向量， ∴， 即，即， ∴. 4. 已知复数，则（ ） A. B. C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内的对应点在第一象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数运算法则、几何意义、虚部定义及复平面定义逐项计算并判断即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B：， 则，故B错误； 对C：， 故复数的虚部为，故C正确 对D：，在复平面内的对应点的坐标为， 位于第二象限，故D错误. 5. 已知函数（），，若函数在上单调递增，且图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数解析式转化为，再根据单调性和对称轴求出，即求出函数解析式，从而求出. 【详解】， 其中，又函数的图象关于直线对称， 且函数在上单调递增， 即，整理得：， 化简得：； 又的单调递增区间满足： ，，令， 得：，即， 得到包含原点的单调递增区间：， 又函数在上单调递增， 故有，即， 即，结合，得， 将代入，得，即， . ， ， ， . 6. 已知等比数列是递增数列，其前项积为，若，，成等差数列，，则当取最小值时，（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的定义求得公比，由题意可得当，时，取到最小值，继而求出的值. 【详解】因等比数列是递增数列，则其公比， 又因，，成等差数列，则得， 即，整理得， 因，解得或（舍）， 又因，可得，， 因，当，时，取到最小值， 故当时，取最小值. 7. 已知，，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的取值范围是 D. 的最小值为4 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式依次求解即可. 【详解】对于A，由于，即，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故A不正确； 对于B，由于，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故B不正确， 对于C，由于，因为，所以，则， 由于，在上单调递增，所以，则，故的取值范围是. 对于D，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3. 8. 若对恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过同构变形构造单调函数，将恒成立问题转化为，求的最小值即可得到的最大值. 【详解】，原不等式两边除以并整理，， 因为，因此， 构造函数，，故在R上单调递增， 不等式等价于 ，对恒成立 令，， ，，单调递减，，，单调递增， 所以时取最小值， 因此 ，即的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若命题：，，则：， B. “”是“”的充分必要条件 C. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是 D. 若函数是幂函数，且是奇函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助命题的否定的定义、充要条件定义、二次函数单调性、幂函数及奇函数性质逐项判断即可得. 【详解】对A：若命题：，，则：，，故A正确； 对B：若，则，若，可取，不能得到， 故“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对C：若函数在上不单调， 则，解得，故C正确； 对D：若函数是幂函数，则， 即，解得或， 当时，，为偶函数，不符合题意，舍去； 当时，，为奇函数，符合题意； 综上可得：，则，，故D正确. 10. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 存在正整数，，（），使，，成等差数列 B. 数列的前100项和为100 C. 数列的前100项和为4950 D. 数列的前100项和为 【答案】AB 【解析】 【分析】先求出等差数列的通项，前项和， 选项A：由已知可得，举出特例即可； 选项B：利用并项求和法求出数列的前100项和； 选项C：求出数列的通项，再用等差数列前项和公式求解； 选项D：求出数列的通项，再用裂项相消法求出数列的前100项和. 【详解】等差数列中，，，得：，即，， 又，得到：， . 选项A：假设存在正整数，，（），使，，成等差数列， 即，即， 令，则有， 即， 取，则有，即，解得：，所以舍去； 取，则有，即，解得：，所以舍去； 取，则有，即，解得：，此时， 满足，验证：，，，， 即，即，，成等差数列.选项A正确. 选项B：数列的前100项和为， ， 因为，所以.选项B正确. 选项C：数列中，， 故数列是以-1为首项，以1为公差的等差数列. 令，则， 数列的前100项和为.选项C错误. 选项D：数列中， 数列的前100项和为 .选项D错误. 11. 若对恒成立，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】先分离参数，将不等式恒成立转化为求函数最值，再通过二次求导构造辅助函数，再利用零点存在定理找隐零点，对隐零点代换化简，最后求出函数最小值的取值区间，即可判断出选项. 【详解】当时，； ①当时，可化为， 设，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 而，，∴存在，使得， 即，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ∴在处有极小值，也是最小值， 即， 又恒成立，即， ②当时，， 设，则， 由，则， 当时，，即在上单调递减， ，， ∴存在，使得，即， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，， 综上所述，，其中，， ∴值可以取，，不可取，4. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，.若，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 已知是第二象限角，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式将转化为，解一元二次方程得到；由是第二象限角求出，再求，最后用正切二倍角公式计算. 【详解】由，，得 ，整理得， 即，得， 因为在第二象限，所以，故， 所以， 则. 14. 已知数列的前项和为，且.设，数列的前项和为，则__________. 【答案】（） 【解析】 【分析】先利用与的关系求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前项和. 【详解】因为， 当时，. 当时，，， 两式相减得，， 两边同乘以得，. 又， 所以数列是以2为首项，以4为公差的等差数列， 所以. 所以， 所以，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，且. （1）求的值和函数的最小正周期； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 又因为，所以. 因为 ， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 由，得，， 所以函数的单调递增区间为，. 同理可得的单调递减区间为，. 所以在上单调递增，在上单调递减， ，，， 所以当时，，即的取值范围是. 16. 已知数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，， 当时，， 当时，， 所以， 所以（）， 所以. 【小问2详解】 由题可知， 所以， 令，则， 时，， 又时，，所以，， 因为， 所以. 17. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）设的面积为，，是边的中点. （i）求的周长； （ii）求边上中线的长. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）1 【解析】 【小问1详解】 由条件得， 又，故， 所以得， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 （i）由的面积为，得， 又，， 所以， 所以，所以的周长为. （ii）因为是中点，所以， 所以， 所以.即边上的中线的长为1. 18. 设数列的前项和为，，. （1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：因为，所以， 所以， 因为，所以，所以，且， 所以是首项为2，公比为2的等比数列； 所以，. 当时，； 又时，，所以的通项公式是. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由递推公式结合等比数列的定义可证明为等比数列，再结合作差法可求的通项公式； （2）（i）由错位相减法即可求解； （ii）通过分离参数，结合数列的单调性即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以①， 所以②， ①-②得： ， 所以. （ii）由题意，对任意的，均有恒成立， 所以， 即恒成立. 设， 所以， 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为， 所以. 故的取值范围是. 19. 已知函数，设，，. （1）试确定的取值范围，使得函数在上单调； （2）试判断，的大小，并说明理由； （3）若存在，满足，求的取值范围并确定满足条件的的个数. 【答案】（1）. （2）. 因为在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值为.又因为， 所以在上的最小值为.故当时，，即. （3）的取值范围是，有唯一的符合题意. 【解析】 【分析】（1）求出并讨论的符号，得到的单调区间即可； （2）由（1）即可得到的极值，此时通过单调区间结合最值即可得到，的大小关系； （3）将原式进行化简，即可将题目转化为在上有零点，求的取值范围，并讨论零点的个数. 【小问1详解】 .由，得，或；由，得. 所以在，上单调递增，在上单调递减. 因为函数在上为单调函数， 所以； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为，且，所以. 令， 则问题转化为：已知在上有零点，求的取值范围，并讨论零点的个数. 因为，. 且在上单调递减，在上单调递增，.所以 ①当时，时，在上有一个零点，此时； 且当时，，在上没有零点； ②当时，，，在上有一个零点； ③当时，，，在上没有零点. 综上，的取值范围是，且有唯一的符合题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度高三年级第一学期10月份月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色、墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数及其性质、导数及其应用、三角函数、解三角形，平面向量与复数，数列. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 9 B. 3 C. D. 3. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数，则（ ） A. B. C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内的对应点在第一象限 5. 已知函数（），，若函数在上单调递增，且图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列是递增数列，其前项积为，若，，成等差数列，，则当取最小值时，（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 7. 已知，，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的取值范围是 D. 的最小值为4 8. 若对恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若命题：，，则：， B. “”是“”的充分必要条件 C. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是 D. 若函数是幂函数，且是奇函数，则 10. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 存在正整数，，（），使，，成等差数列 B. 数列的前100项和为100 C. 数列的前100项和为4950 D. 数列的前100项和为 11. 若对恒成立，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，.若，则______. 13. 已知是第二象限角，且，则__________. 14. 已知数列的前项和为，且.设，数列的前项和为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，且. （1）求的值和函数的最小正周期； （2）当时，求的取值范围. 16. 已知数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）设的面积为，，是边的中点. （i）求的周长； （ii）求边上中线的长. 18. 设数列的前项和为，，. （1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，设，，. （1）试确定的取值范围，使得函数在上单调； （2）试判断，的大小，并说明理由； （3）若存在，满足，求的取值范围并确定满足条件的的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $