专题：直线的方程与平行、垂直、重合相关题型专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题：直线的方程与平行垂直重合的相关题型（点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程、一般式方程） （知识清单＋重点习题＋解题技巧） 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】直线的方程 1．点斜式方程： 【过定点问题】 2．斜截式方程： 性质：k＞0增k＜0减 【图像问题】 3．两点式方程： 4．截距式方程： 【解题过程中有两种情况】【面积问题】 5.一般式方程： 要求：A＞0 直线系方程原理： （1）直线， ①平行判定条件为且 ②垂直判定条件为 （2）直线 ①与直线平行的直线统一设为。 ②与直线垂直的直线统一设为。 【例1】已知点，直线. (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设与直线垂直的直线方程为，代入点的坐标，求出，即可得到过点且与直线垂直的直线方程； （2）设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标，求出，即可得到过点且与直线平行的直线方程. 【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为， 因为过点，所以，解得. 所以过点且与直线垂直的直线方程为. （2）设与直线平行的直线方程为， 因为过点，所以，解得. 所以过点且与直线平行的直线方程为：. 【例2】已知的三个顶点分别为，，． (1)求边和所在直线的方程，并化为一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的方程，并化为一般式方程； (3)求边上的中垂线的方程，并化为一般式方程． 【答案】(1)直线方程：；直线方程：； (2) (3) 【分析】（1）根据截距式直接求解所在直线的方程，根据两点式求所在直线的方程； （2）先求得中点的坐标为，再结合两点式方程求解即可； （3）根据斜率公式与垂直直线的斜率关系求得边上的中垂线的斜率为，再结合点斜式方程求解即可. 【详解】（1）由截距式，得边所在直线的方程为，即． 由两点式，得边所在直线的方程为，即． （2）由题意，得点的坐标为， 由两点式，得所在直线的方程为，即． （3）由，得边上的中垂线的斜率为． 又的中点坐标为，由点斜式， 得边上的中垂线的方程为，即． 【练习1】已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求边上的高所在直线方程； (3)求边的垂直平分线方程． 【答案】(1)． (2) (3) 【分析】（1）三角形中线：先求对边中点，再连接中点与对角顶点，用两点式求直线方程；（2）三角形边上的高：高线过对角顶点，斜率和该边斜率乘积为−1，利用点斜式写方程；（3）线段垂直平分线：经过线段中点，斜率与线段斜率互为负倒数，中点 + 斜率即可求出直线. 【详解】（1）设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为，， 边上的中线所在直线的方程为． （2）设边上的高所在直线的方程为，， 过点，直线在轴上的截距为，直线的方程为． （3）设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为， 设边的垂直平分线的方程为，， 用点斜式求出直线的方程为，整理为一般式得． 【练习2】1.直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的一般方程化为斜截式方程，进而可得直线的斜率. 【详解】直线化为斜截式方程：，则斜率． 2.若直线过点且斜率为，则的点斜式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线点斜式方程的定义，代入已知的定点坐标和斜率即可得到对应方程. 【详解】由题意可知，直线过定点且斜率，由直线的点斜式方程的定义，可得直线的点斜式方程为，故C正确. 3．已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的方向向量计算斜率，代入点斜式方程化简得到直线方程. 【详解】直线的方向向量为，则斜率，又直线过点， 所以直线的方程为，整理得， 即直线的方程为. 4．若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线为，将代入得，解得， 故直线的方程为. 【练习3】 1．已知直线，，则两条直线位置关系（     ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交不垂直 【答案】B 【详解】因为直线的斜率分别为和，且，所以与的位置关系是垂直. 2.若直线与直线垂直，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得 ，解得. 3.已知直线：，：（），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过两直线互相垂直斜率之积等于求解. 【详解】当即时，：，：，两直线不垂直； 当，时，若，则，解得. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型2】过定点问题 原理：拆分含参直线，参数项、常数项分组，分别令两组式子等于0，联立方程求出定点。 算出定点后代回原式检验；无思路时可取两个特殊参数，联立两条直线求交点即为定点。 【例1】已知直线，则直线过定点__________． 【答案】 【详解】已知直线，变形为： 根据的任意性可得，解得 当取不同值时直线恒过定点. 【练习1】直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程转化为表示经过两条直线交点的直线系方程，再解方程组可得. 【详解】将直线变形为， 因为直线恒过定点，所以与无关，令，解得. 因此直线恒过定点. 【练习2】已知直线：恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化为进行求解． 【详解】由得， 因为，得，得，故恒过定点． 【练习3】直线过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】直线过定点，即与参数无关，因此整理为关于的方程式即可求解. 【详解】由，得，所以，解得， 即． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型3】与方程相关的图像问题 原理:：转化成斜截式方程 1. 斜率：k＞0 直线单调递增 k＜0 直线单调递减 2.截距：通过截距正负看图象x轴y轴上的截距正负 【例1】在同一坐标系中画直线与，可能是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用斜率和截距的正负来判断. 【详解】由图可知，，且，将两个直线方程变形为：，， 直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为， AD选项，两条直线斜率均大于，所以同号，两条直线在轴的截距必一正一负，在轴的截距也一正一负， 同一条直线在坐标轴的截距也是一正一负，且两直线交点在第三象限，所以A选项正确、D选项错误； BC选项，两条直线斜率均小于，所以异号，两条直线在轴的截距必同号，在轴的截距也同号， 同一条直线在坐标轴的截距也同号，若，则两直线交点在第一象限，反之两直线交点在第三象限，所以B、C选项正确. 【练习1】已知，则直线的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】直线的方程可化为，. 对A，由图可知，，，所以，故A有可能； 对B，由图可知，，，所以不成立，故B不可能； 对C，由图可知，，，且，所以，故C有可能； 对D，由图可知，，，所以，故D有可能. 【练习2】两直线与的图象可能是图中的哪一个（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】把直线化为斜截式方程，结合直线的斜率和在轴上的截距，即可求解. 【详解】由题意，直线和， 可化为和， 若，此时斜率，可排除A、C、D项； 只有当时，此时斜率， 其中直线在y轴上的截距，在y轴上的截距， 选项B符合题意. 故选：B. 【练习3】方程表示的直线可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分、两种情况讨论，分析直线的斜率及其在轴上的截距，由此可得出结果. 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为，则. 当时，直线的斜率，该直线在轴上的截距，四个选项都不符合； 当时，直线的斜率，该直线在轴上的截距，B选项符合. 故选：B. 【练习4】已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为，的斜率为b，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，错误. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型4】与方程相关的面积问题 原理：截距式方程的两个截距的绝对值成绩即为三角形的底×高。 【例1】若斜率为的直线经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积为________ 【答案】 【分析】先利用点斜式求出直线方程，求得在坐标轴上的截距即可求解面积. 【详解】因为斜率为的直线l经过点，所以直线l方程为， 令，得，令，得， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为. 【练习1】已知直线经过点. (1)若在两坐标轴上截距和为零，求的一般式方程； (2)设的斜率，与两坐标轴的交点分别为、，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据点斜式写出直线方程， 进而根据截距之和为0即可列方程求解斜率得解， （2）由面积公式，结合基本不等式即可求解最值得解. 【详解】（1）由题意可知;的斜率存在且不为0，设斜率为，则的点斜式方程为 ，则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得或， 所以的方程为或，即或. （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以的斜截式方程为. 【练习2】已知直线，，设为坐标原点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求； (2)若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 【答案】(1)或0． (2)4 【分析】（1）分别讨论经过点和不经过点时的情况，求出截距，由截距相等列式求解即可； （2）根据题意求出的坐标，由三角形的面积公式，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】（1）①当经过点时，两坐标轴上的截距均为0，则，解得. ②当不经过点时，． 令，得；令，得， 由题意，得，解得， 综上所述，或0． （2）易知，即，设，， 则，解得． 此时，， 所以． 不妨设，则，， ．    当且仅当，即时取等号，此时． 故面积的最小值为4． 【练习3】已知直线过点． (1)若直线与两坐标轴截距之和为0，求直线的方程； (2)直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用截距的概念与直线的截距式计算即可； （2）利用直线的截距式方程计算即可. 【详解】（1）若直线与两坐标轴的截距都是0，则该直线为，即可； 若直线与两坐标轴的截距不为0，不妨设在横轴上的截距为， 则其在纵轴上的截距为， 由截距式知，代入得， 所以，整理得； 综上得直线的方程为或. （2）由题意可设在横轴与纵轴上的截距分别为， 则由截距式可知，代入得， 又，联立方程得，解之得， 即直线的方程为，整理得. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型5】经过不经过象限问题 原理： 法1：变成斜率问题：根据界限确定斜率范围，进而确定参数范围 法2：变成定点问题：若过定点（1，1），则定过第一象限。 【例1】已知直线：.若直线不经过第四象限，求的取值范围； 【答案】 【分析】通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出不等式组，即可求得的取值范围； 【详解】，直线的纵截距为，要使得直线不经过第四象限，则，即. 【练习1】已知直线：，：．若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】对进行分类讨论，在的情况下，直接验证即可；在时，由直线不经过第二象限，得到直线斜率与纵截距的符号即可求解. 【详解】当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为， 则，解得． 综上，实数的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：直线的方程与平行垂直重合的相关题型（点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程、一般式方程） （知识清单＋重点习题＋解题技巧） 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】直线的方程 1．点斜式方程： 【过定点问题】 2．斜截式方程： 性质：k＞0增k＜0减 【图像问题】 3．两点式方程： 4．截距式方程： 【解题过程中有两种情况】【面积问题】 5.一般式方程： 要求：A＞0 直线系方程原理： （1）直线， ①平行判定条件为且 ②垂直判定条件为 （2）直线 ①与直线平行的直线统一设为。 ②与直线垂直的直线统一设为。 【例1】已知点，直线. (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程. 【例2】已知的三个顶点分别为，，． (1)求边和所在直线的方程，并化为一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的方程，并化为一般式方程； (3)求边上的中垂线的方程，并化为一般式方程． 【练习1】已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求边上的高所在直线方程； (3)求边的垂直平分线方程． 【练习2】 1.直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 2.若直线过点且斜率为，则的点斜式方程为（     ） A． B． C． D． 3．已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 4．若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【练习3】 1．已知直线，，则两条直线位置关系（     ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交不垂直 2.若直线与直线垂直，则（   ） A．3 B． C． D． 3.已知直线：，：（），若，则（    ） A． B． C． D． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型2】过定点问题 原理：拆分含参直线，参数项、常数项分组，分别令两组式子等于0，联立方程求出定点。 算出定点后代回原式检验；无思路时可取两个特殊参数，联立两条直线求交点即为定点。 【例1】已知直线，则直线过定点__________． 【练习1】直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【练习2】已知直线：恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【练习3】直线过定点，则点的坐标为__________． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型3】与方程相关的图像问题 原理:：转化成斜截式方程 1. 斜率：k＞0 直线单调递增 k＜0 直线单调递减 2.截距：通过截距正负看图象x轴y轴上的截距正负 【例1】在同一坐标系中画直线与，可能是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 【练习1】已知，则直线的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【练习2】两直线与的图象可能是图中的哪一个（    ） A． B． C．D． 【练习3】方程表示的直线可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【练习4】已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（    ） A． B． C． D． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型4】与方程相关的面积问题 原理：截距式方程的两个截距的绝对值乘积即为三角形的底×高。 【例1】若斜率为的直线经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积为________ 【练习1】已知直线经过点. (1)若在两坐标轴上截距和为零，求的一般式方程； (2)设的斜率，与两坐标轴的交点分别为、，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【练习2】已知直线，，设为坐标原点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求； (2)若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 【练习3】已知直线过点． (1)若直线与两坐标轴截距之和为0，求直线的方程； (2)直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型5】经过不经过象限问题 原理： 法1：变成斜率问题：根据界限确定斜率范围，进而确定参数范围 法2：变成定点问题：若过定点（1，1），则定过第一象限。 【例1】已知直线：.若直线不经过第四象限，求的取值范围； 【练习1】已知直线：，：．若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $