专题：直线相关知识（倾斜角、斜率、方向向量、三点共线、相交关系求范围）专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题：平面解析几何---有关直线的相关必备知识（倾斜角、斜率、方向向量、直线平行垂直的判定） （知识清单＋重点习题＋解题技巧） 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】求直线斜率的三个基础方法 方法1：倾斜角 图示 倾斜角 __90°__ 斜率 不存在 方法2：已知两点，，有 注意：当时，不能套用此公式，说明该直线的斜率不存在，倾斜角为90° 方法3：直线方程法 1.直线方程为的直线斜率为k． 2.直线方程为，当时，直线的斜率为； 当时，直线的斜率为0； 当时，直线的斜率不存在． 【例1】已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【答案】5 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,进一步得到直线的倾斜角的正切值,再根据同角关系式和半角公式求得直线的倾斜角的正切值，即为直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率, 由于,所以, 所以直线的斜率. 【练习1】在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知直线过点和点，则直线斜率，则直线的倾斜角满足，又，故. 【练习2】已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线过、两点，且倾斜角为，故. 由斜率公式可得，解得. 【练习3】过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 【答案】C 【详解】解法一：由题意可知，解得. 解法二：∵，∴，解得. 【练习4】已知经过两点的直线的倾斜角为，则____. 【答案】 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因为，所以， 即，所以. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型2】求斜率与倾斜角的正切趋势 原理 ：结合图像研究斜率 k随倾斜角变化的规律． 当时，斜率，且k随倾斜角的增大而增大； 当时，斜率，且k随倾斜角的增大而增大； 当，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 注意：在及上分两段递增，但在整个上不单调． 【例1】（多选）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上斜率随倾斜角增大而增大 【答案】BD 【分析】利用正切函数的单调性来判断即可． 【详解】由斜率与倾斜角的关系知，因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数，故A错误，B正确，C错误，D正确；故选：BD 【练习1】（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知，所以，， 函数在上单调递增，所以，综上所述，.故选：AD 【练习2】（多选）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用直线斜率与倾斜角之间关系求解即可. 【详解】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下： 因为， 所以，所以A不正确；B正确；C正确；D不正确；故选：BC 【练习3】（多选）给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【分析】根据直线的斜率和倾斜角，方向向量等概念，结合正切函数的性质逐一判断即得. 【详解】对于A，因是直线的一个方向向量，则直线斜率为，即A正确； 对于B，因直线的斜率是，若设直线的方向向量为，则有，不妨取，则得，即是该直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，根据直线的倾斜角定义可知，任一条直线都有倾斜角，而当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故C正确； 对于D，因直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，根据正切函数的性质可知，当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABC. 【练习4】已知，.若过的直线与线段没有公共点，则的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【分析】辅助图形找到满足条件的临界值即可求出答案. 【详解】如图所示： 设直线与直线的倾斜角分别为与，由题可知满足条件的直线在图中阴影部分区域，则直线的倾斜角的取值范围是 . ，，，. 直线的倾斜角的取值范围是. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型3】斜率、倾斜角、方向向量的关系 原理:：利用方向向量与斜率的关系解题 1. 若直线的方向向量为，则：当时，斜率； 当时，斜率不存在． 2. 若k是直线的斜率，则是它的一个方向向量． 注意：方向向量不唯一，与方向向量共线的向量也是该直线的方向向量。 【例1】经过，两点的直线的方向向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的斜率与方向向量的关系列式计算. 【详解】由题意，经过，两点的直线的斜率为, 又直线的方向向量为，则得. 【练习1】已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________. 【答案】 【详解】因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为 【练习2】经过两点的直线的方向向量为，则____________． 【答案】/ 【分析】根据直线的方向向量的定义，结合斜率的计算公式求解出的值即可. 【详解】因为直线的方向向量为，则为直线的斜率，又直线经过两点，所以，故答案为： 【练习3】过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 【答案】C 【详解】解法一：由题意可知，解得. 解法二：∵，∴，解得. 【练习4】已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【答案】 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】是直线的一个方向向量，则的斜率为 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型4】三点共线问题 若 A，B，C 三点共线，则直线 AB的斜率等于直线 AC的斜率（或者它们都不存在） 1. 优先计算斜率，比如：若，则三点共线． 易错点提醒：必须单独讨论 A，B，C 三点的横坐标相等的情况（即直线垂直于x轴）， 此时斜率不存在，但三点依然可以共线． 【例1】下列各组中的三点不共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线斜率公式进行求解判断即可. 【详解】A：设， 因为，显然，所以这三点不共线； B：设， 因为，显然，所以这三点共线； C：设， 因为，显然，所以这三点共线； D：设， 因为，显然，所以这三点共线；故选：A 【练习1】已知三点，，在同一条直线上，则（    ） A．12 B．24 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由三点共线可得，再列式求解即可． 【详解】因为、、三点共线，所以，即，解得.故选：C． 【练习2】已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件．故选：C. 【练习3】已知，，，不能构成三角形，则______． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线，因为斜率存在，所以，即，即,因为，所以，即.故答案为： 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型5】直线与线段的相交关系求斜率和倾斜角范围 原理：通常采用数形结合法。解题步骤如下： 1.建立平面直角坐标系，画图． 2.求出定点与线段两端点的连线斜率和，不妨令． 3.如果存在垂直于x轴的直线，那么斜率k的取值范围为 如果不存在垂直于x轴的直线，那么斜率k的取值范围为． 若求的是倾斜角的取值范围，那么结合和求出对应的倾斜角。并结合图像求出取值 范围即可． 【例1】已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由逆时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴逆时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是.    【练习1】若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 【练习2】过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 【练习3】已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围为_________________ 【答案】 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或， 即k的取值范围是. 【练习4】已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：平面解析几何---有关直线的相关必备知识（倾斜角、斜率、方向向量、三点共线、相交关系求范围） （知识清单＋重点习题＋解题技巧） 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】求直线斜率的三个基础方法 方法1：倾斜角 图示 倾斜角 __90°__ 斜率 不存在 方法2：已知两点，，有 注意：当时，不能套用此公式，说明该直线的斜率不存在，倾斜角为90° 方法3：直线方程法 1.直线方程为的直线斜率为k． 2.直线方程为，当时，直线的斜率为； 当时，直线的斜率为0； 当时，直线的斜率不存在． 【例1】已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【练习1】在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【练习2】已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【练习3】过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 【练习4】已知经过两点的直线的倾斜角为，则____. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型2】求斜率与倾斜角的正切趋势 原理 ：结合图像研究斜率 k随倾斜角变化的规律． 当时，斜率，且k随倾斜角的增大而增大； 当时，斜率，且k随倾斜角的增大而增大； 当，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 注意：在及上分两段递增，但在整个上不单调． 【例1】（多选）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上斜率随倾斜角增大而增大 【练习1】（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（多选）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【练习3】（多选）给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【练习4】已知，.若过的直线与线段没有公共点，则的倾斜角的取值范围是___________. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型3】斜率、倾斜角、方向向量的关系 原理:：利用方向向量与斜率的关系解题 1. 若直线的方向向量为，则：当时，斜率； 当时，斜率不存在． 2. 若k是直线的斜率，则是它的一个方向向量． 注意：方向向量不唯一，与方向向量共线的向量也是该直线的方向向量。 【例1】经过，两点的直线的方向向量为，则（    ） A． B． C． D． 【练习1】已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________. 【练习2】经过两点的直线的方向向量为，则____________． 【练习3】过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 【练习4】已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型4】三点共线问题 若 A，B，C 三点共线，则直线 AB的斜率等于直线 AC的斜率（或者它们都不存在） 1. 优先计算斜率，比如：若，则三点共线． 易错点提醒：必须单独讨论 A，B，C 三点的横坐标相等的情况（即直线垂直于x轴）， 此时斜率不存在，但三点依然可以共线． 【例1】下列各组中的三点不共线的是（    ） A． B． C． D． 【练习1】已知三点，，在同一条直线上，则（    ） A．12 B．24 C．6 D．10 【练习2】已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【练习3】已知，，，不能构成三角形，则______． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型5】直线与线段的相交关系求斜率和倾斜角范围 原理：通常采用数形结合法。解题步骤如下： 1.建立平面直角坐标系，画图． 2.求出定点与线段两端点的连线斜率和，不妨令． 3.如果存在垂直于x轴的直线，那么斜率k的取值范围为 如果不存在垂直于x轴的直线，那么斜率k的取值范围为． 若求的是倾斜角的取值范围，那么结合和求出对应的倾斜角。并结合图像求出取值 范围即可． 【例1】已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【练习1】若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【练习2】过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【练习3】已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围为_________________ 【练习4】已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $