第12节 立体几何中的平行与垂直专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第12节 立体几何中的平行与垂直 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 平面的基本性质与公理：不共线三点确定一个平面，据此判断点、线、面是否共面 ② 空间两直线的位置关系：平行、相交、异面的判定，正方体与长方体中异面直线的寻找方法 ③ 直线与平面、平面与平面平行的判定定理与性质定理，证平行即证“线线平行”或“线面平行” ④ 直线与平面、平面与平面垂直的判定定理与性质定理，三垂线定理及其逆定理的应用 ⑤ 空间向量法与折叠问题：用方向向量的数量积为零证垂直、用方向向量共线证平行；折叠问题抓住折痕两侧“长度不变”的量 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 下列关于平面的基本性质的说法中，正确的是 A. 经过空间三点有且只有一个平面 B. 经过空间两条直线有且只有一个平面 C. 经过两条相交直线有且只有一个平面 D. 两两相交的三条直线确定一个平面 【答案】C 【解析】公理的内容是：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。A 项少了“不共线”这个前提，三点共线时可以作无数个平面，错误； B 项中的两条直线可能异面，异面直线不可能同在一个平面内，错误； C 项是公理的直接推论，两条相交直线确定一个平面，正确； D 项若三条直线交于同一点（例如正方体从同一顶点出发的三条棱），它们不一定共面，错误。 【考查知识点】平面的基本性质与公理、确定一个平面的条件 【易错点】忽略“三点不共线”“两直线相交或平行”这些前提条件；两两相交的三条直线若共点则不一定共面 2. 在正方体 ABCD− 中，与棱 A 异面的棱共有 A. 3 条 B. 4 条 C. 6 条 D. 8 条 【答案】B 【解析】正方体共有 12 条棱，按与棱 A 的位置关系逐条分类。 与 A 相交的棱：AB、AD、、，共 4 条； 与 A 平行的棱：B、C、D，共 3 条；再去掉它本身 1 条。 剩下 12 − 1 − 4 − 3 = 4 条，它们是 BC、CD、、，与 A 既不相交也不平行，是异面直线。 【考查知识点】空间两条直线的位置关系、正方体中异面直线的条数 【易错点】把底面中与 A 没有公共点的四条棱全算成异面，其中 AB、AD 与 A 相交，不能计入 3. 已知直线 l 不在平面 α 内，则下列条件中，能推出 l ∥ α 的是 A. l 与平面 α 内的一条直线平行 B. l 与平面 α 内的一条直线没有公共点 C. l 与平面 α 内的两条平行直线都没有公共点 D. l 与平面 α 内的一条直线垂直 【答案】A 【解析】直线与平面平行的判定定理是：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。题干已经给出 l 不在 α 内，所以 A 项正确。 B 项：l 与 α 内某条直线没有公共点，但 l 完全可能与平面 α 交于另一个点，错误； C 项：α 内的两条直线若互相平行，l 仍可能穿过平面 α 上其余的位置，错误； D 项：l 垂直于 α 内一条直线时，还可能出现 l ⊥ α 的情形，此时 l 与 α 相交，错误。 【考查知识点】直线与平面平行的判定定理及其三个条件 【易错点】忽略判定定理中“平面外”“平面内”“平行”三个条件缺一不可；只凭“没有公共点”不能断定线面平行 4. 已知直线 m、n 都在平面 α 内，则下列条件中，能推出直线 l ⊥ 平面 α 的是 A. l ⊥ m B. l ⊥ m 且 m ⊥ n C. l ⊥ m 且 l ⊥ n D. l ⊥ m 且 l ⊥ n，其中 m 与 n 相交 【答案】D 【解析】直线与平面垂直的判定定理是：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直，D 项完全符合。 A 项只垂直于一条直线，条件不足； B 项中 m ⊥ n 描述的是平面 α 内两条直线的关系，与 l 是否垂直于平面无关，错误； C 项没有说明 m 与 n 相交，若 m ∥ n，则只说明 l 垂直于同一个方向，此时 l 还可能斜放在平面内，错误。 【考查知识点】直线与平面垂直的判定定理、“两条相交直线”的关键条件 【易错点】漏掉“两条直线相交”这一条件而误选 B；证线面垂直必须在平面内找到两条相交直线 5. 已知平面 α ∥ 平面 β，直线 a 在平面 α 内，则下列结论正确的是 A. a 与平面 β 内的任意一条直线平行 B. a ∥ β C. a ⊥ β D. a 与平面 β 相交 【答案】B 【解析】由平面与平面平行的定义，α 与 β 没有公共点；而 a 在 α 内，所以 a 与 β 也没有公共点，即 a ∥ β，B 项正确。 A 项：a 与 β 内的直线确实没有公共点，但空间中两条没有公共点的直线还可能异面，不一定平行，错误； C、D 两项都与 a ∥ β 矛盾，错误。 【考查知识点】平面与平面平行的定义与性质、线面平行的判定 【易错点】把“没有公共点”直接等同于“平行”，忽略空间中两条直线还可能异面 6. 在正方体 ABCD− 中，M 为棱 B 的中点，N 为棱 D 的中点，则直线 AM 与直线 CN 的位置关系是 A. 平行 B. 相交 C. 异面且互相垂直 D. 异面但不互相垂直 【答案】D 【解析】以 A 为原点建立空间直角坐标系，设棱长为 1，则 A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 1, 0)，(0, 0, 1)。 由中点坐标公式得 M(1, 0, )，N(0, 1, )，于是 AM 的方向向量为 (1, 0, )，CN 的方向向量为 (−1, 0, )。 两向量的对应坐标不成比例，故 AM 与 CN 不平行；又 AM 上各点的纵坐标恒为 0，CN 上各点的纵坐标恒为 1，二者不可能相交，所以是异面直线。 再算数量积：1 × (−1) + 0 × 0 + × = −1 + = − ≠ 0，故 AM 与 CN 不垂直。 综上，AM 与 CN 异面但不互相垂直。 【考查知识点】空间向量法判定两直线的位置关系、数量积为零判垂直 【易错点】凭直观感觉判定垂直，忘记用数量积检验；判断是否相交时要看两直线的点坐标能否同时满足 7. 在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA ⊥ 平面 ABCD，PA = 2，E 为棱 PC 的中点，则下列结论正确的是 A. BE ⊥ DE B. AE ⊥ PC C. AE ⊥ BD D. AC ⊥ 平面 PBD 【答案】C 【解析】以 A 为原点建立空间直角坐标系，得 A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)；E 为 PC 的中点，故 E(1, 1, 1)。 AE 的方向向量为 (1, 1, 1)，BD 的方向向量为 (−2, 2, 0)，数量积为 1 × (−2) + 1 × 2 + 1 × 0 = 0，故 AE ⊥ BD，C 项正确。 A 项：BE 的方向向量为 (−1, 1, 1)，DE 的方向向量为 (1, −1, 1)，数量积为 −1 − 1 + 1 = −1 ≠ 0，错误； B 项：PC 的方向向量为 (2, 2, −2)，与 AE 的方向向量数量积为 2 + 2 − 2 = 2 ≠ 0，错误； D 项：平面 PBD 的法向量可取 (1, 1, 1)，而 AC 的方向向量为 (2, 2, 0)，二者不共线，AC 不垂直于平面 PBD，错误。 本题也可用三垂线定理：设 AC 与 BD 交于 O，则 EO ∥ PA，EO ⊥ 平面 ABCD，AE 在底面上的射影为 AO，而 AO ⊥ BD，故 AE ⊥ BD。 【考查知识点】三垂线定理、空间向量法判定线线垂直 【易错点】把“E 是 PC 的中点”误当成“E 是底面中心”；用三垂线定理时先要找准斜线在底面上的射影 8. 某装配式建筑的折叠墙板出厂前是一张矩形板 ABCD，AB = 4，AD = 3。现沿对角线 AC 把它折起，使点 D 到达点 的位置（ 不在平面 ABC 内），则下列结论一定成立的是 A. A ⊥ C B. 平面 AC ⊥ 平面 ABC C. A ⊥ 平面 ABC D. B ⊥ C 【答案】A 【解析】折叠只改变图形所在的平面，不改变线段的长度，所以 A = DA = 3，C = DC = 4；AC 在折痕上，长度也不变，AC = = 5。 在 △AC 中， + = + = 25，而 A = 25，即两边平方和等于第三边平方。 由勾股定理的逆定理得 ∠AC = 90°，即 A ⊥ C，A 项正确。 B 项：只有折起的角度恰好为 90° 时两个半平面才垂直，题目没有给出折叠角，错误； C 项：若 A ⊥ 平面 ABC，则 ∠AC = 90°，与上面得到的 ∠AC = 90° 在同一个三角形内不能并存，错误； D 项：B 的长随折叠角改变，它与 C 的夹角并不确定，错误。 【考查知识点】折叠问题中不变的几何量、勾股定理的逆定理判定垂直 【易错点】误以为折叠后 ∠ADC = 90° 保持不变；或误认为折起后两个半平面一定互相垂直 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 在正方体 ABCD− 中，下列结论正确的是 A. C ⊥ BD B. 平面 BD ∥ 平面 C C. B ⊥ 平面 BC D. ∥ 平面 BC 【答案】ABD 【解析】A 项：底面正方形中 AC ⊥ BD，又 A ⊥ 平面 ABCD 得 BD ⊥ A；AC 与 A 是平面 AC 内的两条相交直线，故 BD ⊥ 平面 AC，从而 BD ⊥ C，正确； B 项：B ∥ C，D ∥ C，即一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，故 平面 BD ∥ 平面 C，正确； C 项：取棱长为 1，则 B 的方向向量为 (1, 0, −1)，C 的方向向量为 (0, 1, −1)，数量积为 1 ≠ 0，即 B 与平面内的直线 C 不垂直，更谈不上垂直于该平面，错误； D 项： ∥ AD ∥ BC，BC 在平面 BC 内，而 不在该平面内，故 ∥ 平面 BC，正确。 【考查知识点】正方体中的线线垂直、线面平行与面面平行 【易错点】判断 C 项时凭直觉认为“面对角线一定垂直于侧面的棱”，事实上要用数量积或线面垂直的定义逐条检验 10. 在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA ⊥ 平面 ABCD，PA = 2，则下列结论正确的是 A. PB ⊥ AD B. PC ⊥ BD C. 平面 PBC ⊥ 平面 PAB D. 平面 PBC ⊥ 平面 PCD 【答案】ABC 【解析】A 项：AD ⊥ AB，又 PA ⊥ 平面 ABCD 得 PA ⊥ AD；AB 与 PA 是平面 PAB 内的两条相交直线，故 AD ⊥ 平面 PAB，从而 AD ⊥ PB，正确； B 项：正方形中 AC ⊥ BD，又 PA ⊥ 平面 ABCD 得 PA ⊥ BD；AC 与 PA 是平面 PAC 内的两条相交直线，故 BD ⊥ 平面 PAC，从而 BD ⊥ PC，正确； C 项：BC ⊥ AB，且 PA ⊥ 平面 ABCD 得 PA ⊥ BC，故 BC ⊥ 平面 PAB；BC 在平面 PBC 内，由面面垂直的判定定理得 平面 PBC ⊥ 平面 PAB，正确； D 项：取 A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)，则平面 PBC 的法向量可取 (1, 0, 1)，平面 PCD 的法向量可取 (0, 1, 1)，数量积为 0 + 0 + 1 = 1 ≠ 0，两平面不垂直，错误。 【考查知识点】线面垂直与面面垂直的判定定理、四棱锥中的垂直关系 【易错点】D 项最容易误判：两个侧面看起来对称，实际并不垂直，必须用法向量或判定定理检验 11. 某智能立体车库的一格可看作长方体 ABCD−，其中 AB = AD = 4，A = 6。建立空间直角坐标系，使 A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，D(0, 4, 0)，(0, 0, 6)。则下列结论正确的是 A. 直线 A ⊥ 直线 BD B. 直线 C ⊥ 直线 BD C. 直线 C ⊥ 直线 B D. 直线 B ∥ 直线 C 【答案】ABD 【解析】先补全坐标：C(4, 4, 0)，(4, 0, 6)，(4, 4, 6)，(0, 4, 6)。 A 项：A 的方向向量为 (4, 4, 6)，BD 的方向向量为 (−4, 4, 0)，数量积为 −16 + 16 + 0 = 0，正确； B 项：C 的方向向量为 (4, 4, −6)，与 (−4, 4, 0) 的数量积为 −16 + 16 + 0 = 0，正确； C 项：B 的方向向量为 (−4, 4, 6)，与 (4, 4, −6) 的数量积为 −16 + 16 − 36 = −36 ≠ 0，错误； D 项：B 的方向向量为 (4, 0, −6)，C 的方向向量为 (4, 0, −6)，两向量相等，故两直线平行，正确。 A、B 两项也可以统一理解：底面 ABCD 是正方形，AC ⊥ BD，又 A ⊥ 平面 ABCD 得 BD ⊥ A，故 BD ⊥ 平面 AC，从而垂直于该平面内的 A 与 C。 【考查知识点】空间直角坐标系、方向向量的数量积判定平行与垂直 【易错点】C 项与 B 项只差一个端点的高度，数量积中竖坐标分量不再相消，容易想当然地判为垂直 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在正方体 ABCD− 的 12 条棱中，与棱 A 垂直的棱共有___________条。 【答案】8 【解析】因为 A ⊥ 平面 ABCD，所以 A 与底面内的四条棱 AB、BC、CD、DA 都垂直； 同理 A ⊥ 平面 ，它与顶面内的四条棱 、、、 也都垂直； 另外四条棱中，一条是 A 本身，还有 B、C、D 与它平行，都不垂直。 所以共有 4 + 4 = 8 条。 【考查知识点】线面垂直的定义、异面直线垂直的判定 【易错点】只数出与 A 相交且垂直的 4 条，忘记异面直线同样可以垂直 13. 某数据中心的一台机柜可看作长方体 ABCD−，其中 AB = 2，AD = 3，高 A = h。以 A 为原点建立空间直角坐标系，使 A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，D(0, 3, 0)，(0, 0, h)。若侧面上的对角线 A 与体对角线 C 互相垂直，则 h = ___________。 【答案】2 【解析】先写出相关点的坐标：(2, 0, h)，C(2, 3, 0)，(0, 0, h)。 A 的方向向量为 (2, 0, h)，C 的方向向量为 (2, 3, 0) − (0, 0, h) = (2, 3, −h)。 两直线垂直等价于方向向量的数量积为 0，即 2 × 2 + 0 × 3 + h × (−h) = 4 − = 0。 解得 = 4，又高 h > 0，所以 h = 2。 【考查知识点】空间直角坐标系、用数量积为零处理含参的线线垂直 【易错点】写 C 的坐标时把竖坐标写成 +h 而漏掉负号，得到 4 + = 0 而无解 14. 在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA ⊥ 平面 ABCD，PA = 2，E 为棱 PB 的中点。在底面的四条棱 AB、BC、CD、DA 中，与直线 AE 垂直的棱共有___________条。 【答案】2 【解析】以 A 为原点建立空间直角坐标系，得 A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)；E 为 PB 的中点，故 E(1, 0, 1)。 AE 的方向向量为 (1, 0, 1)。底面四条棱的方向向量分别可取：AB 为 (1, 0, 0)，BC 为 (0, 1, 0)，CD 为 (−1, 0, 0)，DA 为 (0, −1, 0)。 逐一计算数量积：与 AB 得 1 ≠ 0，与 BC 得 0，与 CD 得 −1 ≠ 0，与 DA 得 0。 所以垂直的有 BC 与 DA 两条，共 2 条。 本题也可用三垂线定理：AE 在底面上的射影落在 AB 上，而 BC ⊥ AB、AD ⊥ AB，故 BC ⊥ AE、AD ⊥ AE。 【考查知识点】三垂线定理、向量法逐条检验垂直关系 【易错点】把“垂直”理解成必须相交，从而漏掉与 AE 异面却垂直的 BC 与 DA 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某体育馆的采光顶棚可抽象为四棱锥 P−ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA ⊥ 平面 ABCD，PA = 2。 为加固结构，在棱 PC 的中点 E 处加焊一根横杆，记 AC 与 BD 的交点为 O。 （1）证明：PA ∥ 平面 BDE； （2）证明：平面 BDE ⊥ 平面 PAC。 【答案】解：（1）因为四边形 ABCD 是正方形，其对角线 AC 与 BD 互相平分，所以 O 是 AC 的中点。 在 △PAC 中，E 是 PC 的中点，O 是 AC 的中点，所以 EO 是 △PAC 的中位线，EO ∥ PA。 又 EO 在平面 BDE 内，而 PA 不在平面 BDE 内， 由直线与平面平行的判定定理，得 PA ∥ 平面 BDE。 （2）因为 PA ⊥ 平面 ABCD，BD 在平面 ABCD 内，所以 PA ⊥ BD。 又四边形 ABCD 是正方形，所以 AC ⊥ BD。 PA 与 AC 是平面 PAC 内的两条相交直线，故 BD ⊥ 平面 PAC。 因为 BD 在平面 BDE 内，由平面与平面垂直的判定定理，得 平面 BDE ⊥ 平面 PAC。 【解析】思路点睛：第（1）问是“见中点想中位线”的典型，先找到 AC 的中点 O，把证线面平行转化为证 EO ∥ PA。 第（2）问要证面面垂直，只需证明其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，这里 BD 就是那条关键的“垂线”。 证 BD ⊥ 平面 PAC 时，要在平面 PAC 内找到两条相交直线都与 BD 垂直：PA 由已知线面垂直得到，AC 由正方形对角线互相垂直得到，两个条件缺一不可。 最容易失分的是第（1）问只写 EO ∥ PA 就下结论，判定定理要求“平面外一条直线”必须交代清楚，即要说明 PA 不在平面 BDE 内。 一题多解：本题也可建系，取 A(0, 0, 0)、B(2, 0, 0)、D(0, 2, 0)、P(0, 0, 2)，则 E(1, 1, 1)，平面 BDE 的法向量可取 (1, 1, 0)，PA 的方向向量为 (0, 0, 2)，数量积为 0，再结合 P、A 都不在平面 BDE 内，同样可得 PA ∥ 平面 BDE。 【考查知识点】线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、正方形对角线的性质 【易错点】（1）中漏写“PA 不在平面 BDE 内”；（2）中只由 BD ⊥ PA 就下结论，漏掉 BD ⊥ AC 16. 某装配式建筑使用一块直角三角形的折叠板件。折叠前它是 Rt△ABC，其中 ∠ABC = 90°，AB = BC = 2； D、E 分别是 AB、AC 的中点。现沿 DE 把 △ADE 折起到 △DE 的位置，使平面 DE ⊥ 平面 BCDE。 （1）证明：D ⊥ 平面 BCDE； （2）证明：平面 BC ⊥ 平面 DB； （3）判断直线 E 与直线 BC 的位置关系，并说明理由。 【答案】解：（1）在 △ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，所以 DE 是 △ABC 的中位线，DE ∥ BC。 又 ∠ABC = 90°，即 AB ⊥ BC，于是 AB ⊥ DE，从而 AD ⊥ DE。 折叠时点 D、E 都在折痕上，绕 DE 转动不改变线段长度，也不改变线段与折痕的垂直关系，故折起后 D ⊥ DE，且 D = AD。 已知平面 DE ⊥ 平面 BCDE，两平面的交线为 DE，D 在平面 DE 内且 D ⊥ DE， 由平面与平面垂直的性质定理，得 D ⊥ 平面 BCDE。 （2）由（1）知 D ⊥ 平面 BCDE，而 BC 在平面 BCDE 内，所以 D ⊥ BC。 又 ∠ABC = 90° 得 BC ⊥ AB，点 D 在 AB 上，故 BC ⊥ BD。 D 与 BD 是平面 DB 内的两条相交直线，所以 BC ⊥ 平面 DB。 因为 BC 在平面 BC 内，由平面与平面垂直的判定定理，得 平面 BC ⊥ 平面 DB。 （3）直线 E 与直线 BC 是异面直线，理由如下。 由（1）的证明过程知 DE ∥ BC，DE 在平面 DE 内，BC 不在平面 DE 内，所以 BC ∥ 平面 DE。 于是 BC 与平面 DE 没有公共点，而 E 在平面 DE 内，故 BC 与 E 不可能相交。 若 E ∥ BC，结合 BC ∥ DE 可得 E ∥ DE，这与 E 和 DE 相交于点 E 矛盾，故二者也不平行。 所以 E 与 BC 既不相交也不平行，是异面直线。 【解析】思路点睛：折叠问题的口诀是“折痕不动，长度不变”。凡是落在折痕 DE 上的点（D、E）以及与折痕有关的垂直关系，都要逐条重新审视。 第（1）问是把面面垂直转化为线面垂直：必须在平面 DE 内找到一条垂直于交线 DE 的直线，这条线正是 D，而 D ⊥ DE 来自折叠前的 AD ⊥ DE。 第（2）问要证面面垂直，转化为证 BC ⊥ 平面 DB；这里用到（1）的结论 BC ⊥ D，再加上折叠前就有的 BC ⊥ AB（即 BC ⊥ BD），两条相交直线都垂直于 BC，结论就出来了。 第（3）问最容易只写“看着不像平行就是异面”。规范写法必须说明两点：不相交由 BC ∥ 平面 DE 得到，不平行用反证法（若平行则由 BC ∥ DE 推出 E ∥ DE，与两线交于 E 矛盾）。 最容易失分的是第（1）问直接写“因为平面 DE ⊥ 平面 BCDE，所以 D ⊥ 平面 BCDE”，漏掉“D ⊥ 交线 DE”这个必要条件，性质定理用不完整。 【考查知识点】折叠问题中的不变量、面面垂直的性质定理与判定定理、异面直线的判定 【易错点】（1）中漏证 D ⊥ DE 就直接使用面面垂直的性质；（3）中只说明“不相交”而不说明“不平行” 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第12节 立体几何中的平行与垂直 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 平面的基本性质与公理 逻辑推理 基础 C 2 单项选择题 5 异面直线的判定 直观想象 基础 B 3 单项选择题 5 线面平行的判定 逻辑推理 基础 A 4 单项选择题 5 线面垂直的判定 逻辑推理 基础 D 5 单项选择题 5 面面平行的性质 直观想象 基础 B 6 单项选择题 5 向量法判异面与垂直 数学运算 中档 D 7 单项选择题 5 三垂线定理与向量法 直观想象 中档 C 8 单项选择题 5 折叠问题中的垂直判定 直观想象 中档 A 9 多项选择题 6 正方体中的平行与垂直 直观想象 中档 ABD 10 多项选择题 6 面面垂直的判定 逻辑推理 中档 ABC 11 多项选择题 6 向量法判平行与垂直 数学运算 中档 ABD 12 填空题 5 线面垂直与异面直线垂直 直观想象 基础 8 13 填空题 5 向量法求参数的垂直问题 数学运算 中档 2 14 填空题 5 三垂线定理的应用 直观想象 中档 2 15 解答题 13 线面平行与面面垂直的证明 逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 14 折叠、面面垂直与异面判定 逻辑推理、直观想象 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第12节 立体几何中的平行与垂直 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 平面的基本性质与公理：不共线三点确定一个平面，据此判断点、线、面是否共面 ② 空间两直线的位置关系：平行、相交、异面的判定，正方体与长方体中异面直线的寻找方法 ③ 直线与平面、平面与平面平行的判定定理与性质定理，证平行即证“线线平行”或“线面平行” ④ 直线与平面、平面与平面垂直的判定定理与性质定理，三垂线定理及其逆定理的应用 ⑤ 空间向量法与折叠问题：用方向向量的数量积为零证垂直、用方向向量共线证平行；折叠问题抓住折痕两侧“长度不变”的量 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 下列关于平面的基本性质的说法中，正确的是 A. 经过空间三点有且只有一个平面 B. 经过空间两条直线有且只有一个平面 C. 经过两条相交直线有且只有一个平面 D. 两两相交的三条直线确定一个平面 2. 在正方体 ABCD− 中，与棱 A 异面的棱共有 A. 3 条 B. 4 条 C. 6 条 D. 8 条 3. 已知直线 l 不在平面 α 内，则下列条件中，能推出 l ∥ α 的是 A. l 与平面 α 内的一条直线平行 B. l 与平面 α 内的一条直线没有公共点 C. l 与平面 α 内的两条平行直线都没有公共点 D. l 与平面 α 内的一条直线垂直 4. 已知直线 m、n 都在平面 α 内，则下列条件中，能推出直线 l ⊥ 平面 α 的是 A. l ⊥ m B. l ⊥ m 且 m ⊥ n C. l ⊥ m 且 l ⊥ n D. l ⊥ m 且 l ⊥ n，其中 m 与 n 相交 5. 已知平面 α ∥ 平面 β，直线 a 在平面 α 内，则下列结论正确的是 A. a 与平面 β 内的任意一条直线平行 B. a ∥ β C. a ⊥ β D. a 与平面 β 相交 6. 在正方体 ABCD− 中，M 为棱 B 的中点，N 为棱 D 的中点，则直线 AM 与直线 CN 的位置关系是 A. 平行 B. 相交 C. 异面且互相垂直 D. 异面但不互相垂直 7. 在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA ⊥ 平面 ABCD，PA = 2，E 为棱 PC 的中点，则下列结论正确的是 A. BE ⊥ DE B. AE ⊥ PC C. AE ⊥ BD D. AC ⊥ 平面 PBD 8. 某装配式建筑的折叠墙板出厂前是一张矩形板 ABCD，AB = 4，AD = 3。现沿对角线 AC 把它折起，使点 D 到达点 的位置（ 不在平面 ABC 内），则下列结论一定成立的是 A. A ⊥ C B. 平面 AC ⊥ 平面 ABC C. A ⊥ 平面 ABC D. B ⊥ C 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 在正方体 ABCD− 中，下列结论正确的是 A. C ⊥ BD B. 平面 BD ∥ 平面 C C. B ⊥ 平面 BC D. ∥ 平面 BC 10. 在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA ⊥ 平面 ABCD，PA = 2，则下列结论正确的是 A. PB ⊥ AD B. PC ⊥ BD C. 平面 PBC ⊥ 平面 PAB D. 平面 PBC ⊥ 平面 PCD 11. 某智能立体车库的一格可看作长方体 ABCD−，其中 AB = AD = 4，A = 6。建立空间直角坐标系，使 A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，D(0, 4, 0)，(0, 0, 6)。则下列结论正确的是 A. 直线 A ⊥ 直线 BD B. 直线 C ⊥ 直线 BD C. 直线 C ⊥ 直线 B D. 直线 B ∥ 直线 C 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在正方体 ABCD− 的 12 条棱中，与棱 A 垂直的棱共有___________条。 13. 某数据中心的一台机柜可看作长方体 ABCD−，其中 AB = 2，AD = 3，高 A = h。以 A 为原点建立空间直角坐标系，使 A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，D(0, 3, 0)，(0, 0, h)。若侧面上的对角线 A 与体对角线 C 互相垂直，则 h = ___________。 14. 在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA ⊥ 平面 ABCD，PA = 2，E 为棱 PB 的中点。在底面的四条棱 AB、BC、CD、DA 中，与直线 AE 垂直的棱共有___________条。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某体育馆的采光顶棚可抽象为四棱锥 P−ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA ⊥ 平面 ABCD，PA = 2。 为加固结构，在棱 PC 的中点 E 处加焊一根横杆，记 AC 与 BD 的交点为 O。 （1）证明：PA ∥ 平面 BDE； （2）证明：平面 BDE ⊥ 平面 PAC。 16. 某装配式建筑使用一块直角三角形的折叠板件。折叠前它是 Rt△ABC，其中 ∠ABC = 90°，AB = BC = 2； D、E 分别是 AB、AC 的中点。现沿 DE 把 △ADE 折起到 △DE 的位置，使平面 DE ⊥ 平面 BCDE。 （1）证明：D ⊥ 平面 BCDE； （2）证明：平面 BC ⊥ 平面 DB； （3）判断直线 E 与直线 BC 的位置关系，并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $