26.2.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 人教版九年级上册 26.2.3 二次函数$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}$的图象和性质 专项练习（约1400字） ## 一(a、b)知识梳理 $y=ax^2+bx+c\ (a eq0)$ 叫做二次函数的**一般式**。图象仍然是抛物线，和顶点式$y=a(x-h)^2+k$是同一个抛物线，两种形式可以互相转化（配方法）。 ### 1. 配方法转化 $$ y=ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a} $$ - 对称轴：$\boldsymbol{(\boldsymbol{直线\ (x=)-\dfrac{b}{2a}})\ (x=)-\dfrac{b}{2a}}$ - 顶点坐标：$\boldsymbol{\left(-\dfrac{b}{2a},\ \dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)}$ ### 2. 函数性质 - $\boldsymbol{(\boldsymbol{(a>0)})}$，开口向上，顶点是最低点 $x<-\dfrac{b}{2a}$，$y$随$x$增大而减小； $x>-\dfrac{b}{2a}$，$y$随$x$增大而增大； 当$(x=)-\dfrac{b}{2a}$，$\boldsymbol{y_{(\boldsymbol{y_{(y_{最小}=-4)}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}})}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$ - $\boldsymbol{(\boldsymbol{a<0})}$，开口向下，顶点是最高点 $x<-\dfrac{b}{2a}$，$y$随$x$增大而增大； $x>-\dfrac{b}{2a}$，$y$随$x$增大而减小； 当$(x=)-\dfrac{b}{2a}$，$\boldsymbol{y_{(\boldsymbol{y_{最大}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}})}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$ ### 3. $(a,(b,c))$的符号判断 1. $a$：看开口。开口向上$\Rightarrow (\boldsymbol{(a>0)})$；开口向下$\Rightarrow (\boldsymbol{a<0})$。 2. $a(a、b)b$：看对称轴$(x=)-\dfrac{b}{2a}$。**左同右异**：对称轴在y轴左侧，$a(a、b)b$同号；对称轴在y轴右侧，$a(a、b)b$异号。 3. $c$：抛物线与$y$轴交点纵坐标。交点在y轴正半轴$\Rightarrow c>0$；交于原点$\Rightarrow c=0$；交于负半轴$\Rightarrow c<0$。 > > 易错提醒 1. 对称轴公式$(x=)-\dfrac{b}{2a}$，负号不能丢； 2. 配方法时，只提取二次项系数$a$，常数项不能直接提出括号； 3. 增减性必须以对称轴分界，不能笼统描述； 4. 区分顶点式与一般式，求顶点可以用配方法，也可以直接套公式。 ## 二(a、b)基础专项练习 ### （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线$y=x^2-4x+1$的对称轴是(\boldsymbol{直线\ (x=)-\dfrac{b}{2a}})（） A.$((x=)2)$ B.$(x=)-2$ C.$((x=)4)$ D.$(x=)-4$ 2. 抛物线$y=-2x^2+8x-3$开口方向(a、b)顶点坐标是（） A.向上，$((2,5))$ B.向上，$(-2,5)$ C.向下，$((2,5))$ D.向下，$(-2,5)$ 3. 抛物线$y=x^2+2x-3$，当$x$取何值时，$y$随$x$增大而减小（） A.$(x>1)$ B.$(x<1)$ C.$x>-1$ D.$x<-1$ 4. 抛物线$y=ax^2+bx+c$开口向上，对称轴在y轴左侧，则（） A.$(\boldsymbol{(a>0)}),(b>0)$ B.$(\boldsymbol{(a>0)}),b<0$ C.$(\boldsymbol{a<0}),(b>0)$ D.$(\boldsymbol{a<0}),b<0$ 5. 点$A(0,y_1),B(3,y_2)$在抛物线$y=x^2-2x$上，则$y_1,y_2$大小关系（） A.$y_1>y_2$ B.$y_1<y_2$ C.$y_1=y_2$ D.无法判断 ### （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 抛物线$y=2x^2-6x+5$，$a=__,(b=)__,c=__$，对称轴(\boldsymbol{直线\ (x=)-\dfrac{b}{2a}})________。 2. 抛物线$y=-x^2+4x$，当$(x=)$****时，$y$有最____值，等于****。 3. 将$y=x^2-6x+5$化成顶点式$y=a(x-h)^2+k$：____________。 4. 抛物线$y=3x^2+2x-1$与y轴交点坐标：________。 5. 抛物线$y=x^2+bx+3$对称轴是(\boldsymbol{直线\ (x=)-\dfrac{b}{2a}})$(x=)1$，则$(b=)$____。 ### （三）解答题（共60分） 1.（16分）已知抛物线$y=x^2-2x-3$ (1) 用公式法求对称轴(a、b)顶点坐标； (2) 写出增减性和最值。 2.（20分）已知抛物线$y=-2x^2+4x+6$。 (1) 化成顶点式； (2) 求顶点坐标(a、b)对称轴； (3) 求抛物线与y轴交点坐标。 3.（24分）已知二次函数$y=x^2+bx+c$，图像过点$(0,-3)$和$(2,-3)$。 (1) 求$(b,c)$的值； (2) 写出抛物线解析式； (3) 求顶点坐标，以及$y$的最值。 ## 三(a、b)参考答案与解析 ### 选择题 1.A 解析：$(x=)-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\times1}=2$ 2.C 解析：$a=-2<0$开口向下；$(x=)-\dfrac{8}{2\times(-2)}=2$，代入$(y=5)$，顶点$((2,5))$ 3.D 解析：对称轴$(x=)-1$，$(\boldsymbol{(a>0)})$，对称轴左侧$y$随$x$增大减小。 4.A 解析：开口向上$(\boldsymbol{(a>0)})$；对称轴在y轴左侧，左同，$(b>0)$。 5.C 解析：$y_1=0$；$y_2=9-6=3$，$y_1<y_2$。 ### 填空题 1.$2；-6；5$；(\boldsymbol{直线\ (x=)-\dfrac{b}{2a}})$(x=)\dfrac32$ 2.$2$；大；$4$ 3.$y=(x-3)^2-4$ 4.$(0,-1)$ 5.$-2$ ### 解答题 1. 解：(1)$a=1,(b=)-2,c=-3$ 对称轴：$(x=)-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\times1}=1$ $\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{4\times1\times(-3)-(-2)^2}{4}=-4$ 顶点$(1,-4)$ (2)$(a=1>0)$开口向上；$(x<1)$，$y$随$x$增大而减小；$(x>1)$，$y$随$x$增大而增大；$(x=)1$，$y_{(\boldsymbol{y_{(y_{最小}=-4)}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}})}=-4$。 2. (1)$y=-2x^2+4x+6=-2(x^2-2x)+6=-2(x^2-2x+1-1)+6=-2(x-1)^2+8$ (2)顶点$((1,8))$；对称轴(\boldsymbol{直线\ (x=)-\dfrac{b}{2a}})$(x=)1$ (3)令$(x=)0$，$(y=6)$，与y轴交点$((0,6))$。 3. (1)代入$(0,-3)$：$c=-3$； 代入$(2,-3)$：$4+2b-3=-3$，解得$(b=)-2$ (2)解析式：$y=x^2-2x-3$ (3)$(x=)-\dfrac{-2}{2}=1$，代入得$y=-4$，顶点$(1,-4)$；$(\boldsymbol{(a>0)})$，(\boldsymbol{y_{(y_{最小}=-4)}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}})值$-4$，无(\boldsymbol{y_{最大}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}})值。 ## 四(a、b)练习小结 一般式$y=ax^2+bx+c$是顶点式的展开形式，求顶点两种方法：**配方法(a、b)公式法**，公式$(x=)-\dfrac{b}{2a}$一定要记牢。 $a$控制开口；$a(a、b)b$满足“左同右异”判断对称轴位置；$c$是抛物线与y轴交点纵坐标。 核心考点：配方(a、b)求对称轴顶点(a、b)增减性(a、b)最值(a、b)$(a,(b,c))$符号判断，是本章综合题基础。 后续学习抛物线与x轴交点(a、b)一元二次方程关系都以一般式为主。（全文1392字） 需要我生成**不带答案的学生版**，方便直接打印做题吗？ 人教版数学（新教材）九年级上册 26.2.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/10 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十六章 二次函数 会用配方法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，探索并掌握二次函数的性质. 新课导入 导入课题 问题: 说说画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的要点是什么？ y O x y=a(x-h)2+k h k -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 开口方向： 对称轴： 顶点： 向下 x=-1 (-1，-1) 抛物线的开口大小由 决定 |a| 怎么画二次函数y=ax2+bx+c的图象? 思考：对于二次函数  ，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 我们知道，像y=a(x-h)2+k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗？ 探究新知 探究新知 根据前面的学习，可以先画出二次函数  的图象，然后把这个图象向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，就得到二次函数y-6x+21  的图象.     思考： 还有其他平移方法吗？ 把抛物线  向上平移 3 个单位长度，再向右平移 6 个单位长度，就得到抛物线y-6x+21 . 探究新知 思考： 能直接画出二次函数 y-6x+21的图象吗？ 由配方的结果可知，抛物线y-6x+21 的顶点是(6.3)，对称轴是x=6. 先利用图象的对称性列表： x ⋯ 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ y= ⋯ 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 ⋯ 然后描点画图，得到  的图象. 探究新知 从二次函数  的图象可以看出： 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 也就是说，当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x=6 时，y 取最小值，最小值是 3. 探究新知 画二次函数  的图象的方法 (1) 描点法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式； ② 确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线. 探究新知 画二次函数  的图象的方法 (2) 平移法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式，明确顶点 (h，k)； ② 作出抛物线y=ax2； ③ 将抛物线 y=ax2平移，使其顶点平移到 （h，k ）处. 探究新知 知识点1 与 的关系 1.[重庆渝中区期末] 用配方法将二次函数 化成 的形式为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 11 2.若可配方为，则____， ____. 返回 举一反三 12 例1 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； 解：(1) ， ∴该二次函数图象的开口向下， 对称轴是直线 ，顶点坐标是(1,5) . 探究新知 例1 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数 y=-2x2+4x+3的图象，并指出抛物线   y=-2x2+4x+3是由抛物线 y=-2x2 经过怎样的平移得到的； 解：(2) 列表如下： x ⋯ −1 0 1 2 3 ⋯  y=-2x2+4x+3 ⋯ −3 3 5 3 −3 ⋯ 描点、连线，二次函数 y=-2x2+4x+3的图象如图所示. 将抛物线 y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线 y=-2x2+4x+3. 探究新知 例1 解：(3)当x>1时，y随x的增大而减小. 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (3)对于二次函数 y=-2x2+4x+3，当  取何值时， 随  的增大而减小？ 探究新知 探究：你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ y=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3，其图象如图所示. 将抛物线y=-2x2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数y=-2x2-4x+1的图象. 抛物线y=-2x2-4x+1的开口向下，顶点为(-1，3)，对称轴为直线x=-1. 在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降. 也就是说，当x<-1时，y随x的增大而增大；当x>-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，y取最大值，最大值是3. 探究新知 一般地，我们可以类似地研究二次函数 的图象和性质. 通过配方，可以将二次函数 化成 因此，抛物线 的对称轴是 ，顶点. 探究新知 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a > 0， 那么当 x < 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x > 时，y 随 x 的增大而增大； 因此，当 a > 0时， 抛物线 的顶点是最低点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最小值. 探究新知 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a < 0， 那么当 x < 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x >时，y 随 x 的增大而减小. 因此，当 a < 0时， 抛物线 的顶点是最高点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最大值. 探究新知 函数  y=ax2+bx+c (a>0)  y=ax2+bx+c (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 () 对称轴 直线 x=− 增减性 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x> 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>​​ 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=​时，y最小值​= 当 x= 时，y最大值​= 二次函数  的图象和性质 探究新知 知识点2 二次函数 的图象与性质 3.[咸阳期中] 下列抛物线中，开口方向与其他三个不同的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 21 4.二次函数 的图象的顶点坐标是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 22 5.抛物线 的对称轴是( ) C A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 返回 举一反三 23 6.二次函数 的图象大致是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 24 7.已知二次函数，当函数值随的增大而增大时， 的 取值范围是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 25 8.[徐州中考] 二次函数 的最小值为_ _. 返回 举一反三 26 9.若，是抛物线 上的两个点，则它的对称轴 是__________. 直线 返回 举一反三 27 10.［教材P 43练习T 1 变式］通过配方分别写出下列抛物线的开口方向、 对称轴和顶点坐标，并说出随着的增大， 的变化情况. （1） ; 解： ， 故抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 . 当时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小. 举一反三 28 （2） ; 解： ， 故抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 . 当时，随的增大而减小，当时，随 的增大而增大. （3） ； 解： ，故抛物线的开口向上，对称轴 为直线，顶点坐标为 . 当时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小. 举一反三 29 （4） . 解： ，故抛物线的开口向下，对 称轴为直线，顶点坐标为，当时，随 的增大而减小， 当时，随 的增大而增大. 返回 举一反三 30 知识点3 二次函数 的图象的平移 11.将抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度，所得抛物线的解析式为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 31 12.将抛物线平移得到抛物线 ，则需将 原抛物线先向左平移___个单位长度，再向____平移___个单位长度. 2 下 4 返回 举一反三 32 13.二次函数 的图象如图所 示，则下列结论中不正确的是( ) D A. B.图象与轴的负半轴交于点 C.函数的最大值为 D. 返回 举一反三 33 14.二次函数为常数的图象经过点 ，其 对称轴在 轴左侧，则该二次函数有( ) D A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 返回 举一反三 34 15.已知二次函数，当 时，函数取 得最大值；当时，函数取得最小值，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 35 16.[广州中考] 若抛物线 的顶点在直线 上，则 的值为_ ______. 1或 返回 举一反三 36 y=ax2+bx+c (a ≠0) (一般式) (顶点式) 配方法 画法 图象 性质 描点法：列表 → 描点 → 连线 平移法： 上加上减常数项， 左加右减自变量 当  时，有最小值 当  时，有最大值 当  时，在对称轴右侧  随  的增大而增大，在对称轴左侧  随  的增大而减小 当  时，在对称轴右侧  随  的增大而减小，在对称轴左侧  随  的增大而增大 开口方向 ，开口向上 ，开口向下 对称轴：直线  顶点坐标：（） 增减性 最值 课堂小结 谢谢观看 THANKS $