期中摸底卷2026-2027学年苏科版九年级数学上册

2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中摸底卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（     ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 解，得或． ∵，即， ∴． 2．已知一元二次方程有解，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有解， ， 且， ∴且． 3．已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数中，结合反比例函数性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得， A. ∵， ∴ 图象位于第二、四象限，不位于第一、三象限，A错误， B. 当时，只有在每个象限内随的增大而增大，选项未限定象限，B错误， C. 当时，， ∴ 图象不经过点，C错误， D. 当时，∵， ∴ . 又∵，可得，两边同乘得， ∴ ，D正确． 4．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于时，气球体积的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出，的值，最后根据反比例函数的增减性判断范围． 【详解】解：设， 将点代入，得， ∴， 令，得， ∵在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． 5．若是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把一元二次方程化为一般形式，再利用根与系数的关系可得，，对所求的代数式进行整理变形，最后整体代入进行计算即可． 【详解】解：把一元二次方程化为一般形式，得， 根据根与系数的关系可得：， ∴． 6．已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由原方程的已知根推导出的一个根，结合，利用根与系数的关系求另一根． 【详解】解：∵ 一元二次方程有一个根为， ∴ ， 两边同乘得：，即 ， ∴ 是方程的一个根； 设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得：， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】过点D作轴于点E，根据k的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得 k，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E， 对角线轴， , 四边形是矩形， ， k， ∵菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，点是正方形对角线的交点，且点，恰好在反比例函数图象的同一分支上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴，证明，得到，，分别表示出点和点的坐标，再根据反比例函数上的点横纵坐标的乘积相等列方程． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 四边形为正方形， ，， ， 轴， ， ， 在和中， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ， 点的坐标为， 点是正方形对角线的交点， 点的坐标为， 点，恰好在反比例函数图象的同一分支上， ， 解得或， ， ． 9．如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用矩形性质得出为定值1，确定点的轨迹是以为圆心、1为半径的圆，当与该圆相切时最大，利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， ，，， 四边形为矩形， ， ∵为中点， ∴为矩形对角线的交点， ， 半径为2，即， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 当与此圆相切时，度数最大， 此时， 在中，，， ． 10．如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，可得，从而得阴影部分的面积，结合扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵在中，， ∴是的中线， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 二、填空题（每题3分） 11．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【答案】60 【分析】首先根据题意确定与的函数关系，然后将代入计算即可． 【详解】解：根据题意，将点代入， 可得， 即该汽车的功率P（瓦）为一定值，可得， 当它所受牵引力为1000牛时， 汽车的速度为（米/秒）． 12．已知，则________． 【答案】 【分析】将看作整体，用换元法解一元二次方程，再根据方程是否存在实数根舍去不合题意的解，得到结果． 【详解】解：设，原方程可化为， ， 因式分解得， 解得，， 当时，方程为， 整理得， ∵， ∴该方程无实数根，舍去， 当时，方程， 整理得， ∵，该方程有实数根 ∴． 13．已知关于x的一元二次方程，如果方程的两个实数根与满足，则m的值是______． 【答案】 【分析】先利用根与系数的关系得到两根和与两根积的表达式，再将已知等式变形，得到关于的方程，求解后验证即可得到的值． 【详解】解： ∵原方程为关于的一元二次方程，且有两个实数根， ∴计算判别式得 ， ， ∴对任意实数，方程都有两个实数根， ∵，是原方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵， ∴通分变形得， 代入和的表达式得， 两边同乘，且， 得， 整理得， 解得， 经检验，得，符合条件． 14．一列高铁减速进站，速度（），平均速度，行进距离；若高铁从开始减速已经前进了，此时高铁的速度为______． 【答案】 【分析】根据题意求出的值，进而求出平均速度，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当时，，即， ∴平均速度， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去，此时）， ∴． 15．已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、．若顶点的坐标是，，则的面积是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出两点的坐标，即可求出的面积，用矩形的面积减去上面三个三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：四边形是矩形，点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 代入得：， ， ， 由题意知：点的纵坐标为，代入得：， 点的坐标为， ，， ， ． 16．如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】过点O作于点D，延长OD交 于点E，根据等腰三角形的性质得到，证明．得到．由勾股定理得到．设，则．由勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得． ∴． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)的值为或 【分析】（1）计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到，，结合的条件，得到关于的一元二次方程，解方程即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∴的值为或． 18．小明计划用气球布置生日场地，已知在气球内充入一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知这批气球内的气压超过时，气球会爆炸，为了保证气球不爆炸，气球内气体的体积应不小于多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设p与V的函数解析式为， 由图象可知， ∴p与V的函数解析式为； （2）解：当时， ． ， ∴p随V的增大而减小． 答：气球内气体的体积应不小于． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)的值为 (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线交轴于点，先求出，设，则，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； （3）解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 则或． 20．某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） (1)请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； (2)若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； (3)若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 元或元 (3) 【分析】（1）根据表中所示规律求出售价为元时的日销量即为的值； （2）设该日此种商品每件的售价是元，列一元二次方程求解即可； （3）分别列出表示日销量是件和件时的日利润，根据日利润相等可得等式为整理得到、的关系即可． 【详解】（1）解：由规律可知销售价格每增加元，日销量减少件， ； （2）解：设该日此种商品每件的售价是元，则每日的销售量为件， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 答：每件商品售价是元或元时，该种商品的总利润为元； （3）解：商品每件的售价是元，由每日的销售量为件， 当销量为件时，可得：， 该商品的售价是元/件， 同理可得：当销量为件时，该商品的售价是元/件， 根据题意可得：， 整理得：， ， ， 即， 答：当时，销售该商品的日利润相同． 21．如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，已知，． (1)求劣弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据等腰三角形性质求出，进而得到劣弧所对的圆心角的度数，再结合弧长公式（n为圆心角，r为半径）计算． （2）观察图形可知，阴影部分的面积等于扇形的面积减去的面积，扇形面积利用公式（n为圆心角，r为半径）计算，三角形面积公式可通过辅助线作高进行计算． 【详解】（1）解：， ， ， ． ， 的半径为4， 的长． （2）如图，过点D作于点H． 在中，，， ∴，则， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 22．一次函数的图像记为，二次函数的图像记为，其中为常数，． (1)当过点时，求的值； (2)求证：与一定有交点； (3)点与点分别在，上，若且，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)证明：令，得， 整理得， ， 该方程是关于的一元二次方程， 其判别式， ， 该一元二次方程总有实数根，即与一定有交点； (3)线段的最大值为 【分析】（1）将点代入，即可求解； （2）令，得，整理得，由于，得到该方程是关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式即可求解； （3）由题意可得，，则，结合得到，令，根据二次函数的性质求出的最大值即可． 【详解】（1）解：将点代入得 ， 解得； （2）略 （3）解：点与点分别在，上， ，， ， ， ， ， 令， 该函数开口向上，对称轴为直线，则当时，函数有最小值为， ， ，，且， 当时，取最大值，最大值为， 线段的最大值为． 23．如图，在中，点C是直径上方半圆上的一个点，直径平分非直径弦于点G，点E是上一点（不与重合），过点E作，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：直径平分非直径弦， ，即． ， 即， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查圆综合题、垂径定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用圆的有关性质解决问题． （1）由垂径定理可得，即，可得，再证明，可得，再证明，可证得； （2）连接，先证得四点是在以为直径的圆上，再由，可得三点是在以为直径的圆上，再由，可得以为直径的圆和以为直径的圆是等圆，再得，可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ， 即， 四点是在以为直径的圆上， ， 三点是在以为直径的圆上， ， 以为直径的圆和以为直径的圆是等圆， ，即， ． 24．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中摸底卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.若关于x的方程(a+3列x州+-3=0 一元二次方程，则a的值是() A.1 B.-3 C.1或-3 D.0 2.己知一元二次方程a-2列r-2x+1=0 解，则a的取值范围是() A.a<2 B.a≤3 C.a<3且a≠2 D.a≤3且a≠2 6 3.己知反比例函数少=一x,下列结论正确的是() A.图象分别位于第一、三象限 B.y随x的增大而增大 2,3) C.图象经过点 D.当x>2时，-3<y<0 4,某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(P)是气球体积”(m)的 反比例函数，其图象如图所示.当气球内气体的气压不大于192kPa时，气球体积的范围是() p/kPa (1.6,60) 60--- 0 1.6 V/m3 A.V≤0.5 B.0<V≤0.5 c.V>0.5 D.V≥0.5 5.若是一元二次方程5=4-2x的两根，则-+5 的值是() 号 6 6 c.-5 B.5 D.5 1 6.已知一元二次方程m2+bx+c=0(a≠0)有一个根为2026，且b+2c=0,则方程x2+bx+a=0一定有 一个根为() A.-2020 B.-2022 C.-2024 D.-2025 6 7.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,D都在反比例函数y=(x>0)的图象上，顶点 x 试卷第1页（共3页） B,C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线BD∥x轴.则菱形ABCD的面积为() B D A.3 B.12 C.-6 D.6 8.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C的坐标为(m,O),顶点D的坐标为(O,2),点P是 正方形ABCD对角线的交点，且点A,P恰好在反比例函数图象的同一分支上，则m的值为() yA P D A.3 B.2 C.6 D.32 9.如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作 PM⊥AB于M,PN⊥CD于N,点O是MN的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程 中，当∠QCN度数取最大值时，线段CQ的长为() A.2 B.1 c v3 D.3-1 10.如图，在△ABC中，AB=AC,AB、BC分别交⊙0于点D、E,AC为⊙O的直径，连接AE,若 ∠BED=45°，AB=8,则阴影部分的面积为() 试卷第2页（共3页） π A.2 B.3 C.2π D.4π 二、填空题（每题3分） 11.汽车的功率P(瓦)与行驶速度v(米秒)和汽车所受的牵引力F(牛)之间的关系为P=v.某汽 车的功率P(瓦)为一定值，汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如 图所示.当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为米/秒. v(米/秒) 50 40 30 20 9 10002000300040005000F/牛 12.已知（-+32--10=0，则-x= 13.已知关于x的一元二次方程 x2+2(2-m)x+3-6m=0 如果方程的两个实数根与满足 1+1=-1 x,则m的值是一 14.一列商铁减速进站，速度y=-51+100（ms),平均速度"=当兰 2，行进距离，=v1:若高铁从 开始减速已经前进了937.5m,此时高铁的速度为_ms. 15,已知年形04BC的阿念边O4OC分别落在正羊轴与y正半辅上，反比制同数-生〔>0的图 象经过点B,片=， x>0)的图象分别与BC、AB交于点DE:若顶点B的坐标是(84)：AE=BE 则△ODE的面积是 试卷第3页（共3页） C 16.如图， 0MOB,OC都是O 0的半径，∠4CB=∠B0C.若4B=8,BC=25.则01的长为 三、解答题（每题9分，共72分） 17.关于的一元二次方程-(2k+x+2+k-2=0 (1)求证：方程有两个不相等的实数根： ②已知方程的两个实数根分别为，云，且+5=29， 求的值。 18.小明计划用气球布置生日场地，己知在气球内充入一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的 压强p(kPa)是气体体积V(dm)的反比例函数，其图象如图所示. p/kPa 210-A(6,210) 06 前idmd (1)求反比例函数的解析式： (2)已知这批气球内的气压超过l4OkP时，气球会爆炸，为了保证气球不爆炸，气球内气体的体积应不小 于多少？ 19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数乃=x+1的图象与反比例函数片=x（k为常数，k≠0)的 图象交于A、B两点，点A的横坐标为1. 试卷第4页（共3页） (1)求k的值： k (②)关于x的不等式x+l>,的解集为： (3)若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，直接写出点P的坐标. 20.某商场以进价100元/件购进某种新商品，在5月份试销售阶段发现，在售价不低于130元/件的情况下 每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格 130 135 140 145 150 180 (元) 日销售量 70 65 60 55 50 a (件) (I)请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的a值为： -； (2)若某日该种商品的总利润为2400元，求该日此种商品每件的售价： (3)若售货员小李发现销售该种商品m件与n件的日利润相同，且m≠n,请求出m与n所满足的关系式. (要求：用含n的代数式表示m) 21.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙0交AC于点D,连接OD,已知∠BAC=30°， AB=8 B (I)求劣弧BD的长： 试卷第5页（共3页） (2)求阴影部分的面积. 2.一次函数1=X- C 的图像记为，二次函数 y2=nx2-n'x-x+n 的图像记为C,其中”为常数， n≠0 0当C过点L0)。 时，求”的值： (2)求证： G与C-定有交点： 6点4(mP)与点B(m9)分别在S,G上，若m-n=2且2≤n≤2，求线段4B的最大值。 23.如图，在⊙O中，点C是直径AB上方半圆上的一个点，直径AB平分非直径弦CD于点G,点E是 C上一点（不与小C重合》，过点卫作 F⊥AB,EH⊥OC 垂足分别为RH,连接H E B F O (1)求证：∠OCD+∠FEH=90°， (2)若CD=3,求FH的长. 24.直线y=-+6与双曲线y= （x<0)交于点A(-1,6),与x轴交于点B,点C是线段AB上一点. 备用图 (1)求k,b的值： 试卷第6页（共3页） ②如图，过点C作v轴的垂线1,1与y= x（x<0)的图象交于点D,当线段CD=10时，求点D的坐标； (③)双曲线y=x(x<0)上是否存在点B,使得△COE是以0C为直角边的等腰直角三角形，若存在， 求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第7页（共3页）