精品解析：山西太原市小店区九一实验学校2026—2027学年第一学期9月学情自测九年级数学试卷

九一实验学校2026－2027第一学期9月检测 九年级数学学科试卷 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点间距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是菱形，．则菱形的面积（ ） A. B. 16 C. D. 5. 在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线于点O，点、、、分别为边 、 、 、 的中点，顺次连接和得到四边形．若则四边形的面积等于（ ） A. 45 B. 40 C. 20 D. 18 7. 某校开展师生阅读活动，打造书香校园，据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（ ） A. 当时，是菱形 B. 当时，是矩形 C. 当时，是菱形 D. 当时，是矩形 9. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 10. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，学校计划在一张的矩形展板上设计一幅活动宣传海报，需在展板内部划分出4个宣传文字区域（图中的阴影部分）．要求文字区域与展板左、右、下边缘的间隔以及4个文字区域之间的间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是．若要使整个文字区域的面积占整个版面面积的，则根据题意可列出的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使矩形成为正方形，应添加的一个条件是______． 13. 关于x的一元二次方程的两个根分别是m，n，则______． 14. 如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为_______． 15. 如图，正方形的边长为4，点E是的中点，垂直平分且分别交、于点H、G，则的长为______． 三、解答题（共5小题） 16. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如下： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ，⑥ （1）小颖解方程的方法是______． （2）小颖的解答过程从第______步开始出错，其错误的原因是______ （3）请你写出此题正确的解题过程． 17. 解下列方程： （1） ； （2）； （3）（公式法）； （4）（配方法）． 18. 如图，延长的边到点F，使得，连接，若，求证：四边形是矩形． 19. 国庆期间，山西作为全国古建筑遗存最多的省份迎来了巨大的客流量，古建游火爆出圈．某文创商店销售一款冰箱贴，每枚的进价为20元，售价为28元，平均每天可售出100枚．为了扩大销量，该店计划降价销售，根据经验，售价每降低1元，平均每天可多售出4枚．当每枚冰箱贴的售价定为多少时，每天的销售利润为560元？ 20. 综合与实践 如图，四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． （1）如图1，当点E是线段的中点时，以为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； （2）如图2，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段于点F，以为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，请证明你的结论，如果不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，连接．试探究的数量关系，直接写出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九一实验学校2026－2027第一学期9月检测 九年级数学学科试卷 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将一元二次方程变形为一般形式，可知二次项系数为，常数项为． 故答案为：B 2. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：方程的判别式，有实数根． B选项：方程的判别式，有实数根． C选项：方程的根为，，有实数根． D选项：方程的判别式，没有实数根． 3. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，恰好互相垂直， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，两点间距离为， 故选：． 4. 如图，四边形是菱形，．则菱形的面积（ ） A. B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质．根据菱形的性质可得是等边三角形，，在中，根据含特殊角的直角三角形的性质可求出的长，由此可求出的长，根据菱形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5. 在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与二次函数关系．根据题意可知函数值正负之间即为一个根的范围． 【详解】解：∵，， ∴一元二次方程的一个根x的大致范围是：， 故选：C． 6. 如图，四边形的对角线于点O，点、、、分别为边 、 、 、 的中点，顺次连接和得到四边形．若则四边形的面积等于（ ） A. 45 B. 40 C. 20 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明四边形 是矩形，利用三角形中位线定理，求出可得结论； 【详解】∵点 、、、分别为边 、 、 、 的中点 ∴、分别是 、 的中位线 ∴且 且 ， ∴， 同理 ∴四边形 是平行四边形 又∵ ∴ ∴ ∴四边形 是矩形 ∵ ∴四边形的面积． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；由三角形中位线定理证出四边形 是平行四边形是解决问题的突破口． 7. 某校开展师生阅读活动，打造书香校园，据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设九年级师生阅读人次的周平均增长率为． 由题意得． ∴． 解得，（舍去）． 8. 如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（ ） A. 当时，是菱形 B. 当时，是矩形 C. 当时，是菱形 D. 当时，是矩形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、当时，是矩形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，故此选项错误； B、当时，是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误； C、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，推出，判定平行四边形是菱形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得；故此选项正确； D、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，因此，判定平行四边形是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误． 9. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 10. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，学校计划在一张的矩形展板上设计一幅活动宣传海报，需在展板内部划分出4个宣传文字区域（图中的阴影部分）．要求文字区域与展板左、右、下边缘的间隔以及4个文字区域之间的间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是．若要使整个文字区域的面积占整个版面面积的，则根据题意可列出的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是，根据“要使整个文字区域的面积占整个版面面积的，”列出方程，即可． 【详解】解：设间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是，根据题意得： ， 即． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 12. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使矩形成为正方形，应添加的一个条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，即可解答． 【详解】解：可添加条件是， 理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形． 13. 关于x的一元二次方程的两个根分别是m，n，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，代入式子计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根分别是m，n， ∴，， ∴． 14. 如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，则．根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． 围栏段的长为， 故答案为：5． 15. 如图，正方形的边长为4，点E是的中点，垂直平分且分别交、于点H、G，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，正方形的性质，勾股定理等，连接，根据线段垂直平分线性质可得，根据正方形的性质可得，根据点E是的中点求得，设的长为x，则的长为，根据勾股定理即可求得的值，然后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：连接， 在边长为4的正方形中，， ， 垂直平分， ，，， ∵点E是的中点， ， ∴， ∴， 设的长为x，则的长为， 在和中， ， 即， 整理得，， 即， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（共5小题） 16. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如下： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ，⑥ （1）小颖解方程的方法是______． （2）小颖的解答过程从第______步开始出错，其错误的原因是______ （3）请你写出此题正确的解题过程． 【答案】（1）配方法 （2）②，等式右边没有除以2 （3）解：， ， ， ， ， ∴，． 【解析】 【分析】（1）由小颖的解法可得结论； （2）根据配方法的步骤判断即可； （3）利用配方法解决问题． 【小问1详解】 解：小颖解方程的方法是：配方法 【小问2详解】 解：小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； 【小问3详解】 略 17. 解下列方程： （1） ； （2）； （3）（公式法）； （4）（配方法）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得 【小问2详解】 解： 整理得 因式分解得 或 解得 【小问3详解】 解： 这里 ∴ 即 【小问4详解】 解： 移项得 配方得 即 开方得 解得 18. 如图，延长的边到点F，使得，连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴． ∵ ∴ 又∵，即 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴四边形ABFC是矩形． 【解析】 【分析】先证明、AB=CF，可得四边形ABFC是平行四边形，再由AD=BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 19. 国庆期间，山西作为全国古建筑遗存最多的省份迎来了巨大的客流量，古建游火爆出圈．某文创商店销售一款冰箱贴，每枚的进价为20元，售价为28元，平均每天可售出100枚．为了扩大销量，该店计划降价销售，根据经验，售价每降低1元，平均每天可多售出4枚．当每枚冰箱贴的售价定为多少时，每天的销售利润为560元？ 【答案】当每枚冰箱贴的售价定为25元时，每天的销售利润为560元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每枚冰箱贴的售价降低x元，则每天可售出枚，根据“每天的销售利润为560元”列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设每枚冰箱贴的售价降低x元，则每天可售出枚． 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． （元）． 答：当每枚冰箱贴的售价定为25元时，每天的销售利润为560元． 20. 综合与实践 如图，四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． （1）如图1，当点E是线段的中点时，以为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； （2）如图2，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段于点F，以为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，请证明你的结论，如果不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，连接．试探究的数量关系，直接写出结论． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，点E是线段的中点， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：四边形还是正方形，证明如下： 如图所示，过点E作于点Q，于点P， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，据此可证明矩形是正方形； （2）过点E作于点Q，于点P，可证明四边形是正方形，得到；证明，得到，则可证明矩形是正方形； （3）证明，得到，由勾股定理得，则，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， 由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $