山西省太原市小店区山西大学附属中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试题

山大附中2025~2026学年第一学期初三10月巩固数学一一答案 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.将方程2x2-1=6x化成一元二次方程的一般形式，正确的是() A.2x2-6x+1=0B.2x2+6x+1=0C.2x2+6x-1=0D.2x2-6x-1=0 【答案】：D 2.若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 【答案】：C 3.下列表格是关于代数式x2+12x-15在x取部分值时的对应情况. x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 请根据表格判断，关于方程x2+12x-15=0的一个正根x的范围是() A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 【答案】：B 4.如图，菱形ABCD的面积为10，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点，则 四边形EFGH的面积为() A. B.5 C.4 D.8 【答案1：B 第1页（共13页） 5.如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点，连接DF,若 BE=AF,则∠CDF的度数为() D B E C A.45° B.60° C.67.5° D.77.5 【答案】：C 6.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明 家有一个菱形中国结装饰，简化如图，在菱形ABCD中，测得BD=I2cm,AC=I6cm,直线EF⊥AB 交两对边于点E,F,则线段EF的长为() A.8cm B.10cm C. 48 D. 96 【答案】：C 7.如图，在矩形ABCD中，AB=4,CE=10,点G是线段AD上一个动点，连接CG并延长， 交BA延长线于点E,以点B为圆心，BG长为半径作弧，交CE于点F,当点F为CE中点时， AG的长度为() G D A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】：B 第2页（共13页） 8.如图，在对边平行的木板上有两点A,B及线段AB的中点O,以下操作和判断不正确的是 () B A.过点O作任意直线（除直线AB)交纸条两边于点C,D,得到平行四边形ACBD B.过点O作AB的垂线I交纸条两边于点C,D,得到菱形ACBD C.分别过点A,B作对边的垂线，交对边于点C,D,得到矩形ACBD D.在点A,B所在边的对边分别取C,D两点，使得AC=BD,得到平行四边形ACBD 【答案l:D 9.如图，边长为10cm的正方形纸片ABCD,剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形.再沿 着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A,B,C,D正好重合于上底面一点，且此长方 体盒子的表面积为36cm2,其中AE=BF.若设AE的长为xcm,则下列方程正确的是() D A.(10-2x)2=100-36 B.10-2xy=10-36 C.(10-2x)x.4+2x2=36 D.100-2x2=36×2 【答案】：A 10.如图，在矩形ABCD中，AB=13,AD=24,P是边AD上一点（不与点A,D重合)，连接 PB,先将△ABP沿直线BP翻折，点A的对应点为E.若点B关于直线PE的对称点F恰好落 在CD边上，连接PF,EF,则AP的长为() D E A号 B.8 c D. 【答案1：C 第3页（共13页） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.下表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx=6的根是 … -3 -2 -1 0 1 2 3 ax2+bx 12 6 2 0 0 2 6 12 【答案1：x=-2,x2=3 12.如图所示的是木制活动衣帽架，由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节B,O间 的距离.若菱形边长AB=16cm,调节B,O间的距离到48cm,则∠A= 【答案】：60 13.新定义运算：a⑧b=a2+b-b,例如3⑧2=3+2-x3×2=9+2-3=8,则方程x⑧4=3的 解为 【答案】：x=x2=1 14.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE,R1△EFG的两直角边EF,EG分 别交BC,CD于点M,N.若正方形ABCD的边长为2，则重叠部分四边形EMCN的面积 为 D 【答案】： 16 第4页（共13页） 15.如图1，△ABC中，∠BCA=90°，AB=10,将其分割成I、IⅡ、II三部分，然后再拼成如 图2的菱形PQMN(不重叠、无缝隙)，若NH-PG=2,则QH的长为 C b Ⅲ E B H M (图1) (图2) 【答案】： 5 【解析】： :四边形POMN是菱形， ∴.PN=MW=Pg=OM, :.CD=BE=AE=AB=5,CF=BF=PG,QH=DE,HM=AD, 2 :∠ACB=90°， .AC2+BC2=AB2, C .AB=10,AC=NH=2+PG=2+CF, F (2+CF)2+(2CF)2=102, .CF=4(负值舍去)， W E B .BC=8,AC=6, (图1) 过C作CN⊥AB于N, S=号4C-ac=4B-Cw, ..CN=AC.BC_6x8_24 AB105 N=ac-o-w=m-o-号 40=w-DN-号 ·OH=DE=5- 1_4 551 第5页（共13页） 三、解答题（本题共7小题，共55分） 16.（本题共两个小题，每小题4分，共8分)用适当的方法解下列一元二次方程： (1)x2-3x=1: (2)2x(x-2)=6-3x. 9八*4 解：天-3x+ 9 解：2.x(x-2)=3(2-x) -号 2x(x-2)=-3(x-2) (2x+3)(x-2)=0 2 =3t因 2x+3=0或x-2=0 2 2 3+33-3 ∴x= 2 =子2 17.(8分)如图，在四边形ABCD中，BAlI CD,且AB=AD=CD,连接对角线BD,己知BD⊥CB. (1)实践与操作：利用尺规作线段CD的垂直平分线，交CD于点E,交CB于点F,(要求： 尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)猜想与证明：连接BE,判断四边形BEDA的形状，并说明理由. B D 【答案】： (1)如图所示，直线EF即为所求， (2)解：四边形BEDA是菱形， 理由：由(1)可知点E为CD中点， BD⊥CB, 第6页（共13页） ∴.∠CBD=90°， 在Rt△CBD中，∠CBD=90°，BE为CD边上中线， :BE=DE=CD, 2 ”B=AD=CD, ∴.AB=AD=DE=BE, AB∥CD,AB=DE, ∴.四边形BEDA是平行四边形， .AB=AD, ∴.平行四边形BEDA是菱形. 18.(6分)某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下， 围一块面积为96m的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙 长15m,另外三面用27m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆).求这个 茶园的长和宽. 【答案】： 解：设这个茶园的宽为x米，则长为(27+1-2x)米，根据题意可得： x(27+1-2x)=96, 整理得：x2-14x+48=0 解得：x=6,x2=8, 由题意知：0<28-2x≤15， 解得：≤x<14, 所以x取8， 此时，28-2.x=12, 答：这个茶园的长为12米，宽为8米. 第7页（共13页） 19.(6分)如图，在RtAABC中，∠C=90°，两锐角的平分线AD,BE相交于点O,OF⊥AC于 点F,OG⊥BC于点G,求证：四边形OGCF是正方形 0 【答案】： 证明：如图，作OH⊥AB于H点， :OF⊥AC于点F,OG⊥BC于点G, .∠OGC=∠OFC=90°. .∠C=90°， H :.四边形OGCF是矩形. :AD平分∠BAC, ..OH=OF DG :BE平分∠ABC, ..OH=0G, ∴.OF=OG, :.矩形OGCF是正方形. 20.（10分)2025年9月21日早晨7：30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕.来自全 球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市，据统计， 全程马拉松比赛的报名选手从2023年的7500人增加到2025年的14700人. (1)求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率： (2)某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套224元的原价，打包售卖运 动能量包，平均每日卖出30套.比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低8元， 每日可多卖出5套，每日最多可打包70套，已知平均每日收到货款为10920元，则每套降价 多少元？ 【答案】： 第8页（共13页） (1)解：设全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为x,根据题意可得： 7500(1+x)2=14700, 解得：x=0.4=40%,x2=-2.4（舍) 答：全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为40%. (2)解：设每套降价a个8元，则平均每日可卖出(30+5a套，根据题意可得： (224-8a)(30+5a=10920, 整理得：a2-22a+105=0 解得：a1=7,a2=15, 由题意知：30+5a≤70， 解得：a≤8， 所以a取7， 此时，8a=56, 答：每套降价56元. 21.(6分)阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方 程x2+5x-14=0,即x(x+5)=14的方法.首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积 是(x+x+5)2,其中四个全等的小矩形面积分别为x(x+5)=14,中间的小正方形面积为52，所以 大正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得原方程的正数解为x=2. x+5 X x+5 x+5 图1 图2 图3 第9页（共13页） 任务：（1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程x2-3x-10=0 解法的正确构图是 (从序号①②③中选择)： ① ③ ③ (2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求得方程 x2+2x-15=0的正数解为 (3)一般地对于形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形 构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为√5.那么a=一，b=一， x= 【答案】： (1)②： (2)x=3: C 2x+2 2x+2 ---r- --- +2 7--C 2 图2 (3)±5,5,5±⑤ 2 第10页（共13页）山大附中2025~2026学年第一学期初三10月巩固数学 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.将方程2x2-1=6x化成一元二次方程的一般形式，正确的是() A.2x2-6x+1=0B.2x2+6x+1=0C.2x2+6x-1=0D.2x2-6x-1=0 2.若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 3.下列表格是关于代数式x2+12x-15在x取部分值时的对应情况， 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 请根据表格判断，关于方程x2+12x-15=0的一个正根x的范围是() A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 4.如图，菱形ABCD的面积为10，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点，则 四边形EFGH的面积为() E B A B.5 C.4 D.8 5.如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点，连接DF,若 BE=AF,则∠CDF的度数为() D E A.45° B.60° C.67.5° D.77.5° 6.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明 家有一个菱形中国结装饰，简化如图，在菱形ABCD中，测得BD=I2Cm,AC=I6cm,直线EF⊥AB 交两对边于点E,F,则线段EF的长为() B.10cm C. 48 D. 96 A.8cm 7.如图，在矩形ABCD中，AB=4,CE=10,点G是线段AD上一个动点，连接CG并延长， 交BA延长线于点E,以点B为圆心，BG长为半径作弧，交CE于点F,当点F为CE中点时， AG的长度为() G D A.2 B.3 C.4 D.6 8.如图，在对边平行的木板上有两点A,B及线段AB的中点O,以下操作和判断不正确的是 () B A.过点O作任意直线（除直线AB)交纸条两边于点C,D,得到平行四边形ACBD B.过点O作AB的垂线I交纸条两边于点C,D,得到菱形ACBD C.分别过点A,B作对边的垂线，交对边于点C,D,得到矩形ACBD D.在点A,B所在边的对边分别取C,D两点，使得AC=BD,得到平行四边形ACBD 9.如图，边长为10cm的正方形纸片ABCD,剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形.再沿 着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A,B,C,D正好重合于上底面一点，且此长方 体盒子的表面积为36cm2,其中AE=BF.若设AE的长为xcm,则下列方程正确的是() D A.(10-2x)2=100-36 B.0-2x=10-36 2 C.(10-2x)x.4+2x2=36 D.100-2x2=36×2 10.如图，在矩形ABCD中，AB=13,AD=24,P是边AD上一点（不与点A,D重合），连接 PB,先将△ABP沿直线BP翻折，点A的对应点为E.若点B关于直线PE的对称点F恰好落 在CD边上，连接PF,EF,则AP的长为() p D E A B.8 C. D.7 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.下表是代数式x2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx=6的根是 … -3 -2 -1 0 1 3 3 4 ax2+bx 041。 12 6 2 0 0 2 6 12 12.如图所示的是木制活动衣帽架，由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节B,O间 的距离.若菱形边长AB=16cm,调节B,O间的距离到48cm,则∠A= 13.新定义运算：a②b=a2+b-b,例如3⑧2=3+2-×3x2=9+2-3=8,则方程x⑧4=3的 解为 14.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE,R1△EFG的两直角边EF,EG分 别交BC,CD于点M,N.若正方形ABCD的边长为2，则重叠部分四边形EMCN的面积 为 E M 15.如图1，△ABC中，∠BCA=90°，AB=10,将其分割成I、Ⅱ、I三部分，然后再拼成如 图2的菱形POMN(不重叠、无缝隙)，若NH-PG=2,则OH的长为 G (图1) (图2) 三、解答题（本题共7小题，共55分） 16.（本题共两个小题，每小题4分，共8分)用适当的方法解下列一元二次方程： (1)x2-3x=1: (2)2x(x-2)=6-3x. 17.(8分)如图，在四边形ABCD中，BA∥CD,且AB=AD=二CD,连接对角线BD,已知BD⊥CB. (1)实践与操作：利用尺规作线段CD的垂直平分线，交CD于点E,交CB于点F,(要求： 尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)猜想与证明：连接BE,判断四边形BEDA的形状，并说明理由. B D 18.(6分)某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下， 围一块面积为96m的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙 长15m,另外三面用27m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）.求这个 茶园的长和宽， A D 19.(6分)如图，在RtAABC中，∠C=90°，两锐角的平分线AD,BE相交于点O,OF⊥AC于 点F,OG⊥BC于点G,求证：四边形OGCF是正方形. 0 DG H -- E DG C 20.（10分)2025年9月21日早晨7：30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕.来自全 球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市.据统计， 全程马拉松比赛的报名选手从2023年的7500人增加到2025年的14700人. (1)求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率： (2)某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套224元的原价，打包售卖运 动能量包，平均每日卖出30套.比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低8元， 每日可多卖出5套，每日最多可打包70套，已知平均每日收到货款为10920元，则每套降价 多少元？ 21.(6分)阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方 程x2+5x-14=0,即x(x+5)=14的方法，首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积 是(x+x+5)2,其中四个全等的小矩形面积分别为x(x+5)=14,中间的小正方形面积为S2,所以 大正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得原方程的正数解为x=2. X +5 X x+5 x+5 图1 图2 图3 任务：（1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程x2-3x-10=0 解法的正确构图是 (从序号①②③中选择)： ① ② ③ (2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求得方程 x2+2x-15=0的正数解为 (3)一般地对于形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形 构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为5.那么a=一，b=一， x= 22.(11分)综合与探究 问题背景：如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC是一条对角线，点M为直线BC上一个 动点，将线段MC绕点M逆时针旋转120°得到线段MC',连接C'B,点N是C'B中点，连接MN, AM. 【初步探究】 (1)如图1，当点C在线段BC的中垂线上，则∠ABC'= 【深入分析】 (2)如图2，若点M与点B重合，连接BD交AC于点O,连接NA,请判断四边形NBOA的形 状，并说明理由 A D B C B(M) 图1 图2 【拓展延伸】 (3)若点M在点C右侧，如图3，连接CN,若AB=4,CN=CM,请直接写出Cw的长. D C 图3 备用图