精品解析：山东德州市德城区联考2026-2027学年第一学期阶段性学习成果展示九年级数学试题

2026-2027学年第一学期阶段性学习成果展示 九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知y关于x的二次函数解析式为，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 5. 将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（　　） A. y＝2（x﹣2）2﹣4 B. y＝2（x﹣1）2+3 C. y＝2（x﹣1）2﹣3 D. y＝2x2﹣3 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 7. 原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A. 100（1﹣x）2＝64 B. 64（1﹣x）2＝100 C. 100（1﹣2x）＝64 D. 64（1﹣2x）＝100 8. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（ ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … A. 足球距离地面的最大高度超过20m B. 足球飞行路线的对称轴是直线 C. 点（10，0）在该抛物线上 D. 足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①一元二次方程有两个相等的实数根； ②若点，，在该函数图象上，则； ③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是； ④在y轴上找一点D，使的面积为1，则D点坐标为． 以上四个结论中正确的序号是（ ） A. ②③ B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分 11. 方程的解为________． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 13. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 14. 一个菱形的两条对角线之和为，面积为，则菱形的边长为________． 15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 三、解答题：本题共8小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1） （2） （3） 17. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 18. 已知二次函数． （1）写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 19. 某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．如图，该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成，围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． （1）若要使围成的矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽． （2）能围成一个面积为的矩形试验田吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 20. 已知二次函数． （1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标． 21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量本与每本纪念册的售价元之间满足一次函数关系；当销售单价为元时，销售量为本；当销售单价为元时，销售量为本． （1）求出与的函数关系式； （2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，抛物线（a为常数且）与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若P为抛物线上一点，的面积为，求点P的坐标； （3）当时，y有最大值，求m的值． 23. 在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． （2）小球从开始到滚动21米用了多少秒？ （3）小球在最后一秒滚动了多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期阶段性学习成果展示 九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．由一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程进行判断即可． 【详解】解：A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意； D、当时，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 故选：B． 2. 已知y关于x的二次函数解析式为，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得，进行计算即可得． 【详解】解：∵y关于x的二次函数解析式为， ∴ 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，正确计算． 3. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】 移项，得， 方程两边同时加上4，得， 配方得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键． 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 5. 将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（　　） A. y＝2（x﹣2）2﹣4 B. y＝2（x﹣1）2+3 C. y＝2（x﹣1）2﹣3 D. y＝2x2﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答即可. 【详解】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，得以新的抛物线的表达式是，y＝2（x﹣2+1）2﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，由y＝ax2平移得到y＝a（x﹣h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可． 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△>0，即4-4××（-1）>0，则m的取值范围为且． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且是一元二次方程. ∴△>0,即4-4××（-1）>0，. ∴且. 故选择C. 【点睛】本题考查根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根的判别式和一元二次方程的定义. 7. 原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A. 100（1﹣x）2＝64 B. 64（1﹣x）2＝100 C. 100（1﹣2x）＝64 D. 64（1﹣2x）＝100 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率公式判断即可； 【详解】设平均每次降价的百分率为x， 由题可得：100（1﹣x）2＝64． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 8. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（ ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … A. 足球距离地面的最大高度超过20m B. 足球飞行路线的对称轴是直线 C. 点（10，0）在该抛物线上 D. 足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降． 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得对称轴为，则可得抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得，由此即可一一判断． 【详解】解：由题意，可得对称轴为，则可得抛物线经过（0，0），（9，0） 设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1， ， ∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，A选项正确，不符合题意； ∴抛物线的对称轴，故B正确，不符合题意； 由二次函数的性质可得，当时，h随t的增大而减小， ∴足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降，D选项正确，不符合题意， 抛物线经过点（9，0），不经过（10，0）， ∴点（10，0）不在该抛物线上，C选项错误，符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象，能发现一次函数和二次函数过定点且根据a的正负进行分类讨论是解题的关键．根据函数表达式的特征，可发现一次函数和二次函数都过定点，再由a的正负进行分类即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴一次函数过定点， 当时，， ∴二次函数过定点， 当时，一次函数中y随x的增大而减小， 此时抛物线的开口向上，且对称轴在y轴左侧， 所以A、B、C都不符合，D符合； 当时，一次函数中y随x的增大而增大， 此时抛物线的开口向下，没有符合条件的选项， 故选：D． 10. 如图，抛物线交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①一元二次方程有两个相等的实数根； ②若点，，在该函数图象上，则； ③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是； ④在y轴上找一点D，使的面积为1，则D点坐标为． 以上四个结论中正确的序号是（ ） A. ②③ B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】解出方程的解即可判断①；利用图象开口向下，点离对称轴越近，值越大即可进行判断②；先写出平移之后的解析式，再根据沿x轴翻折，即为关于x轴对称，即可得判断③；设点的坐标为，则，求出点的坐标即可判断④． 【详解】解：①方程整理得：， 解得：， 一元二次方程有两个相等的实数根，故①正确，符合题意； ②由图可得，对称轴为直线， 则，，， 抛物线图象开口向下，且， ，故②正确，符合题意； ③， 将该抛物线先向左平移1个单位得到的抛物线的解析式为：， 平移后再沿x轴翻折， 翻折后得到的抛物线表达式是，故③正确，符合题意； ④由③可得点的坐标为， 当时，， ， 设点的坐标为，则， 的面积为1， ，即， 解得：或， 点的坐标为或，故④错误，不符合题意； 以上四个结论中正确的序号是①②③， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二次函数的图象与性质，熟练掌握一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分 11. 方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程移项后提取公因式因式分解，即可得到方程的解． 【详解】解：移项得， 可得， 即， 可得或， 解得，． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，再把代入一元二次方程并解一元二次方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴ 解得， ∴关于x的一元二次方程为， 则。 ∴ ∴另一个根是． 13. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 14. 一个菱形的两条对角线之和为，面积为，则菱形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出对角线一半的和与乘积，再用完全平方公式算出对角线一半的平方和，最后用勾股定理求菱形边长． 【详解】解：如图，四边形为菱形， 根据题意可知，， ，， ，， ， ， ， ， 故菱形的边长为． 15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）先移项，再直接开平方解答； （2）利用因式分解法解答； （3）先移项，再利用因式分解法解答． 【小问1详解】 解： ， 即，； 【小问2详解】 ， 即，或者， ∴，； 【小问3详解】 即，或者， ∴，． 17. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 【答案】（1） 证明：， 故方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）求出即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合得出，代入计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 18. 已知二次函数． （1）写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】（1）抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可作答； （2）根据（1）中抛物线开口的方向，判断出二次函数y随x的变化情况，再根据区间端点距离对称轴的距离判断出极值，问题随之作答． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，y取最小值，且， ，，， ∴当时，；当时，； ∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为． 19. 某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．如图，该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成，围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． （1）若要使围成的矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽． （2）能围成一个面积为的矩形试验田吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 【答案】（1）长为，宽为； （2）不能围成一个面积为的矩形试验田．理由如下： 假设可以围成，，则， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 即不能围成平方米的矩形试验田． 【解析】 【分析】设，则，根据题意得，然后解方程并检验即可； 假设可以围成，设，则，根据题意得，即，然后通过根的判别式可得，即方程无实数根，从而求解． 【小问1详解】 解：设，则， 根据题意，得， 整理得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 答：该矩形试验田的长为，宽为； 【小问2详解】 略． 20. 已知二次函数． （1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标． 【答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的图像与x轴有两个交点，得到△＞0于是得到m的取值范围； （2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m的值，于是得到二次函数的解析式，再求出直线AB的解析式和对称轴方程x=1联立成方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵二次函数的图像与x轴有两个交点， ∴△=， ∴m＞﹣1； 故答案为：m＞﹣1； （2）∵二次函数的图像过点A（3，0）， ∴， ∴m=3， ∴二次函数的解析式为：， 令x=0，则y=3，∴B（0，3）， 设直线AB的解析式为：，∴，解得：， ∴直线AB的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为：x=1， ∴，解得：， ∴P（1，2）． 21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量本与每本纪念册的售价元之间满足一次函数关系；当销售单价为元时，销售量为本；当销售单价为元时，销售量为本． （1）求出与的函数关系式； （2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）设与的关系式为，根据题意，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意列出关于的函数关系式，，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设与的关系式为， 把与代入， 得：， 解得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意可得： ， ∵每本纪念册的售价不低于元且不高于元， ， ∴当时，最大，， 答：该纪念册销售单价定为元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 22. 如图，抛物线（a为常数且）与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若P为抛物线上一点，的面积为，求点P的坐标； （3）当时，y有最大值，求m的值． 【答案】（1） （2）或 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线解析式即可求解； （2）设点，根据，可求出点P横坐标的绝对值，据此即可求； （3）函数的对称轴为直线，抛物线开口朝下，当时，则当时，有最大值；当时，则当时，有最大值，据此即可作答． 【小问1详解】 解：将代入，得， ， ； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设点， ， 解得． ∴当时，； 当时，． ∴点或； 【小问3详解】 函数的对称轴为直线，抛物线开口朝下， 当时，则当时，有最大值， ， 解得． ， ； 当时，则当时，有最大值， ， ． 综上所述，的值为或． 23. 在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． （2）小球从开始到滚动21米用了多少秒？ （3）小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】（1）2， （2）秒 （3）米 【解析】 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动21米用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【小问1详解】 解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， 【小问2详解】 解：设小球滚动21米用了秒，此时小球的末速度为  米/秒， 根据题意，得    整理得   解得 ， 当  时， ，不符合实际，舍去 因此  答：小球从开始到滚动21米用了3秒． 【小问3详解】 解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $