精品解析：山东省德州市德城区六校联考2025-2026学年上学期九年级数学第二次阶段性检测试题

2025-2026学年第一学期阶段性学习成果展示 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 以下四个科技创新型企业的品牌图标中，是中心对称图形的是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，即可进行解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，则下列比例式不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断. 解：∵l1∥l2∥l3， ∴，，，. ∴选项A、B、C正确，D错误. 故选D. 点睛：本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴且， ∴， 故选：C． 6. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示： 由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 7. 由下表估算一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由此即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴的一个近似解的范围为． 故选：C． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 8. 如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则的长约为（ ）（参考数据：） A. B. 4 C. 5 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形对边相等的性质、锐角三角函数值的计算等知识点．通过作辅助线构造直角三角形、构造直角三角形成为解题的关键． 如图：分别过作垂线垂直于l，通过构造直角三角形，根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽1等条件求出的长，再根据矩形的性质即可解答． 【详解】解：如图：分别过作垂线垂直于l， ∵，， ∴． 根据题意，得 在中，， ∴， 解得：， ∵长方形卡片， ∴． 故选C． 9. 如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，都在格点处，与相交于，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，先理解题意，再进行作图，结合勾股定理与网格，得出，，，再证明，把数值代入，进行计算，得，，最后代入进行化简计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 设每个小正方形的边长为1， 结合网格特征，延长，与网格相交于点， 根据网格特征，得， ∴， 根据网格特征，得， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴ 故选：C． 10. 如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得对称轴为直线，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，求出二次函数与轴的交点坐标为，则该点关于对称轴的对称点为，结合，且得出，解得，当点、都在对称轴左边时，由可得，，解得，当点、在对称轴两侧时，由可得，，解得，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点和点纵坐标相同， ∴对称轴为直线， ∵二次函数解析式为， ∴，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 在中，当时，，即二次函数与轴的交点坐标为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵，且， ∴， 解得：， 当点、都在对称轴左边时，由可得，， 解得， 当点、在对称轴两侧时，由可得，， 解得， 综上所述，由或，结合的条件， 的取值范围是或 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 二次函数，当________时，有最小值． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】∵a=1>0， ∴当x=1时，y有最小值2. 故答案为1. 【点睛】考查二次函数的最值问题，二次函数y=a(x-h)2+k的图象的顶点是（h，k）， 最值在顶点处取得. 12. 将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角的度量、等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点，掌握这些基础知识点是解题关键． 连接，过点O作于点H，根据题意得出，再由等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，结合三线合一及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点O作于点H， ∵点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵直径的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点．若的半径是4，则的最大值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，解直角三角形，作直径，连接，由锐角的正弦得到，由三角形中位线定理得到，因此当是圆直径时，有最大值，即可得到答案． 【详解】解：作直径，连接， ， ，， ， ， 点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 当的长度最大时，有最大值， 当是圆直径时，最大， 的最大值是， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）把常数移到右边，再利用配方法解答即可求解； （）利用因式分解法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1）A1B1C1即为所求； （2）A2B2C2即为所求；     （3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 18. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 19. 如图，已知四边形的对角线交于点，点是上一点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明： ， ∴， 即， 又， ； （2） 【解析】 【分析】（）由得，进而根据相似三角形的判定定理即可求证； （）由可得，进而得到，再根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， ， 又， ， ， 即 ∴． 20. 在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少 米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为 米/秒； （2）小球滚动24米用了多少秒？ （3）小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】（1）2， （2）4 （3）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动24米约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【小问1详解】 解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， 故答案为：2，． 【小问2详解】 解：设小球滚动24米约用了秒，此时速度为米/秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ． 答：小球滚动24米用了4秒． 【小问3详解】 解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 21. 如图，为的直径，过点作的切线，是半圆上一点（不与点、重合），连结，过点作于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的切线，点是切点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与是所对的圆周角， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判定定理及圆周角定理是解题的关键． （1）根据切线的性质得出，即可得出，根据平行线的性质以及圆周角定理即可得出结论； （2）根据为的直径得出，即可证明，根据相似三角形的判定和性质得出，利用垂径定理得出，根据线段的和差关系即可即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 ①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②略 23. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）略 （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期阶段性学习成果展示 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 以下四个科技创新型企业的品牌图标中，是中心对称图形的是（　　 ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，则下列比例式不正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 7. 由下表估算一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则的长约为（ ）（参考数据：） A. B. 4 C. 5 D. 20 9. 如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，都在格点处，与相交于，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（　　） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 二次函数，当________时，有最小值． 12. 将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为__________ ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 14. 如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点．若的半径是4，则的最大值是___________． 15. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 18. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 19. 如图，已知四边形的对角线交于点，点是上一点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少 米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为 米/秒； （2）小球滚动24米用了多少秒？ （3）小球在最后一秒滚动了多少米？ 21. 如图，为的直径，过点作的切线，是半圆上一点（不与点、重合），连结，过点作于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 23. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $