精品解析：山东省聊城市临清市丕介中学2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试题

2025－2026学年第一学期第二次学情调研 八年级数学试题 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平方根等于本身的数是0和 B. 若 则 C. 全等三角形的对应边相等 D. 同位角相等 3. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 4. 如图，是等腰三角形的底边上的中线，于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ， C. D. 7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，则（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（ ） A. 10 B. C. D. 9. 中，，，平分，交于，于，若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，若分别为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 10 D. 7 11. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买、两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的倍，用元购买的种绿植比用元购买的种绿植少株，设种绿植单价是元，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 12. 已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 计算：_________ ． 14. 如图，两个较大正方形的面积分别为和，则字母所代表的正方形的面积是___________． 15. 已知，则的值是________． 16. 下列说法：一定是负数；一定是正数；倒数等于它本身的数是；绝对值等于它本身的数是1；两个无理数的和一定是无理数；的立方与平方根都是1；几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负．其中正确的是______．（填写序号） 17. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是______． 18. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 三、解答题（共7小题，共78分） 19. 计算： （1） （2） （3） 20. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 21. 把下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并把它们用“”连接： ，，0，，． 22. 如图，四边形中，过点作于点，，连接、交于点，若点是的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. （1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 24. 项目学习 项目背景：某校综合实践小组的同学围绕“风筝离地面的垂直高度”的主题开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 风筝离地面的垂直高度 活动内容 利用勾股定理等有关知识进行计算 活动过程 方案说明 如图1，点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离．小组成员测得的长为24米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． 问题解决 如图2，若想要风筝沿方向再上升8米，到达点，且风筝线的长度不变，则放风筝的人应该朝射线方向前进多少米？ 25. 如图1，在中，，点在上，点为延长线上一点，连接，． （1）初步探究：当时，求证：； （2）解决问题：如图2，在（1）的条件下，当为等边三角形时，求证：； （3）类比探究：如图3，在（2）的条件下，过点作，交延长线于点，延长至点，使，连接、．请你猜想的形状并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期第二次学情调研 八年级数学试题 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．熟练掌握概念是解题关键； 先计算16的算术平方根，再求该结果的平方根． 【详解】∵， 又 ∵ 4的平方根是， ∴的平方根是． 故选：C． 2. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平方根等于本身的数是0和 B. 若 则 C. 全等三角形的对应边相等 D. 同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平方根的性质、全等三角形的性质及同位角的定义． 分别分析各选项：根据平方根的定义判断A；根据二次根式的性质判断B；根据全等三角形的性质判断C；根据同位角的性质判断D． 【详解】解：A、平方根等于本身的数只有0，1的平方根是，不等于其本身，此选项不符合题意； B、若，则，并非，此选项不符合题意； C、全等三角形的对应边相等，这是全等三角形的基本性质，此选项符合题意； D、只有两直线平行时，同位角才相等，此选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图，是等腰三角形的底边上的中线，于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，由三线合一定理可得，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根与算术平方根，求一个数的立方根，绝对值化简，解题的关键是掌握以上运算法则与性质． 根据求一个数的平方根与算术平方根，求一个数的立方根，绝对值化简等知识，逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项正确，不符合题意； B. ，该选项正确，不符合题意； C. ，该选项正确，不符合题意； D.∵， ∴的结论错误， ∴该选项错误，符合题意； 故选：D． 6. 如果的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理逆定理的应用．通过计算角度是否为或边长是否满足勾股定理来判断三角形是否为直角三角形． 【详解】解：A项：∵，，， ∴，， ∴，故是直角三角形，符合题意； B项：∵，， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； C项：∵，且， ∴设，，，则，解得， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； D项：∵， 设，，， 则，， ∴，不满足勾股定理，且，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意， 故选：A． 7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角得到的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理． 根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 故选：B． 9. 中，，，平分，交于，于，若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，进而可得的周长． 【详解】解：，， ， 平分， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 所以，的周长为． 故选：D． 10. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，若分别为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 10 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂线段最短、三角形的面积等知识点，掌握相关性质定理是解题的关键． 如图：过点A作交于一点，再连接，得，则的最小值为，再运用三角形的面积公式列式求得的长即可． 【详解】解：如图：过点A作交于一点，再连接， ∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∵分别为线段上的动点， ∴的最小值为， ∵， ∴，即，解得：， ∴的最小值为10． 故选C． 11. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买、两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的倍，用元购买的种绿植比用元购买的种绿植少株，设种绿植单价是元，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设种绿植单价是元，则种绿植单价是元，根据用元购买的种绿植比用元购买的种绿植少株，列出方程即可． 【详解】解：设种绿植单价是元，则种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 12. 已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简及解分式方程，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而求出，列出分式方程解出得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 三个数一个循环， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 计算：_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根和立方根． 先计算36的算术平方根和27的立方根，再求差即可． 【详解】． 故答案为：． 14. 如图，两个较大正方形的面积分别为和，则字母所代表的正方形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去较小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积． 故答案为：． 15. 已知，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，将原等式化为非负数的和为0的形式，求出的值，再根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴． 16. 下列说法：一定是负数；一定是正数；倒数等于它本身的数是；绝对值等于它本身的数是1；两个无理数的和一定是无理数；的立方与平方根都是1；几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负．其中正确的是______．（填写序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了有理数的相关概念以及平方根立方根，解题的关键是掌握基本概念．利用负数、无理数的加法法则、立方根、绝对值、倒数、平方根的定义以及有理数的乘法法则进行判断后即可得到正确的选项． 【详解】解：当a为0或负数时，是0或正数，故错误； 当时，，故错误； 倒数等于它本身的数是，正确； 绝对值等于它本身的数是非负数，故错误； 两个无理数的和不一定是无理数，如；故错误； 的立方是1，平方根是，故错误； 几个非零有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，故错误； 因此，只有正确． 故答案为：． 17. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得点E表示的实数． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 在，由勾股定理可得： ∴， ∵A点表示， ∴点E表示的实数是． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，分是以为底边的等腰三角形和是以为底边的等腰三角形两种情况，结合等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】解：当是以为底边的等腰三角形时，则， 由题意得，， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴当时，点P一定在的延长线上， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当是以为底边的等腰三角形时，则， ∴； 综上所述，t的值为5或， 故答案为：5或． 三、解答题（共7小题，共78分） 19. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）0 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，开平方的方法解方程： （1）先计算零指数幂，算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算二次根式，负整数指数幂，绝对值，再计算加减法即可； （3）根据开平方的方法解方程即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 或 解得或． 20. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解． （1）根据勾股定理逆定理即可证明； （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 21. 把下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并把它们用“”连接： ，，0，，． 【答案】 由数轴上各点的位置如图所示： ． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较的方法，掌握利用数轴比较实数的大小是解题的关键． 根据用数轴表示数的方法，在数轴上先表示出各数，再由“数轴上右边的数总比左边的数大”把这些数用“”连接即可． 【详解】解：， 22. 如图，四边形中，过点作于点，，连接、交于点，若点是的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定． （1）先证明，根据平行线的性质得出，，再根据“”证明； （2）根据三角形全等的性质得出，，根据，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. （1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根与， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 24. 项目学习 项目背景：某校综合实践小组的同学围绕“风筝离地面的垂直高度”的主题开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 风筝离地面的垂直高度 活动内容 利用勾股定理等有关知识进行计算 活动过程 方案说明 如图1，点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离．小组成员测得的长为24米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． 问题解决 如图2，若想要风筝沿方向再上升8米，到达点，且风筝线的长度不变，则放风筝的人应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】4米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式．首先根据勾股定理求出米，由题意得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】解：中， 米， ∵想要风筝沿方向再上升8米， ∴米， 由题意可得：米， 中， 米， 米， 答：他应该朝射线方向前进4米． 25. 如图1，在中，，点在上，点为延长线上一点，连接，． （1）初步探究：当时，求证：； （2）解决问题：如图2，在（1）的条件下，当为等边三角形时，求证：； （3）类比探究：如图3，在（2）的条件下，过点作，交延长线于点，延长至点，使，连接、．请你猜想的形状并证明你的猜想． 【答案】（1） 证明：， ， ∴， ， ， ， ， ； （2） 证明：如图，过点作交于点， ，， 为等边三角形， ， ，， ， ，， ， ， ； （3） 是等边三角形，证明如下： 证明：， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，结合三角形的外角性质推出，根据可得，即可得证； （2）过点作交于点，得到，，根据等边三角形的性质推出，证明，得到，即可得证； （3）证明得到，，推出，得到，，即可判定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $