精品解析：湖北省黄石市云学联盟2026-2027学年高二上学期10月学科素养测评数学试题

高二数学学科素养测评 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据，，，的方差是，则数据，，，的方差是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线经过两点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明箱子中装有5支签，其中有两支中奖签，某同学随机从中抽取两支签，至少有一支中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 空间中从点出发的三条射线、、满足，，则直线与平面所成角为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 一个半圆柱容器中盛有水，半圆柱的高，底面半径，若侧面水平放置时（如图），水面恰好没过线段CD，此时，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 湖北省某校高二年级组织了一次开学考试，随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ） A. B. 估计该年级成绩的众数为70 C. 估计该年级80分及以上的学生人数约占40% D. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 10. 在中，，，，是的外接圆圆心，是边上一点，且是角的角平分线，下列说法正确的是（ ） A. B. 边上的中线 C. D. 11. 已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某高中为了解学生视力情况，按分层随机抽样方法分别从高一、高二、高三年级按照的比例随机抽取部分学生进行调查，结果显示高一年级学生平均视力为，高二年级学生平均视力为，高三年级学生平均视力为，则可估计该校全体学生的平均视力为_________ 13. 已知一个正三棱柱存在内切球，且其外接球的体积为，则该三棱柱体积为_________ 14. 已知空间向量，，，三个点均在平面内，则向量在平面内的投影向量坐标为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知经过、两点的直线的方向向量为． （1）求的值； （2）点为轴正半轴上一点，若直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，求点的坐标． 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，且，求的面积以及内切圆的半径． 17. 如图，平面平面BCD，，且，为正三角形，点E是线段AD上靠近点D的四等分点． （1）证明：； （2）求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值． 18. 一个不透明的箱子中装有6个相同的球，分别编号1，2，3，4，5，6． （1）从中有放回地随机抽2次球，每次抽1个，记“第1次抽出的球的编号为3”为事件A，“两次抽出的球的编号之和为奇数”为事件B，请列出所有样本点，并通过计算判断事件A与事件B是否相互独立； （2）现某商场为顾客准备了如下抽奖游戏，游戏①：从上面的箱子中随机抽一个球，若抽到球的编号为3或6，则该轮游戏通关；游戏②：从上面的箱子中随机一次性抽两球，若两球编号之和为奇数，则该轮游戏通关；游戏③：从上面的箱子中随机一次性抽两球，若两球编号之和大于m（m为整数且）则该轮游戏通关．要求顾客三个游戏各玩一次，各轮游戏是否通关互不影响，且顾客可自行安排游戏的先后顺序，顾客至少连续两次通关游戏方能拿走商场的大奖，现已知顾客只有把游戏③安排在中间位置时他拿走大奖的概率最大，求m的最大值． 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科，如图一，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心，且过B，C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，的大小分别为，，，那么球面三角形的面积公式为． （1）球O的半径为R，球面上三点A，B，C构成球面三角形，已知三个二面角分别为，，，求该球面三角形ABC的面积； （2）若将图一中四面体OABC截出得到图二，若平面三角形ABC为直角三角形，，设，，． ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，为中点，为中点，在线段上，，，设平面与平面的夹角为，若，求t的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科素养测评 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对分母实数化：，再根据复数模的公式得. 2. 一组数据，，，的方差是，则数据，，，的方差是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为数据，，，的方差是， 所以数据，，，的方差是. 3. 已知直线经过两点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知直线过，， 所以. 设直线倾斜角为，， 由，得. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理计算求解. 【详解】由余弦定理可得，因此，A选项正确 5. 某圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，圆锥的底面半径和高均为1，即，又， 由圆锥侧面积公式可得：. 6. 一个不透明箱子中装有5支签，其中有两支中奖签，某同学随机从中抽取两支签，至少有一支中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的计算，以及对立事件的性质即可求解. 【详解】根据题意可得：5支签中有3支不是中奖签， 故至少一支中奖的概率为 7. 空间中从点出发的三条射线、、满足，，则直线与平面所成角为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】在上任取一点并作平面，则就是直线与平面所成的角．先证明，通过解直角、，求出直线与平面所成角. 【详解】在上任取一点并作平面，垂足为， 则就是直线与平面所成的角． 过点在平面内作，在平面内作，垂足分别为、， 因为平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为，即， 又因为，，所以，所以， 因为，，，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 又因为，则，则，， 设，则， 在直角中，，，则， 在直角中，，，则， 即直线与平面所成角为． 8. 一个半圆柱容器中盛有水，半圆柱的高，底面半径，若侧面水平放置时（如图），水面恰好没过线段CD，此时，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出侧面水平放置时，水在半圆截面内的横截面积，结合母线长得到水的体积；再将容器翻转，设底面水平放置时水面高度为，根据柱体体积公式列方程求解水面高度. 【详解】半圆柱的母线长度（即半圆柱的高）为，底面是半径的半圆. 水的横截面积（即垂直于半圆柱轴向的截面中，水占据的区域面积）：水面上方空白区域是弓形， 弓形面积扇形的面积的面积. 扇形面积公式：由扇形圆心角，，得；​ 三角形面积公式：由，​，得. 所以弓形面积为. 又半圆面积：， ​因此水的横截面积总和为：，​  结合半圆柱轴向长度，水的体积为：. 当半圆柱的底面水平放置时，容器变为“底面为半径1的半圆、柱高为”的柱体， 此时水的体积满足：半圆底面面积×水面高h . 半径为1的半圆底面积为，代入体积等式： ， 约去后整理得：. 综上，水面高为：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 湖北省某校高二年级组织了一次开学考试，随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ） A. B. 估计该年级成绩的众数为70 C. 估计该年级80分及以上的学生人数约占40% D. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用各组频率之和为1可判断A；根据频率分布直方图中众数的估计方法可判断B；根据频率的计算方法可判断C；根据中位数的估计方法可判断D． 【详解】由频率分布直方图可知，解得，A正确； 由图易知成绩在分之间的人数最多， 故可估计该年级学生成绩的众数为75，B错误； 由频率分布直方图可知成绩在分之间和分之间的频率为， 故估计该年级80分及以上的学生人数约占40%，C正确； 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 故该年级学生成绩的中位数位于第三组中，第三组频率为， 故估计该年级学生成绩的中位数约为，D正确； 10. 在中，，，，是的外接圆圆心，是边上一点，且是角的角平分线，下列说法正确的是（ ） A. B. 边上的中线 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先用余弦定理求出边长，验证选项A；在和中用余弦定理可以判断选项B；用面积法得出，在和中用余弦定理可以判断选项C；利用外心向量投影性质计算数量积，判断选项D. 【详解】已知在中，，，. 所以. 解得. 对于A，，故A错误； 对于B，，在和中用余弦定理得 解得，故B正确； 对于C，设中边的高为， 在和中有：，，两式相除得. 所以， 在和中用余弦定理得 解得，故C正确； 对于D，是外接圆圆心，. 外心在上投影是中点，. 所以，故D错误. 11. 已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用作为基向量，线性表示各向量后，再进行数量积、求向量模等运算即可 【详解】对于A，，故A错误. 对于B，， 所以 又因为， ，. 所以，B正确. 对于C，， 因为，所以，C正确. 对于D，， 所以 ， 因为，， 所以， 由余弦定理， ， 又因为 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某高中为了解学生视力情况，按分层随机抽样方法分别从高一、高二、高三年级按照的比例随机抽取部分学生进行调查，结果显示高一年级学生平均视力为，高二年级学生平均视力为，高三年级学生平均视力为，则可估计该校全体学生的平均视力为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数公式求结论. 【详解】因为样本中高一、高二、高三年级的学生人数比为， 又高一年级学生平均视力为，高二年级学生平均视力为，高三年级学生平均视力为， 所以该校全体学生的平均视力为. 13. 已知一个正三棱柱存在内切球，且其外接球的体积为，则该三棱柱体积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正三棱柱的性质，依题知其内切球和外接球是同心球，先求出外接球半径，再根据球心在底面的投影恰为底面正三角形的中心，由之求得底面三角形边长，从而可求体积. 【详解】设外接球的半径为，，解得. 因三棱柱有内切球，设内切球半径为，则正三棱柱的高为，连接的中心，则线段的中点即为球心，依题意，内切圆半径为， 得，则，解得，， 所以三棱柱体积为. 14. 已知空间向量，，，三个点均在平面内，则向量在平面内的投影向量坐标为_________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，再求出在方向上的投影向量，最后再求向量在平面内的投影向量. 【详解】由，，，可得： ，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，又，所以. 在方向上的投影向量为： ， 又向量在平面内的投影向量为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知经过、两点的直线的方向向量为． （1）求的值； （2）点为轴正半轴上一点，若直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线斜率公式，结合直线方向向量的性质进行求解即可； （2）根据直线倾斜角和直线斜率的关系，结合直线斜率公式分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 因为经过、两点的直线的方向向量为， 所以，解得. 【小问2详解】 设，其中， 当或者时直线的倾斜角和直线的倾斜角不互补， 当且时，，， 由题意，即，故点坐标为. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，且，求的面积以及内切圆的半径． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差公式化简得，再利用辅助角公式以及正弦函数的性质可得； （2）利用正弦定理得出即可计算面积，再利用余弦定理得出，再利用公式求出内切圆半径. 【小问1详解】 由正弦定理以及 得， 因为， 所以， 因为，所以，即， 又，则，故，即； 【小问2详解】 因为，， 所以，得， 则 ， 由余弦定理得， 则，得， 内切圆半径为. 17. 如图，平面平面BCD，，且，为正三角形，点E是线段AD上靠近点D的四等分点． （1）证明：； （2）求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值． 【答案】（1）方法一：几何法 取BD中点F，取AD中点G，由题意有， ∵平面平面BCD，且平面平面，，平面BCD 则平面ABD 又平面 又E为AD四等分点，则，则 又，且平面CEF，平面平面CEF 又平面CEF，则 方法二：建系 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 故 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：利用面垂面的性质得到线垂面，继而得到线垂线，最后通过线面垂直的判定定理即可证明； 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标证明即可； （2）求出平面ACD的法向量和平面ABC的法向量，代入公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面ACD的法向量为 ， ，令，则， 故平面ACD的一个法向量为， 设平面ABC的法向量为 ，令，则， 故平面ABC的一个法向量为， 则平面ABC与平面ACD的夹角的余弦值. 18. 一个不透明的箱子中装有6个相同的球，分别编号1，2，3，4，5，6． （1）从中有放回地随机抽2次球，每次抽1个，记“第1次抽出的球的编号为3”为事件A，“两次抽出的球的编号之和为奇数”为事件B，请列出所有样本点，并通过计算判断事件A与事件B是否相互独立； （2）现某商场为顾客准备了如下抽奖游戏，游戏①：从上面的箱子中随机抽一个球，若抽到球的编号为3或6，则该轮游戏通关；游戏②：从上面的箱子中随机一次性抽两球，若两球编号之和为奇数，则该轮游戏通关；游戏③：从上面的箱子中随机一次性抽两球，若两球编号之和大于m（m为整数且）则该轮游戏通关．要求顾客三个游戏各玩一次，各轮游戏是否通关互不影响，且顾客可自行安排游戏的先后顺序，顾客至少连续两次通关游戏方能拿走商场的大奖，现已知顾客只有把游戏③安排在中间位置时他拿走大奖的概率最大，求m的最大值． 【答案】（1）所有样本点为 ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 因为， 所以，所以事件A与事件B相互独立． （2）5 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的定义，结合古典概型运算公式进行判断即可； （2）根据古典概型运算公式，结合题意进行求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意：游戏①通关的概率为， 游戏②的试验样本空间且，满足通关条件的样本点有共9个 则游戏②通关的概率为， 设游戏③通关的概率为p， 若把游戏①放中间位置，则至少连续两次通关游戏的概率为， 若把游戏②放中间位置，则至少连续两次通关游戏的概率为， 若把游戏③放中间位置，则至少连续两次通关游戏的概率为， 因为只有把游戏③安排在中间位置时他拿走大奖的概率最大 所以且，解得， 当时，满足两球编号之和大于m的样本点有， 此时不符合， 当时，满足两球编号之和大于m的样本点有， 此时符合题意， 综上所述，m的最大值为5. 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科，如图一，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心，且过B，C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，的大小分别为，，，那么球面三角形的面积公式为． （1）球O的半径为R，球面上三点A，B，C构成球面三角形，已知三个二面角分别为，，，求该球面三角形ABC的面积； （2）若将图一中四面体OABC截出得到图二，若平面三角形ABC为直角三角形，，设，，． ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，为中点，为中点，在线段上，，，设平面与平面的夹角为，若，求t的范围． 【答案】（1） （2）①由余弦定理，以及， 得， 即，即， 所以，即； ② 【解析】 【分析】（1）代入公式计算； （2）①利用余弦定理和勾股定理得出，再利用倍角公式可得； ②以C为原点建系，设，根据线面角得出，，再利用面面角公式得出的范围. 【小问1详解】 代入可得； 【小问2详解】 ①略 ②由题意可知是球的直径，则有，， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又平面，所以， 以为坐标原点，以，所在直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系： 设， 则，，，， 则， 因为直线与平面所成的角分别为，，平面的法向量为， 则，则， 解得，， 则， 则， 因为在线段上，，，所以， 分别设平面，的法向量为， 则，令，则，， 因为平面与平面的夹角为，且， 则 化简得，又，所以， 故t的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $