湖北省黄石市第二中学2023-2024学年高二上学期第三次统测数学试题

黄石二中2022级高二数学统测三 一、单选题 1. 过点和点的直线的两点式方程是 A. B. C. D. 2. 已知扇形弧长，圆心角为，则该扇形面积为（ ） A. B. C. D. 3. 直线倾斜角的取值范围是（　　） A B. C. D. 4. 病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（ ） A 甲组数据中位数大于乙组数据中位数 B. 甲组数据平均数大于乙组数据平均数 C. 甲组数据平均数大于甲组数据中位数 D. 乙组数据平均数大于乙组数据中位数 5. 设，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，母线长为2，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则函数的零点个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知点，O为坐标原点，P，Q分别在线段上运动，则的周长的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 二、多选题 9. 若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据的平均数为5，下列说错误的是（ ） A. 的值不确定 B. 乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍 C. 两组样本数据的极差可能相等 D. 两组样本数据的中位数可能相等 10. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成，体现了数学的对称美.如图，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若它的所有棱长都为，则（ ） A. 被截正方体的棱长为2 B. 被截去的一个四面体的体积为 C. 该二十四等边体的体积为 D. 该二十四等边体外接球的表面积为 12. 如图，已知正方体的棱长为为正方形底面内的一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长度为 D. 若点是的中点，点是的中点，过作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题 13. 已知空间向量和，则在上的投影向量为________(用坐标表示). 14. 已知经过点的直线在轴和轴上的截距相等，则此的直线方程是__________． 15. 已知直线，，若，则的值是___________. 16. 已知球是正四面体的外接球，为棱的中点，是棱上的一点，且，则球与四面体的体积比为__________. 四、解答题 17. 甲、乙两位同学参加某知识闯关训练，最后一关只有两道题目，已知甲同学答对每道题的概率都为p，乙同学答对每道题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知同一题甲、乙至少一人答对的概率为，两人都答对的概率为． （1）求p和q的值； （2）试求最后一关甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率． 18. 在中，已知，. （1）若直线过点，且点，到的距离相等，求直线的方程； （2）若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程. 19. 如图，四棱锥底面是矩形，底面ABCD，，，M为BC的中点. （1）求证：平面PDB； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 21. 如图2，在中，，，．将沿翻折，使点D到达点P位置（如图3），且平面平面． （1）求证：平面平面； （2）设Q是线段上一点，满足，试问：是否存在一个实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22. “精准扶贫，修路先行”，为解决城市A和山区B的物流运输问题，方便B地的农产品运输到城市A交易，计划在铁路AD间的某一点C处修建一条笔直的公路到达B地．示意图如图所示，千米，千米，．已知农产品的铁路运费为每千米1百元，公路运费为每千米2百元，农产品从B到A的总运费为百元．为了求总运费的最小值，现提供两种方案建立函数关系，方案1：设千米；方案2：设． （1）试