湖北省沙市中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

高二上学期10月月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C B B D D C ABC ABD ACD 8．C【分析】设，以为基底向量，结合空间向量运算可得，即可求取值范围. 【详解】设，以为基底向量，则，， 可得，，则 ，因为，则，可得，所以的取值范围是.故选：C. 12．或 13． 14．12 【详解】设球的半径为，正四面体的高为，正四面体的一个面的面积为，利用正四面体的体积公式可得：，将内切球的球心和正四面体的4个顶点相连，则正四面体分割成了4个完全相同的小三棱锥：、、、，每个小三棱锥的底面都是正四面体的一个面（面积为），高就是球心到面的距离，也就是内切球半径，因此单个小三棱锥的体积是，4个小三棱锥的总体积为： ，则​，化简可得，记，，，，，由对称性可知，为定值，所以要求的最大值，即求的最大值，又因为的最大值为，故所求的最大值为，正四面体的棱长为，则，所以的最大值为12． 15．(1)由题意知，， 则，所以 ，所以即. （2）因为， 所以. 又 ，所以，所以与所成角的余弦值为. 16.（1） （2）甲班级应获得13个排球，乙获得3个排球比较合理 【小问1详解】令事件：甲第局获胜，.甲连胜两局的概率为：，所以，则甲获胜的概率为：.【小问2详解】由题意知，在甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛事件为：甲接下来的比赛中连输两场，即，故而甲、乙应按照的比例来分配比赛奖金，即甲班级应获得13个排球，乙获得3个排球比较合理 17．(1)证明见解析 (2) (3)存在，1 【详解】（1）如图，取的中点，连接，，因为，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以且， 又因为且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面； （2）因为，，所以，所以，因为平面，，所以平面，所以，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则令得，，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，所以二面角的正弦值为； （3）假设在棱存在点，使得直线与所成角的余弦值为，设，则，又，所以，即，所以，解得或（舍去），因此适合条件的点存在，且线段的长为1. 18．（1) （2）要使中获得会员的概率最大，需要按题2一题1→题3的顺序答题；（3） 解析：（1）甲获得30天会员的概率为 (2）当时。各种答题顺序的情况如下：按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为，按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题。 （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题。若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率；若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率；若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率。因为，所以只需即可，，解得。因为，所以p的取值范围为 19．(1)（i）因为，，在中，由余弦定理，，,所以，即，所以.因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面．因为平面，所以； （ii） (2)存在，正弦值最大值为 【详解】（1）（i）略； （ii）设，连接，因为，平面，平面，所以． 因为平分，所以，所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1：以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为，，，设平面（即）的一个法向量为，所以，即，令，则，，所以，设到平面的距离是，所以，所以点到平面的距离是； 法2：由，得，所以的面积为．由（1）知平面，平面，所以．又,平面，所以平面，因为平面，所以，所以，即；在中，由余弦定理得，所以，设到平面的距离为，因为，所以，所以，所以点到平面的距离是； （2）以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，设，因为，，所以，，设平面的一个法向量为，则，所以，解得，令，则，所以，又因为，，设平面的一个法向量为，所以，所以，得，所以，令，则，所以，设，因为，，所以当，即时，取得最小值，所以，设锐二面角的大小为，因为，所以，所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期2025级 10月月考数学试卷 命题人：张群武 审题人：冷劲松 考试时间：2026年10月15日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过，两点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（    ） A． B．或 C． D． 3．直线l过点，，则点到直线l的距离为（ ） A． B． C．2 D．3 4．已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则 A． B． C． D． 5．已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．已知一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，现抛掷该骰子两次，观察并记录它每次落地时朝上的面的数字.记事件“两次数字之和为偶数”，事件“第次的数字为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立事件 C． D． 7．直三棱柱，底面ABC为直角三角形且，且，求二面角的平面角的余弦值的取值范围（   ） A． B． C． D． 8．将边长为的正方形沿对角线折起，使点到达的位置，连接，得到三棱锥，是线段的中点，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（ ） A． B． C． D． 10．将一副直角三角板按图1所示的方式拼接，从中抽象出图2所示的平面四边形，其中，，，．现将沿着折起，连接，得到图3所示的三棱锥，，的中点分别为，．记二面角的平面角为，下列结论正确的是 A． B．存在使得直线与所成的角为 C．当时，三棱锥的外接球表面积为 D．当时，三棱锥的体积为 11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点作直线，若直线与连接与两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________. 13．已知正六棱锥的底面边长为，高为3，则该正六棱锥的外接球的体积为________. 14．已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在平行六面体中，，，，. （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值. 16．某校高三举办“三环杯”排球比赛活动，现甲、乙两班进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军，甲班在第一局获胜的概率为，从第二局开始，甲班每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲班获胜的概率增加，若上局未获胜，则该局甲班获胜的概率减小，且甲班前两局连胜两场的概率为（每局比赛没有平局）. （1）求甲班获胜的概率； （2）若冠军奖品为16个排球，且在甲班第一局获胜的情况下，由于不可抗拒力的原因，比赛被迫取消，请问：你认为甲、乙如何分配奖品比较合理. 17．在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 18．某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. （1）若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率. （2）若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围. 19．（17分）在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至. （1）若平面平面. （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； （2）试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $