精品解析：河南周口市鹿邑县伯阳双语学校2026-2027学年高二第一学期10月考数学试题

2026—2027学年度第一学期10月考试卷 高二数学 考试范围：选修第一册第一章至第二章第一节；考试时间：120分钟；总分：150 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 单项选择题每题5分，共8题，总40分.多选题全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分. 一、单选题（共40分，每题5分.） 1. 已知直线过、两点，则该直线的斜率为（     ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知，则（ ） A. 11 B. C. 45 D. 3 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则与同方向的单位向量是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 二、多选题（共18分，每题满分6分，少选得3分，选错或多选不得分.） 9. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 10. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题每题5分，共4题，总20分. 12. 若与垂直，则________. 13. 已知点，，则点到直线的距离为______． 14. 设，向量，，，且，，则______. 四、解答题（共77分） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： （1）直线和的方向向量的坐标； （2）平面的一个法向量的坐标． 16. 已知直线经过，，直线经过点，. （1）若，求m的值； （2）若，求m的值. 17. 已知，． （1）求； （2）若，求实数的值． 18. 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）求锐二面角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期10月考试卷 高二数学 考试范围：选修第一册第一章至第二章第一节；考试时间：120分钟；总分：150 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 单项选择题每题5分，共8题，总40分.多选题全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分. 一、单选题（共40分，每题5分.） 1. 已知直线过、两点，则该直线的斜率为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点连线的斜率公式可求得该直线的斜率. 【详解】由题意可知，直线的斜率为. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以． 3. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以，即． 4. 已知，则（ ） A. 11 B. C. 45 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为. 6. 若，，则与同方向的单位向量是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】可知，则， 所以与同方向的单位向量是. 7. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体  中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 8. 过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 二、多选题（共18分，每题满分6分，少选得3分，选错或多选不得分.） 9. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据法向量的定义求解即可. 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误. 设平面的法向量为非零向量. 由题意知，则，且. 当时，，B正确；当时，，D正确； 不存在实数，使得，故C错误. 10. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可判断B，利用空间向量垂直和平行的坐标表示即可判断AC，利用空间向量夹角的坐标表示即可判断D.. 【详解】空间向量 对于A，，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A：利用异面直线的夹角定义求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可,选项C：利用等体积法求解即可，选项D：建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出线面角正弦值的表示式，再运用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面，, 平面，又因为平面，， 同理可得平面，又因为平面，， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面, 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，， 从而，， 由正方体的性质知：平面， 即平面，故平面的法向量可取为， 直线与平面所成角正弦值为，, 因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题每题5分，共4题，总20分. 12. 若与垂直，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为与垂直，则，解得. 13. 已知点，，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【详解】依题意得，，则， 又，，所以， 则点到直线的距离为. 14. 设，向量，，，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据空间向量的垂直和平行，列方程求出，然后再求模长即可. 【详解】根据可得，故，此时，由可得，故，此时，于是故. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： （1）直线和的方向向量的坐标； （2）平面的一个法向量的坐标． 【答案】（1）， （2）（答案不唯一） 【解析】 【小问1详解】 由正方体的棱长为2，则，，， ∴直线的方向向量， 直线的方向向量. 【小问2详解】 设向量是平面的法向量，则 取，得，，则是平面的一个法向量． 16. 已知直线经过，，直线经过点，. （1）若，求m的值； （2）若，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求两条直线的斜率，由得，列关系式求解; (2)由得，列关系式求解。 【小问1详解】 直线斜率，直线的斜率， 由得，所以，所以. 【小问2详解】 由得,由(1)可得，所以. 17. 已知，． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，， 则，，， 所以. 【小问2详解】 若，则， 即，解得. 18. 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）求锐二面角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）作出直线与平面所成角，解直角三角形即可得答案. （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设线段上存在，根据向量的距离公式，求得得到的坐标，进而得的值． 【小问1详解】 作，垂足为E，连接， 因为侧面底面，侧面底面，故底面， 底面，则， 则即为直线与平面所成角， ，故，故， 则, 又，故， 故. 【小问2详解】 因为侧面底面，侧面底面，， 底面，故侧面， 以点A为坐标原点，以分别为轴，以过点A垂直于平面的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图： 则，则，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 结合题意可知平面的法向量可取作， 设锐二面角为，则， 【小问3详解】 设线段上存在，使得它到平面的距离为， 由，可得到平面的距离， 解得或(舍去)，所以，则． 19. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】（1）斜率为1，倾斜角为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【小问1详解】 解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； 【小问2详解】 解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $