精品解析：河南周口市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学试卷（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在三棱柱中，D是的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若空间的单位基底满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 在，，这三条直线中，其中一条与另外两条直线都垂直，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的顶点为，，，则垂心的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若关于的方程有两个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 所有直线都可以用方程表示 B. 过点，的直线的两点式方程为 C. 所有过点的直线都可以用方程表示 D. 在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程表示 10. 已知空间向量，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 11. 如图，半圆面平面，是圆的直径，多边形是正六边形，，，分别是弧，线段上的动点（均不含端点），，则（ ） A. 平面平面 B. 不存在点，，使得 C. 点的运动轨迹长度为1 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过定点，则点的坐标为__________． 13. 一条光线从点射出，经平面反射后到达点被吸收，则该光线从点到点走过的路程为__________． 14. 在四棱台中，平面，四边形为正方形，，为棱的中点，点在侧面内．若，则面积的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，． （1）求直线的斜截式方程； （2）若，，三点共线，求的值； （3）若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 16. 在正方体中，，为的中点，为的中点．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）请直接写出点，，，的坐标； （2）若，分别为，上的点，且，，三点共线，求点，的坐标； （3）设，若，，，四点共面，求的值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，，分别为线段，，的中点，，． （1）证明:． （2）证明：平面． 18. 如图，在平面四边形中，过点作，垂足为，且，，，，将沿折起，使得点到达点处，得到四棱锥． （1）若平面平面，证明：． （2）已知二面角的大小为． （ⅰ）求异面直线与所成角的正切值； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 19. 定义：在四面体中，若过顶点的直线与棱，，所成的角均相等，则称为顶点处的等角轴，已知在四面体中，底面，，，顶点，，，处的等角轴交于一点，过点作，，，，，，垂足分别为，，，，，，如图所示． （1）求的长． （2）求点到平面的距离． （3）试问在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线l经过点，，则直线l的斜率． 2. 点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式，将点和直线的系数代入计算即可． 【详解】点到直线的距离为 3. 在三棱柱中，D是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】， 4. 若空间的单位基底满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用单位向量的模为1以及两两夹角为，求出所需向量的数量积，再展开计算. 【详解】由题意，，且. . 5. 在，，这三条直线中，其中一条与另外两条直线都垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得三条直线的斜率，结合题意，可得，即可求解. 【详解】根据题意，当时，不符合题意，所以，则，，， 因为，所以只能是同时垂直于，所以，解得． 6. 如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，先证明平面，得出在平面内的投影向量为，即是在上的投影向量，再代公式计算得出结果. 【详解】由题可知如图，过点作，垂足为， 因为平面α，所以，又，所以平面， 故在平面内的投影向量为 7. 已知的顶点为，，，则垂心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线AB的斜率为， 所以边AB上的高所在直线的方程为，即． 因为直线AC的斜率为， 所以边AC上的高所在直线的方程为，即． 由解得故垂心的坐标为． 8. 已知函数若关于的方程有两个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用直线与的图象有两个交点，由图确定的变化范围即可. 【详解】根据题意可得直线与的图象有两个交点，作出的图象，如图所示， 由得. 由，解得，此时． 因为，所以当直线经过点时，斜率为． 故由图可得k的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 所有直线都可以用方程表示 B. 过点，的直线的两点式方程为 C. 所有过点的直线都可以用方程表示 D. 在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程表示 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，所有直线都可以用方程表示，A正确； 对于B，过点，的直线的两点式方程为， 即，B正确； 对于C，直线经过点，但不可以用方程表示，C错误； 对于D，在两坐标轴上的截距均为0的直线不能用方程表示，D错误. 10. 已知空间向量，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积的定义、运算律、向量夹角公式求解判断各选项即可. 【详解】对于A，根据题意可得， 所以，又，， 则，解得， 因为，所以，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确， 对于D，， 当且仅当时，等号成立，D正确， 11. 如图，半圆面平面，是圆的直径，多边形是正六边形，，，分别是弧，线段上的动点（均不含端点），，则（ ） A. 平面平面 B. 不存在点，，使得 C. 点的运动轨迹长度为1 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理可判断A选项；通过建立空间直角坐标系，用三角函数表示点的坐标为，利用向量共线，设，可得点坐标，利用向量垂直关系可判断B选项；根据B选项中得到的与的关系式，求得点运动轨迹，可判断C选项；利用数量积的坐标运算，可判断D选项. 【详解】因为为直径，所以，因为半圆面平面，半圆面平面，，平面， 所以半圆面，又半圆面，所以，因为， 所以平面，又平面，所以平面平面，则A选项正确； 取的中点P，连接，，取半圆弧的中点，连接, 以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，,设， 则，设则， 所以，由，得． 由，得，所以，所以，解得，则B选项错误; 由，得，所以 因为，所以，令，， 则， 所以，，所以，又， 所以点H的运动轨迹长度为2，则C选项正确； 连接，则，当时，取得最小值，最小值为，则D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直线过定点，即与参数无关，因此整理为关于的方程式即可求解. 【详解】由，得，所以，解得， 即． 13. 一条光线从点射出，经平面反射后到达点被吸收，则该光线从点到点走过的路程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】点关于平面Oyz对称的点为， 则所求路程为． 14. 在四棱台中，平面，四边形为正方形，，为棱的中点，点在侧面内．若，则面积的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，根据题意设，，由转化为，得到的关系式，利用二次函数求最值即可得到的最小值，由四棱台的线面位置关系判断出是直角三角形，当最小时的面积最小，最后用面积公式求出即可． 【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，． 设，则．因为， 所以， 由，，得，所以， ， 当时，等号成立，取得最小值，因为平面， 所以，则面积的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，． （1）求直线的斜截式方程； （2）若，，三点共线，求的值； （3）若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 【答案】（1） （2）5 （3）. 【解析】 【分析】（1）首先根据两点坐标求直线斜率，再代入点斜式方程整理为斜截式即可； （2）利用点C在直线上，将C点坐标代入方程求解； （3）首先利用中点坐标公式求出AB边的中点坐标，再根据两点坐标求该直线的斜率，写出点斜式方程后整理为一般式即可. 【小问1详解】 因为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 若，，三点共线，则点在直线上， 所以点的坐标满足方程，则. 【小问3详解】 由题意得线段的中点为. 若，则，则， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 16. 在正方体中，，为的中点，为的中点．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）请直接写出点，，，的坐标； （2）若，分别为，上的点，且，，三点共线，求点，的坐标； （3）设，若，，，四点共面，求的值． 【答案】（1），，，． （2），． （3）． 【解析】 【小问1详解】 由题意可得，，，． 【小问2详解】 设，，其中，， 因为，，三点共线，所以存在，使得， 即， 所以解得 所以，． 【小问3详解】 因为，，，四点共面，所以存在，，使得， 即， 所以解得，故． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，，分别为线段，，的中点，，． （1）证明:． （2）证明：平面． 【答案】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，且不在同一条直线上，则． （2）由（1）可得，，则，． 设平面的法向量为，则， 令，则． 因为，所以，故平面． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面四边形中，过点作，垂足为，且，，，，将沿折起，使得点到达点处，得到四棱锥． （1）若平面平面，证明：． （2）已知二面角的大小为． （ⅰ）求异面直线与所成角的正切值； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：过点作，垂足为， 因为，，所以，． 因为平面平面，平面平面，，所以平面． 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 所以，． 因为，所以，即． （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】(1)折叠问题，利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，求出对应向量，通过向量点积为零证明线线垂直. (2)(i)找到二面角的平面角，写出折叠之后点的空间坐标，求出两条异面直线的方向向量，利用向量夹角公式求出夹角余弦，再计算正切值. (ii)求出平面的两个方向向量，求解平面法向量，利用直线方向向量与平面法向量夹角，换算出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 过点作，垂足为． 根据题意可得，则，，，，， 所以，． 设异面直线与所成的角为， 则， 所以， 则，即异面直线与所成角的正切值为． （ⅱ）由（ⅰ）可得，，． 设平面的法向量为， 则，令，则． 设与平面所成的角为， 则． 故与平面所成角的正弦值为． 19. 定义：在四面体中，若过顶点的直线与棱，，所成的角均相等，则称为顶点处的等角轴，已知在四面体中，底面，，，顶点，，，处的等角轴交于一点，过点作，，，，，，垂足分别为，，，，，，如图所示． （1）求的长． （2）求点到平面的距离． （3）试问在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）证得，设，结合，即可求解； （2）以为原点，建立坐标系，设，由和，求得，再求得平面的法向量为，结合向量的距离公式，即可求解； （3）设，得到，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【小问1详解】 解：因为底面，底面，底面， 所以，，则． 由题意得在，上投影向量的模相等，即可设， 则，， 同理可得：，， 所以，解得，即． 【小问2详解】 解：取的中点，连接， 以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在直角中，， 则，，，， 可得，，， 设，则， 由，可得， 解得，所以 则，，，， 又由，得， 解得，所以，可得． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 连接，因为， 所以点到平面的距离为． 【小问3详解】 解：假设在线段上存在符合题意的点， 设，其中，则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以． 设平面与平面的夹角为， 则， 整理得，解得或（舍去）， 所以在上存在符合题意的点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $