精品解析：吉林省百强名校2026-2027学年高一上学期适应性训练数学试卷

吉林省百强名校2026-2027学年度高一适应性训练 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题 1. 已知命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定 【详解】因为命题：，， 所以命题的否定：，， 故选：C. 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合并集的定义，则即可求解． 【详解】因为， 又，则 解得 故选：A 3. 若集合，且集合有且只有两个子集，则a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素，从而对的首项系数进行讨论求出参数的值. 【详解】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素， 当时，为满足题意. 当时，只有一个根，则： ， 所以， 综上所述：或. 故选：C. 4. ，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出的范围即可． 【详解】已知集合，， ，， ①当时，满足，此时，故； ②当时，因，则，解得． 综上，． 故选：A. 5. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断.此题判断充分性时，需结合均值不等式；判断必要性时，用特殊值即可. 【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立； 当时，满足，但此时，必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 6. 设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 7. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”. 所以，即实数a的最小值为. 故选：D. 8. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：，当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ） A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 二、多选题 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用作差法计算可得A错误，C正确，取特殊值可得B错误，由不等式性质计算可判断D正确. 【详解】对于A，由可得，所以，即，即A错误； 对于B，不妨取，，此时，即B错误； 对于C，由可得，所以，即，因此C正确； 对于D，由可得，又，所以，即D正确. 故选：CD 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A直接应用基本不等式判断；B由代入目标式，结合二次函数性质判断；C、D利用基本不等式“1”的代换判断. 【详解】对于A，因为，且，所以， 则，当且仅当时等号成立，正确． 对于B，由，得，又，所以，则， 所以，当且仅当，即时等号成立，正确． 对于C，， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，错误． 对于D，由， 当且仅当，即时等号成立，正确． 故选：ABD 11. 已知，且，则下列不等式不恒成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先变形等式可得，结合基本不等式和换元法计算判断各个选项. 【详解】因为，， 所以，化简得 对于A，因为，A不成立. 对于B，因为可得，根据基本不等式， 设，则，即， 当且仅当时取等号，所以，B不恒成立. 对于C，因为可得，根据基本不等式 （当且仅当时取等号），所以， 当且仅当时取等号，C不恒成立. 对于D，，令，由上分析可知， 所以，令，根据二次函数的性质可得， 当且仅当，即时取等号，D恒成立. 故选：ABC. 三、填空题 12. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有：， 故答案为：. 13. 已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 14. 对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有真子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为______，的“大和数”为______． 【答案】 ①. 30 ②. 30690 【解析】 【分析】根据给定条件，求出集合中所有元素之和得“小和数”；求出集合含有其中每个元素的真子集个数，进而求出“大和数”. 【详解】依题意，集合的“小和数”为； 例如集合中含有元素的真子集可视为集合的真子集与集合的并集， 而集合的真子集个数为， 因此集合的所有真子集中，元素出现次，同理集合的所有真子集中，集合的每个元素都出现次， 所以的“大和数”为. 故答案为：30；30690 四、解答题 15. 设全集，集合，非空集合，其中． （1）若命题“，”是真命题，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据条件：命题“，”是真命题，可得，根据集合关系列不等式解出即可. (2)解出集合A，根据“”是“”的必要条件，故，注意为非空集合，根据子集关系列出不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 因为命题“，”是真命题， 所以，即，解得． 所以 【小问2详解】 因为，所以， 因为集合是非空集合，所以． “”是“”的必要条件，所以． 即，解得 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）（2）3 【解析】 【分析】 （1）先化简集合，再求出，再求； （2）根据集合的交集运算结果可知3是的根，即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以或， 又因为集合， 所以； （2）， 是方程的一个根， ， .经检验，满足题意 17. 现有，，，四个长方体容器，，的底面积均为，高分别为，；，的底面积均为，高分别为，（其中．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 【答案】在不知道，的大小的情况下，取，能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故可能有种，即取，． 【解析】 【分析】当时可得；当时可得，分情况讨论，最终有，故可得到答案. 【详解】设，，，的体积分别为，，，， ①当时，则，即， 在此种条件下取，能够稳操胜券． ②当时，则，即， 在此种条件下取，能够稳操胜券． 若甲先取、，. 若甲先取、， 因为，的大小关系不确定，故最终不能确定能否取胜； 若甲先取、，， 因为，的大小关系不确定，故最终不能确定能否取胜； 在不知道，的大小的情况下，取，能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握． 故可能有种，就是取，． 18. 对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义 （1）结合Venn图，请用集合的描述法表示； （2）若，，求； （3）若，，且，求实数的取值集合． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【小问1详解】 由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. 【小问2详解】 由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. 【小问3详解】 因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 19. 若实数满足，则称比远离. （1）若2比远离1，求x的取值范围； （2）设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. （3）若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 【答案】（1）； （2）比更远离, 理由如下：要证比更远离,只要证， 即证， 因为，所以， 所以只要证，即证， 因为，所以， 所以， 所以比更远离； （3）比更远离，理由：因为，当且仅当时等号成立， 所以，从而， ①， ， 即； ②时，， ， 即， 综上：，即比更远离. 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式可求得结果； （2）若比更远离，则成立，利用分析证明即可； （3），可得，然后分类判断与的大小关系即可. 【小问1详解】 根据题意可得：， 所以，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式和基本不等式的应用，解题的关键是对比远离的正确理解，考查转化思想和分类讨论的思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省百强名校2026-2027学年度高一适应性训练 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题 1. 已知命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，且集合有且只有两个子集，则a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不能确定 4. ，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：，当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ） A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 二、多选题 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且，则下列不等式不恒成立的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知集合，，则______． 13. 已知，且，则的最小值为_________． 14. 对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有真子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为______，的“大和数”为______． 四、解答题 15. 设全集，集合，非空集合，其中． （1）若命题“，”是真命题，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围． 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的值. 17. 现有，，，四个长方体容器，，的底面积均为，高分别为，；，的底面积均为，高分别为，（其中．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 18. 对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义 （1）结合Venn图，请用集合的描述法表示； （2）若，，求； （3）若，，且，求实数的取值集合． 19. 若实数满足，则称比远离. （1）若2比远离1，求x的取值范围； （2）设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. （3）若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $