精品解析：吉林长春市第二实验中学2026-2027学年高一上学期10月阶段练习数学试题

2026-2027学年度上学期阶段练习 高一数学试题 时间：2026/10/12 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共2页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢篮球或羽毛球，的学生喜欢篮球，的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“命题为假命题”的（ ）条件 A. 既不充分也不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 充分不必要 8. 小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（ ） A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知集合恰有4个子集，则的值可能为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 设正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 的最大值为 C. 的最大值为4 D. 的最小值为12 11. 已知为实数，表示不超过的最大整数，例如，.则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本小题共3题，每题5分，共15分） 12. 不等式的解集是____. 13. 设函数，则______． 14. 若对于任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题（本小题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，． 16. 已知，. （1）若p为真命题，求a的取值范围； （2）若p，q一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围. 17. 设集合，． （1）若，求； （2）当时，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18. 某体育场可容纳名观众．体育场按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为年．已知隔热层的建造成本是万元/厘米，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为万元．年的总维修费用为万元．记为年的总费用．（总费用=隔热层的建造成本费用+使用年的能源消耗费用+年的总维修费用） （1）求年的总费用关于的函数表达式； （2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，年的总费用最小，并求出最小值． 19. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； （3）求证：，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期阶段练习 高一数学试题 时间：2026/10/12 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共2页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，则. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以，命题“，”的否定是“，”． 故选：B． 3. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢篮球或羽毛球，的学生喜欢篮球，的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图，列出方程求解即可． 【详解】设只喜欢篮球的百分比为，只喜欢羽毛球的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为， 由题意，可得，，，解得. 所以该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是. 故选：D. 4. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于C，与的定义域均为，对应关系相同，故与是同一个函数，正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，取，满足，此时不成立，B错误； 对于C，取，满足，此时不成立，C错误； 对于D，因为，可知，故，D正确. 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 7. “”是“命题为假命题”的（ ）条件 A. 既不充分也不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 充分不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题与存在命题之间的关系、一元二次不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】因为命题，为假命题， 所以该命题的否定为真命题，即，为真命题， 当时，，该命题为真命题； 当时，则有，所以， 显然当能推出，但是由不一定能推出， 所以“”是“命题，为假命题”的必要不充分条件. 8. 小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（ ） A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断 【答案】C 【解析】 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， 设第一次操作（药剂在右盘）称得的药剂为克， 第二次操作（药剂在左盘）称得的药剂为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取等号，而，所以. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知集合恰有4个子集，则的值可能为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】集合恰有4个子集，则集合有2个元素，问题转化为有两个不相等的实数解即可. 【详解】因为集合恰有4个子集，所以集合有2个元素，则有两个不相等的实数解，则，解得. 故选：ABC. 10. 设正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 的最大值为 C. 的最大值为4 D. 的最小值为12 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最大值，即可判断A；利用选项A中的及求出的最大值，即可判断B；利用，将转化为，再根据基本不等式求出其最大值，即可判断C；利用“1”的变形，将转化为，再根据基本不等式求出其最小值，即可判断D. 【详解】因为正实数a，b满足，所以， 即，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为3，即A正确； 由A知，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 由可得. 因为，所以，解得. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4，故C正确； 因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为2，故D错误. 故选：AC 11. 已知为实数，表示不超过的最大整数，例如，.则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例判断A；结合的含义以及利用数形结合，可判断B；讨论x是否为整数，分类说明，判断C；利用作差法，结合的基本性质，可判断D. 【详解】对于A，不妨取，则， 则此时，A错误； 对于B，由定义表示不超过的最大整数，可知成立， 如图，作出的图象，可知成立， 故，B正确； 对于C，若x为整数，则，成立； 若x为有小数部分的数，不妨设， 由于， 故成立等价于成立， 等价于成立， 当时，上式左边=0，右边=0，成立， 当，上式左边=1，右边=1，成立，故成立，C正确； 对于D，，当时等号成立， 故，而后面等号在x为整数时取到，故等号不同时成立，则，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查取整函数的知识点，解答的关键是要理解取整函数的含义，明确其基本的性质，由此结合各选项，即可判断答案. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本小题共3题，每题5分，共15分） 12. 不等式的解集是____. 【答案】 【解析】 【详解】不等式化为， 因式分解得，解得. 不等式的解集为， 13. 设函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段判断并代入求值. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为： 14. 若对于任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由已知条件将问题转换为，利用基本不等式可求得，而注意到，则结合二次函数对称轴得出a. 【详解】设， 则可将问题转化为， ，当且仅当， 即时等号成立，故，， 由于，则是最小值，则对称轴，， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题（本小题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，． 【答案】（1） （2），或. 【解析】 【分析】（1）解不等式得集合A和B，再由交集的定义求； （2）根据集合的补集交集和并集的运算，直接求解即可； 【小问1详解】 ， ， 所以． 【小问2详解】 因为，, 所以， 又，所以． 由（1）知， 所以或. 16. 已知，. （1）若p为真命题，求a的取值范围； （2）若p，q一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以解得或 所以p为真命题时，a的取值范围是. 【小问2详解】 因为得出且所以q为真命题时，a的取值范围是； 若p真q假时，，所以a的取值范围是， 若p假q真时，，所以a的取值范围是； 综上知，a的取值范围是. 17. 设集合，． （1）若，求； （2）当时，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，解分式不等式和一元二次不等式表示出集合、,再进行并集运算. （2）根据，通过十字相乘分解因式，解出集合，再结合数轴确定参数取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以， ； 【小问2详解】 ，且当时，， ， 又“”是“”的必要不充分条件， ，解得， 故实数的取值范围为． 18. 某体育场可容纳名观众．体育场按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为年．已知隔热层的建造成本是万元/厘米，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为万元．年的总维修费用为万元．记为年的总费用．（总费用=隔热层的建造成本费用+使用年的能源消耗费用+年的总维修费用） （1）求年的总费用关于的函数表达式； （2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，年的总费用最小，并求出最小值． 【答案】（1）且； （2）厚度为9厘米，最小总费用为87万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知当无隔热层时，每年能源消耗费用万元，得出，从而得出，再根据题给的总费用公式得出关于的函数表达式； （2）根据关于的函数表达式，利用基本不等式求其最小值． 【小问1详解】 依题意，当无隔热层时，每年能源消耗费用万元，即，得，故， 所以，即的表达式为； 【小问2详解】 ，则， 当且仅当，即当时取得最小值， 所以隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为万元． 19. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； （3）求证：，且． 【答案】（1），证明如下： . 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. （2）证明： 由（1）及是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. （3）证明：由（1）可知. 取，则 ，故有 ， 则有， 因为， 所以 ， 故，且. 【解析】 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. （3）先由结论得到，再利用乘法法则证明结论. 【小问1详解】 ，证明略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $