2026-2027学年高三上学期数学期中模拟测试卷（湖南省适用）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年度高三上学期期中模拟测试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．___________________ (5分) 13．___________________ (5分) 14．___________________(5分) 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $《2026-2027学年度高三上学期数学期中模拟测试卷》参考答案 题号 1 3 6 7 8 9 10 答案 C B B D A B ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1.C 【详解】由题意得卫为x>0,x2-2x+1≥0. 2.A 【详解】z=3+i,∴z=3-i,.z的虚部为-1. 3.B 【详解】由集合B={x1≤x≤3}，可得CB={x|x<1或x>3} 又由A={x0<x≤2}，则An(CB)={x0<x<} 4.B 【分析】化简可得f()=V5si血x+4): 结合三角函数图象变换可得平移后的解析式为 y=√2sin x+49 再结合奇函数性质可得结论 【详解】函数f(x)=sinx+cosx=V2simx+ 的图象向右平移p(p>0)个单位， 4 图家大干原点刻陈即子-。一：， 解得知=m+至又>0，当k=0时，9的最小值为 4 5.D 【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项分析判 断，即可求解 【详解】对于A,若事件A,B互斥，则两个事件不可能同时发生， 根据互斥事件的概率加法公式，可得P(A+B)=P(+P(B),所以A正确： 对于B,若事件A,B相互独立，则事件A发生不影响事件B发生的概率， 可得事件A发生不影响事件B发生的概率，则A,B也相互独立， 所以P(AB)=P(A)P(B),所以B正确： 对于C,若事件A,B,C两两互斥，则任意两个事件都不可能同时发生， 答案第1页（共12页） 由互斥事件的概率加法公式，可得P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C),所以C正确： 对于D,例如：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A为第一枚硬币正面向上， 事件B为第二枚硬币正面向上，事件C为两枚硬币结果相同，则事件A,B,C两两独立， 可得R)Pg)t时0PeP日 事件ABC表示两枚硬币的正面都向上，可得P(ABC)=4, 则P(ABC)≠P(AP(B)P(C),所以D错误. 6.A 1+4 【详解】由a,n=1-a, 1+a 1+ g-1.&4=-1 1 则4+2= +a=,+aa, 1-a+1- 6u21-4 1-4 所以数列{a}的周期为4， 又476-会=， 1 1+4=-2,4 -1+4=-1 Γ1-42 1-43 故4027=006x43=4=-2. 7.C 【分析】由题意可得2026225=(2027-1)05，利用二项式定理可得其展开式，进而化为2027a+b形式， 即得答案。 【详解】20262025=(2027-1）205=C8ms20272025-C0202704+C052027203-C32027202+ …+C02027-C0 =2027(C90s2027204-C20520272023+C30ms2027202-C02s20272021++C82)-1 =2027C9252027224-C520272023+C30252027202-C0s202720n1++C8-1）+2026, 对照20262025=2027a+b得b=2026. 8.B 【分析】借助双曲线定义与双曲线的对称性，结合题意可得B=PF=5a,BF=3a,利用勾股定理计 算即可得解 【详解】如图所示，取双曲线左焦点耳，设PF=m,则A=3P=3m, 由双曲线定义可得AF-A=B-BF=2a,又B、P关于原点对称， 答案第2页（共12页） AF =3m-2a,BR=PF =m,BF=m-2a, 则AB=3-(m-2a)=2+2a, 由PF⊥AB,故EB⊥AB,故有(3-2a=(2+2a+m2, 化简可得m=5a,即有B=P=5a,BF=3a, 由PF⊥AB,则有(2c)=(5a+(3a,即4c2=34ac2, 即e=c=34 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于找出左焦点，设P℉=m,从而借助双曲线定义将其它边表示出 来，结合勾股定理计算出各边长，从而可列出与、c有关的齐次式，得到离心率 9.ABD 【分析】根据题意举例判断即可 【详解】解：对于A,当掷骰子出现的结果为1,1,2,5,6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出 现点6，所以A正确： 对于B,当掷骰子出现的结果为2,2,3,4,6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B 正确： 对于C,若平均数为2，且出现点数6，则方差32>1(6-22=3.2>24，所以当平均数为2，方差为2.4 5 时，一定不会出现点数6，所以C错误： 对于D,当掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3，则平均数为 x-a+2+3+3+0=3,方差为s=号[0-3y+0-)+B-3°+3-3》+(6-3]28，所以可以出现 5 点6，所以D正确， 故选：ABD 10.ACD 【分析】利用等体积法计算判断A；利用位置关系的向量证明判断BD;确定点E位置判断C. 答案第3页（共12页） 【详解】在正方体ABCD-ABC1D中，令AB=1,建立如图所示的空间直角坐标系，如图， D 6 A1,0,0),B(1,1,0),A1,0,1),B11,1,1),C1(0,1,1),D(0,0,1),E1,元，0)，F1-4,1,0), D C B 对于A,A-r=V-4网= 8号分A正疏 对于B.B丽-(1-1，BF=(号Q-0,Bm8P-0, 则BD与BF不垂直，因此BD,与平面BEF不垂直，B错误： 对于C,当A=)时，B是线段AB的中点，点A与点B到平面ABP的距离相等，C正确： 对于D,AF=(-4,1,-1),CE=1,1-1,-1),而AF-CE=-L+-1+1=0,则AF⊥CE,D正确 故选：ACD 11.ACD 【分析】对于A,利用导数求出函数f(x)的单调区间，由单调性的应用即可判断；对于B,由 2)付)}2h2>0可突断：对于C由思可得则空，令生>D可得 1,从而将问题转化为证+加>2，枸造函数0=nt-2-少(>)，结合导数 t-1 t-1t-1 t+1 研究函数的最小值即可求解；对于D,将问题转化为f(e)≥f(t),当a>0时，e>1,t>1,由于 f)在L+)上单调递增可得e≥r,即a≤品在1+)时恒成立，构迹函数g0>,结合 Int 导数求出函数g()的最小值即可求解 【详解】对于A,:fx)=x-x(K>0),则f'(y)=1-上=-1，所以当0<x<1,f"(e<0,则f(x)在(0,1) 上单调递减，当x>1时，'(x)>0,则f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以f(2)<f(3),故A正确： 对于B自于@-得2-h2-合+h2-号h2.油h2<07所以@-2h20 则) 故B不正确； 对于C,“f(5)=f(3)=m,由A选项不妨假设0<为<1<，则x-lmx=:-lnx,则为-，=l血点，令 名=>0.则无=所以4-=解得：兰>5 答案第4页（共12页） 要证+5>2，即证n+h>2,即证nt>2-少a>D.设h0=nt-2-t>1),则 “t-1t-1 t+1 t+1 N(0)=14 (t-1)2 t(t+1)t(t+1) >0,所以在(1+∞)上单调递增，则a(0>h回)=0，则n1>2-,所以 t+1 +x3>2,故C正确. 对于D,:e-t≥t-ant在t∈(1，+o)恒成立，即e-t≥el-at在t∈(1，+o)恒成立， 则f(e)≥f(t),当a>0时，e>1,t>1,由于f(x)在(L,+o)上单调递增，e≥t, a≤在te+0)时恒成立，令8①>1，则8（≥加 Γlnt ,令8')>0，解得：t>e,所以g(国在 (e,+o)上单调递增， 令g'(t)<0,解得：1<t<e,所以8(t)在(1，e)上单调递减，则g(t)m=g(e)=e,所以0<a≤e,故D正确， 故选：ACD 2.8 【分析】根据题意结合数量积的运算律可得.b=3,利用向量的夹角公式即可求解， 【详解】因为(a-a=ad-ab=-a万=4-a万=1， 所以a6=3,则osa同问2x32 a.b。31 因为a,0)e0,网，所以(a)-号即a与5的夹角为写 13.16 【分析】过点Q作2T垂直准线x=-2,交准线于T点，利用圆的几何性质以及抛物线的定义可得 Mg+MW≥MQ+MT-1≥|OT-1,当且仅当M、N、C三点共线且点N在点M、点C之间时取等 号，且M、Q、T三点共线时两个等号成立，求出直线2T的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联 立，求出点M的坐标，进而可求得CM.CQ的值. 【详解】由题可得显然Q(5,4)在抛物线内部，圆C的圆心为C(2,0),半径为=1， 圆心恰为抛物线的焦点， 过点9作2T垂直准线x=-2,交准线于T点， 答案第5页（共12页） 所以Mg+W≥Mg+MC|-r=Mg+MT-1, 当且仅当M、N、C三点共线且点N在点M、点C之间时取等号， 又Mg+T≥T@,当且仅当M、9、T三点共线时取等号， 此时直线2T的方程为y=4,联立'-4，可得. 「x=2 y=4'即点M(2,4), 所以CM=(0,4),C2=(3,4),所以CM.C2=16 14.2026 【分析】根据已知关系式可得a+-a,>0,知数列{an}为递增数列；采用裂项相消法可求得 1 S=n-1+- 11'知S30m=2026+ 1 002g-1, 由数列单调性可求得 02g- ∈(0，)，由此可推导得到 S207∈(2026,2027)，最后结合取整函数定义求得结果即可. 【详解】因为aH=a-a+1,所以a-1=a-a=a(a-1), 可得1.111 aH-1a.(a.-1)a.-1a1 化简得 1-1-1 .a-1a-1:而 aa. 由题意得3=立412Q-马)=n-公1 台a a. 而2111 ，11 1、1 台42-14-1…a-1a+1-1aH-1 可得3=-0-1)=1-1+1 aH1-1 9+1-1y 而4H=a2-4.+1,则a+H-4.=a-24,+1=(a.-1)2>0, 得到数列a}是单调递增数列，且S7=2026+1 %028-1 答案第6页（共12页） 1 因为4=2，所以a8∈(2，+0)，得到 a038- ∈(0,1)，可得S7∈(2026,2027)， 而记[]为不超过实数x的最大整数，故[S7]=2026. 15.ω号 (2)3 2 【分析】(1)由正弦定理化简可得sinAcosB+sinBcosA=2 sinCcosC,再根据两角和的正弦化简求解即 可； 2)由sin4=2imB可得A=2,B=。，再根据三角形面积公式计算退 【详解】(1)因为acosB+bcos4=2 ccosC,所以sinAcosB+sinBcos4=2 sinCcosC, 则sin(A+B)=2 sinCcosC,即sinC=2 sinCcosC, 所以cosC= 2,因为Ce(0,m),故C=亚 3 元） (2)sin4=2sinB 2sin+=sind+3cos4,Cos4=0, 3 3 6 6m子=6， 所以4罗6=石所以gmC 因为c=5,所以b=1c=5,所以5 vbe sin=5 2 16.(1)M为棱PD的中点，理由如下： 取AB的中点O,连接PO,CO, B 因为PA=PB=√2，AB=2,所以PO⊥AB,PO=1,BO=1. 又因为ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以CO⊥AB,CO=V3, 因为CO2+PO=PC2,所以PO⊥CO,AB⌒CO=O,AB,COC平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD, 因为AD//BC,BCC平面PBC,ADE平面PBC,所以ADII平面PBC, 答案第7页（共12页） 所以V,-Bc=VAc=-AB e-PO.S.me-xIxx2x 3 3 因为VM-PBC= 所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的}， 所以PM=MD,所以M为棱PD的中点， (2)V2 29 【分析】(I)由题意AD/I平面PBC,求得体积关系：VM-Bc= oc,即可得出答案： (2)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面C的法向量和底面ABCD的法向量，利用二面 角的向量公式求解即可. 【详解】(1)略 (2)因为PO⊥平面ABCD,BO,COC平面ABCD, 所以POL BO,PO⊥CO,又BO⊥CO, 如图，以O为坐标原点，OC,OB,OP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(N3,0,0),D(N3,-2,0),P(0,0,1) 所停cw-(号9 底面ABCD的法向量为m=(0,0,1), 设平面NC的法向量为i=(x,y,z), 则i-a=0 5,3 2x+y=0 即{ 2 n.CM=0 1 -y+22=0 2 取y=1,x=√3，z=5,得i=（N3,15) 设平面MNC与底面ABCD所成角为O, m.n 5 5 5V29 所以cos6=cos(m,i 城同 3+1+252929, 平面NC与底面ABCD所成角的余弦值为y29 29 答案第8页（共12页） ZA B 17.(1)y=-x+2 和2+0上各有一个零点，共2个零点 (6)3-2n2 【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解； (2)根据导数分析出函数的单调区间即可判断出函数零点个数： （3)由题得出a名2年，b=%++1,枸造函数8)=a+2功，根据导数即可求解最小值。 1 【详解1(1f(s)=1-2x=1-2x,了0=-1f0=1, 所以曲线y=f(x)在点1，f)处的切线方程为y-1=-(x-1)→y=-x+2. (2)令f12-0=2或-5（合. 2 2 当Q号）时，了因>0，则刊单湖范路， 当（侣时，o0,则儿平网速 则f(x)≤f √21 2 h 22 如2>0. 又x0时，f(x)→-0，x→+0时，f(x)→-0， 2 和 上各有一个零点，共2个零点， (3)不等式∫(x)≤ax+b恒成立且在某个处等号成立，说明直线y=+b在曲线y=f(x)上方，且相 切于点(，f(), 由f)2x得，a-1代)=-2。 答案第9页（共12页） 切线方程为y-f(x)=f'()(x-)→y=f'()x-∫'()+f(), 所以b=-6f%)+f)=-2西+血%-亏+2习 =h+号+1， 设8(k)=a+2b= 传22恤e号212h52买2,60， 8)=-1 2+2+4 =4号-2号+2-1_(2-10(2x+1) 号 1 令g(x)=0→0= 当名∈0，时，g)<0,则s)单调递减， 2 当行时，8)0，则：回单训谥。 所以8)289=2-2x,+2n5+2x1+2=7 1, 4 -2ln2, 2 2 所以a+26的最小值为子-22. 80号+ (②)m=±V6 2 3)存在，m=±6，元=4 【分析】(1)利用椭圆长轴长和离心率概念，即可列式求解： (2)利用联立方程组，结合韦达定理和向量OA.OB=0,即可求值： 1 MB,通过定值思想可求得参数 1 (3)利用联立方程组，结合韦达定理来表达 十 2a=2W5 【详解】(1)由题意知， ￡-6 ,解得a=√5，b=1, b2=a2-c2 所以r的标准方程为 93+2=1. (2)由1的斜率为1，则直线l的方程为x=y+m. 设A(5,),B(xy), 答案第10页（共12页） 联立 x+3=3,消去x得，42+2+m2-3=0, x=y+m 其中△=4m2-4×4×(m-3)>0,解得-2<m<2, 所以男+g=受以m, 4Γ 所以=+m)(+m）=头+m(男+马)+m=3-3 4 因为Q4.OB=0,所以55+，=3m-3+m,3-0,解得m= 4 4 2 (3)①当直线的斜率不为0时，设其方程为x=y+m, 联立 x+3y=3,消去x得，(+3)2+2+m-3=0, x=ty+m 其中△=4t2m2-4×(t2+3)×(m2-3)=12(t2-m2+3)>0, -2tm1 所以4+为+3’y=P3, 1 1 1 1 1 1 所以M团+M(3-m+(3-m旷+片)+（广+号 42m2-2.m2-3 动六六 t2+3 ()月 t2+1 m2-3 t2+3 12tm2-3m2+32+9）_2(+1m+3)-4m2+6 =+1 (m2-3 t2+1 (m2-3 12(m2+3) 当-4城6-0，即m=t5时，面气- 1 =4,即=4： 2 ②当直线1的斜率为0时，不妨取A(-√5,0)，B(5,0), 若m=5，则w± 2 0 2 1 1 1 1 此时M4MB 4 =4i8+l5s-12544 1 答案第11页（共12页） 综上.布在，使得团网恒为定位，即m=±5，无=1。 11 2 19.(1)C=T(B):1,0,S(M=6 (2)因为a。=b.=Ck=1,且4，b,∈{0,1}(A是0-1数列，B=T(A)也是0-1数列) 由b.=4-a+=1且4=1，得1-ak=1,即a=0, 由ck=lb.-b+=1且b=1,得1-b=1,即b1=0, 所以aH+bH+CH=0+0+CkH=CH,又C+H=|b+1-b+3=|0-b+2=b+3 而b2∈{0,1}，所以CkH≤1，所以a%H+b+1+CH≤1. (3)16. 【分析】第一小问根据题目所给新定义及A逐个计算B、C及S(M.第二小问由题意得到A是0-1数 列，也是B=T(A)0-1数列，再进行推导.第三小问结合题目考虑完全交替序列. 【详解】(1)由题意可知B=T(A):,b,b-1,其中b.=4.-a+, 所以B=T(A)=1-1,1-00-1=0,1,1,同理C=T(B)=0-11-1=1,0, 所以S(M)=1+1+0+1+0+1+1+1+0=6. (2)略 (3)设A:4,,C4,B=T(A):么，b,b(b=a-aH),S(M)=∑A+B+∑C,需要最大化三 个部分的和. 对于∑C=b-b的最大值，对于长度为8的0-1序列B,C=b.-b的最大值是7（此时B为 完全交替序列，如01,01,01,01) ∑B配合2C=b:-b的最大值，∑B=4, ∑A的最大值：完全交替序列B对应A模式为：4,4,1-4,1-4,4,4,1-4,1-4,4，当4=1时， ∑A=5(最大值). 所以S(M)的最大值为：∑A+∑B+2C=5+4+7=16. 答案第12页（共12页） 《2026-2027学年度高三上学期数学期中模拟测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B D A C B ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】由题意得为，. 2．A 【详解】，，的虚部为. 3．B 【详解】由集合，可得或 又由，则. 4．B 【分析】化简可得，结合三角函数图象变换可得平移后的解析式为，再结合奇函数性质可得结论. 【详解】函数的图象向右平移个单位， 得到 图象关于原点对称，即， 解得，又，当时，的最小值为. 5．D 【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若事件互斥，则两个事件不可能同时发生， 根据互斥事件的概率加法公式，可得，所以A正确； 对于B，若事件相互独立，则事件发生不影响事件发生的概率， 可得事件发生不影响事件发生的概率，则也相互独立， 所以，所以B正确； 对于C，若事件两两互斥，则任意两个事件都不可能同时发生， 由互斥事件的概率加法公式，可得，所以C正确； 对于D，例如：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件为第一枚硬币正面向上， 事件为第二枚硬币正面向上，事件为两枚硬币结果相同，则事件两两独立， 可得，此时， 事件表示两枚硬币的正面都向上，可得， 则，所以D错误. 6．A 【详解】由， 则，， 所以数列的周期为4， 又， ，，， 故． 7．C 【分析】由题意可得，利用二项式定理可得其展开式，进而化为形式，即得答案. 【详解】 ， 对照得. 8．B 【分析】借助双曲线定义与双曲线的对称性，结合题意可得，，利用勾股定理计算即可得解. 【详解】如图所示，取双曲线左焦点，设，则， 由双曲线定义可得，又、关于原点对称， 故，，， 则， 由，故，故有， 化简可得，即有，， 由，则有，即， 即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于找出左焦点，设，从而借助双曲线定义将其它边表示出来，结合勾股定理计算出各边长，从而可列出与、有关的齐次式，得到离心率. 9．ABD 【分析】根据题意举例判断即可 【详解】解：对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确； 对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确； 对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C错误； 对于D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，则平均数为，方差为，所以可以出现点6，所以D正确， 故选：ABD 10．ACD 【分析】利用等体积法计算判断A；利用位置关系的向量证明判断BD；确定点E位置判断C. 【详解】在正方体中，令，建立如图所示的空间直角坐标系，如图， ， 对于A，，A正确； 对于B，，，， 则与不垂直，因此与平面不垂直，B错误； 对于C，当时，是线段的中点，点与点到平面的距离相等，C正确； 对于D，，，而，则，D正确. 故选：ACD 11．ACD 【分析】对于A，利用导数求出函数的单调区间，由单调性的应用即可判断；对于B，由即可判断；对于C,由题可得则,令,可得,,从而将问题转化为证,构造函数,结合导数研究函数的最小值即可求解；对于D，将问题转化为，当时，，由于在上单调递增可得，即在时恒成立，构造函数,结合导数求出函数的最小值即可求解. 【详解】对于A，,则,所以当,,则在上单调递减，当时，,则在上单调递增，所以,故A正确； 对于B,由于,由于,所以,则，故B不正确； 对于C，,由A选项不妨假设,则,则,令,则,所以,解得：,, 要证，即证,即证,设,则,所以在上单调递增，则，则,所以,故C正确． 对于D,在恒成立，即在恒成立， 则，当时，，由于在上单调递增，， 即在时恒成立，令,则,令,解得：,所以在上单调递增， 令,解得：,所以在上单调递减，则,所以,故D正确． 故选：ACD 12． 【分析】根据题意结合数量积的运算律可得，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为， 所以，则， 因为，所以，即与的夹角为. 13． 【分析】过点作垂直准线，交准线于点，利用圆的几何性质以及抛物线的定义可得，当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号，且、、三点共线时两个等号成立，求出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，进而可求得的值. 【详解】由题可得显然在抛物线内部，圆的圆心为，半径为， 圆心恰为抛物线的焦点， 过点作垂直准线，交准线于点， 所以， 当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号， 又，当且仅当、、三点共线时取等号， 此时直线的方程为，联立，可得，即点， 所以，，所以. 14．2026 【分析】根据已知关系式可得，知数列为递增数列；采用裂项相消法可求得，知，由数列单调性可求得，由此可推导得到，最后结合取整函数定义求得结果即可. 【详解】因为，所以， 可得， 化简得，而， 由题意得， 而， 可得， 而，则， 得到数列是单调递增数列，且， 因为，所以，得到，可得， 而记为不超过实数的最大整数，故. 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简可得，再根据两角和的正弦化简求解即可； （2）由可得，再根据三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 则，即， 所以，因为，故. （2），所以， 所以.所以， 因为，所以，所以. 16．(1)为棱的中点，理由如下： 取的中点，连接， 因为，，所以，，. 又因为是菱形，，所以，， 因为，所以，平面， 所以平面， 因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 所以. 因为， 所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的， 所以，所以为棱的中点. (2) 【分析】（1）由题意平面PBC，求得体积关系：，即可得出答案； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量和底面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面ABCD， 所以，，又， 如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 底面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 取，，得. 设平面与底面所成角为， 所以， 平面与底面所成角的余弦值为. 17．(1) (2)在和上各有一个零点，共2个零点 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数分析出函数的单调区间即可判断出函数零点个数； （3）由题得出，，构造函数，根据导数即可求解最小值． 【详解】（1），， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）令或（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 则， 又时，，时，， 所以在和上各有一个零点，共2个零点． （3）不等式恒成立且在某个处等号成立，说明直线在曲线上方，且相切于点， 由得，， 切线方程为， 所以 ， 设，， ， 令， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以， 所以的最小值为． 18．(1) (2) (3)存在，，． 【分析】（1）利用椭圆长轴长和离心率概念，即可列式求解； （2）利用联立方程组，结合韦达定理和向量，即可求值； （3）利用联立方程组，结合韦达定理来表达，通过定值思想可求得参数. 【详解】（1）由题意知，，解得，， 所以的标准方程为． （2）由的斜率为1，则直线的方程为． 设，， 联立，消去得，， 其中，解得， 所以，， 所以， 因为，所以，解得． （3）①当直线的斜率不为0时，设其方程为， 联立，消去得，， 其中， 所以，， 所以 ． 当，即时，，即； ②当直线的斜率为0时，不妨取，， 若，则， 此时 ，即． 综上，存在，使得恒为定值，即，． 19．(1)， (2)因为，且（是数列，也是数列） 由且，得，即， 由且，得，即， 所以，又 而，所以，所以. (3)16. 【分析】第一小问根据题目所给新定义及逐个计算、及.第二小问由题意得到是数列，也是数列，再进行推导.第三小问结合题目考虑完全交替序列. 【详解】（1）由题意可知，其中， 所以，同理， 所以. （2）略 （3）设，，，需要最大化三个部分的和. 对于的最大值，对于长度为8的序列，的最大值是7（此时为完全交替序列，如） 配合的最大值，， 的最大值：完全交替序列对应模式为：，当时，（最大值）. 所以的最大值为：. 答案第4页（共12页） 答案第7页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三上学期数学期中模拟测试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．若命题：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．若将函数的图象向右平移个单位后的函数图象关于原点对称，则可取值为（   ） A． B． C． D． 5．给出以下命题，其中错误的命题是（     ） A．若事件互斥，则 B．若事件相互独立，则 C．若事件两两互斥，则 D．若事件两两独立，则 6．设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 7．若正整数a，b满足，其中，则b的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 8．直线过双曲线的右焦点，且与的左、右两支分别交于A，B两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可能出现点数为6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 10．在正方体中，点分别满足，则（   ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，存在使得平面 C．当时，点与点到平面的距离相等 D．当时，总有 11．已知函数，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．若方程有两个不相等的实根，则 D．若不等式对恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量满足，则与的夹角为________. 13．已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 14．设数列满足，，，记为不超过实数的最大整数，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知的内角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 16．如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点． (1)判断是否为棱的中点，并说明理由； (2)求平面与底面所成角的余弦值． 17．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的零点个数； (3)若关于的不等式恒成立且在某个处等号成立，直接写出的最小值． 18．已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为1，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 19．已知数列：，，…，，定义变换，将数列变换成数列：，，…，，其中，，，…，．只有三行的梯形数表中第一行为数列：，，…，， 且，，，…，；第二行为：，，…，，第三行为：，，…，， 满足，．表示梯形数表中所有元素的和． (1)若中第一行数列为：，，，，求及； (2)当正整数时，若有，证明：； (3)若，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ ■■■■ 2026-2027学年度高三上学期期中模拟测试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 目 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 典 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 单项选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 7[A][B][C][D] 7 2[AJ[B][C][D]5[AJ[B][C][D] 8[AJ[B][C][D] 杯 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、多项选择题（每小题6分，共18分) 9[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 12. (5分) 13. (5分) 14. (6分) 器 数学第1页（共6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A B D 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 数学第6页（共6页）2026-2027学年度高三上学期数学期中模拟测试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.若命题p:3x>0,x2-2x+1<0,则P为() A.3x>0,x2-2x+1≥0 B.x<0,x2-2x+1>0 C.x>0,x2-2x+1≥0 D.3x<0,x2-2x+1>0 2.已知复数z满足三=3+，则z的虚部为() A.-1 B.1 C.-i D.i 3.设集合A={x0<x≤2}，B={x1≤x≤3}，则A∩(CB)=() A.{x-1<x<2} B.{x0<x<1} C.{x0<x≤2} D.{x1≤x≤2} 4.若将函数f(x)=snr+cosx的图象向右平移p(p>0)个单位后的函数图象关于原点对称，则p可取值为() A君 B牙 D.买 5.给出以下命题，其中错误的命题是() A.若事件A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B) B.若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B) C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) D.若事件A,B,C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 6.设数列a}满足a只，且4分则，=（) A.-2 c. D.3 3 7.若正整数a,b满足20262025=2027a+b,其中0<b<2027,则b的值为() A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 &直线I过双查线C号茶=006>)的有焦点R,月与c的、右两支分别交于4.B两点，点B关于型 标原点对称的点为P,若PF⊥AB,且AF=3PF,则C的离心率为() A.3 B.V34 C.2 D.V10 2 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可能出现点数为6的是() A.平均数为3，中位数为2 B.中位数为3，众数为2 C.平均数为2，方差为2.4 D.中位数为3，方差为2.8 10.在正方体ABCD-AB,C1D中，点E,F分别满足AE=AB,BF=uBC(九∈[O,1]L∈[0,1])，则（) A.当u=，时，三棱锥A-BF的体积为定值 21 B.当u=时，存在元使得BD上平面BEF 2 1 C.当入=二时，点A与点B到平面BEF的距离相等 2 D.当九=u时，总有AF⊥CE 11.已知函数f(x)=x-lx(x>0),则下列结论正确的是() A.f(2)<f(3) B.-re) C.若方程∫(x)=m有两个不相等的实根x,x2,则x+x2>2 D.若不等式e-t≥t-alnt(a>0)对t∈(1，+o)恒成立，则0<a≤e 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a,6满足同=2，=3，(a-b列a=1,则a与万的夹角为 13.已知点M在抛物线y=8x上，点2(5,4)，点N在圆C:(x-2)+y2=1上，当M回+)取得最小值时， CM.CO- 14设数列权}满足4-2.0=《-a+1,8一会。，为不超过实数x的最大整数，则[S】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acosB+bc0sA=2 ccosC. (1)求角C的大小： (2)若sin4A=2sinB,bc=√3，求△ABC的面积. 16.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，其中∠ABC=60°，△ABP是等腰直角三角 形，PA=PB.,CP-2,点M在棱PD上，且三棱锥-PC的体积为 ,点N是棱PB的中点. (I)判断M是否为棱PD的中点，并说明理由： ◇ (2)求平面MNC与底面ABCD所成角的余弦值. D 17.己知函数f(x)=nx-x2+2. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f)处的切线方程： (2)求函数f(x)的零点个数： (3)若关于x的不等式f(x)≤m+b恒成立且在某个处等号成立，直接写出a+2b的最小值. 18已知精r手茶-1a,6>0的长轴K为25，兴心车为 ,直线1与x轴交于点M(m,0),与T相交于 3 A、B两点. (1)求T的标准方程： (2)若I的斜率为1，且OA⊥OB,求m的值： 1 1 (3)是否存在m,使M团恒为定值元？若存在.求出0与2的值：若不存在，请说明理由. 19.已知数列X:x,2,,x,定义变换T,T将数列X变换成数列T(X):y1,y,,y-1,其中 =心-xk+,k=1,2,,n-1.只有三行的梯形数表M中第一行为数列A:a1,凸，，a, 且a∈{0,1}，i=1,2,,n;第二行为B:么，b2,,bn-1,第三行为C:G,C2,,c2, 满足B=T(A),C=T(B).S(M)表示梯形数表M中所有元素的和. (1)若M中第一行数列为A:1,1,0,1,求C及S(M); (2)当正整数k≤n-3时，若有a.=b.=Ck=1,证明：aH+b+1+Ck≤1： (3)若n=9,求S(M)的最大值.