精品解析：湖南省部分学校2025-2026学年上学期高三11月期中大联考数学试题

高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式占10%，函数与导数占40%，三角函数､平面向量（含解三角形）､复数占30%，数列占20%. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的乘法求复数，即可得虚部. 【详解】由，所以复数的虚部为6. 故选：A 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式，直接列式求函数的定义域. 【详解】由函数解析式可知，且，所以的定义域为. 故选：D 3. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A，根据集合的并集得解. 【详解】因为，或 所以，，故ABD错误. 故选：C 4. 已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据单位向量及相等向量的定义和性质，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】若，则的方向必相同，充分性成立， 若的方向相同，又是单位向量，则，必要性成立， 所以“是相等向量”是“的方向相同”的充要条件. 故选：A 5. 吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的函数关系式为，则关于的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复合函数导数公式计算求解瞬时变化率. 【详解】关于的瞬时变化率为. 故选：B. 6. 已知等比数列的公比大于1，且，则的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的运算，可得，则，再根据基本不等式求最值即可． 【详解】设的公比为，且， 因为， 所以，即， ，， ，又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数、，结合导数讨论两函数单调性即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，故在上单调递减， 则，即，故， 令，则， 令，则，故在上单调递增， 则当时，，则在上单调递增， 则， 即，故，故有. 故选：A. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是等差数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】记的公差为，由已知可得，逐项计算判断即可. 【详解】记的公差为.因为，所以. 的正负不确定，故A错误. ，故B正确. 由，， 所以，故C正确. ，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. ， D. 有且仅有一个零点，且该零点为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求定义域判断A，换元法结合二次函数值域计算判断B，求导得出单调性判断C，令函数值为0计算得出零点判断D. 【详解】的定义域为，A正确. 令，则，所以的值域为，B错误. ，当时，，所以在上单调递增，，C正确. 令，即，即，且，解得，D正确. 故选：ACD. 11. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最大值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出及，建立平面直角坐标系，设并求出的关系式，再利用向量坐标运算，结合辅助角公式及三角函数性质逐项求解判断. 【详解】由，得，则，解得， 又，则，而，于是， 作向量，以点为原点，射线为轴非负半轴，建立平面直角坐标系， 则，设，由，得， 即，令， 对于AB，，因此的最小值为2，最大值为4，AB正确； 对于CD，，而， 则当时，，当时，，C错误，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出二次函数的单调递增区间，再利用集合的包含关系求解. 【详解】函数的单调递增区间是，而在上单调递增， 则，即有，所以的取值范围是. 故答案为： 13. 已知，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正余弦的二倍角公式，结合同角三角函数的关系化简求解即可. 【详解】由，得， 所以，解得或， 因为，所以. 故答案为： 14. 已知函数，若对任意，，存在，使得不等式成立，则的最大值为________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】存在，使得不等式成立即对于任意，数形结合即函数与函数图象上横坐标相同时，纵向距离的最大值中的最小值，求出函数的边界线，当直线在边界线正中间时符合题意. 【详解】由题意可得，若存在，使得不等式成立，则， 即对于任意，则， 可看作函数与函数图象上横坐标相同时，纵向距离的最大值中的最小值， 由正弦函数性质作出函数的图象如下： 可取. 设与直线平行，且与的图象相切的直线为， 则的方程为， 当直线与两条直线的距离相等时，即恰好在与直线的中间时， 函数与函数图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值， 即，，此时，，故， 所以的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（，）的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用周期求得，进而利用，结合，可求得解析式； （2）由题意可得，解方程可求解. 【小问1详解】 由图可知，，则. 因为，所以. 由，得， 所以，解得. 因为，所以. 故. 【小问2详解】 由，可得， 所以或， 解得或. 故的取值集合为或. 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）求曲线在原点处的切线方程； （3）求的单调区间. 【答案】（1）奇函数，理由见解析 （2） （3）在，且上单调递减，在，且上单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可； （2）利用导数求出切线斜率即可得解； （3）根据导数及正弦函数的性质解不等式即可求出单调区间. 【小问1详解】 是奇函数. 理由如下： 的定义域为. ，所以是奇函数. 【小问2详解】 . . 故曲线在原点处的切线方程为. 【小问3详解】 当时，令，解得. 令，解得. 当时，令，解得，且. 令，解得，且. 故在，且上单调递减，在，且上单调递增. 17. 在中，点在边上，且，. （1）若，求的值. （2）设平分. ①求； ②求的面积. 【答案】（1）； （2）①；②3. 【解析】 【分析】（1）由题意求得，利用正弦定理可求解； （2）①由题意可得，进而得，计算可求解；②在和中，由余弦定理可得，可求的面积. 【小问1详解】 由题意可得，是等腰直角三角形，所以. 又，所以， 在中，. 在中，由正弦定理得， 所以，解得. 【小问2详解】 ①因为，所以. 因为平分，所以. 因为， 所以，即. ②在和中，由余弦定理得 ， ， 所以， ， 解得. ， . 18. 已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群： ，，，，…. （1）求的通项公式； （2）设第个群中所有项的和为. （i）求； （ii）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，可得是等差数列，可求的通项公式； （2）（i）前个群的项数之和是，设第个群的首项为，可得，进而计算可求得；（ii）法一：由（i）得，利用错位相减法可求得，进而可得结论；法二：利用，可求，进而可得结论. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以，且， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， . 【小问2详解】 （i）前个群的项数之和是. 设第个群的首项为，则， 由（1）知，. 第个群共有项，. （ii）法一：由（i）知，，则. ，① ，② ①-②得 . 记，③ 则， ③—④得 ， 所以. ， . 因为，所以，得证. 法二：由（i）知，则. . 因为，所以，得证. 19. （1）证明：. （2）证明：若函数的定义域为，且在上单调递增，则函数在上单调递减. （3）证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数求最小值即可得证； （2）利用函数单调性的定义及已知函数的单调性证明； （3）构造函数，利用（1）证明， 构造函数，求导数，利用导数得出单调性，再由单调性得出，即可得证. 【详解】（1）令函数，则. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以. （2）令，则. 因为在上单调递增，所以. 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减. （3）令函数，则的定义域为. 由（1）得，所以，所以. ，所以 所以. . 令函数，则. 令函数，则. 当时，，所以在上单调递减. ，所以当时，，即当时，， 所以在上单调递减. ，所以当时，，即当时，， 所以在上单调递增. 由（2）可得，函数在上单调递减，即在上单调递减. 所以，即. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式占10%，函数与导数占40%，三角函数､平面向量（含解三角形）､复数占30%，数列占20%. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 6 B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的函数关系式为，则关于的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的公比大于1，且，则的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 38 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是等差数列，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. ， D. 有且仅有一个零点，且该零点为 11. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最大值为5 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是________. 13. 已知，且，则________. 14. 已知函数，若对任意，，存在，使得不等式成立，则的最大值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（，）的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求使成立的的取值集合. 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）求曲线在原点处的切线方程； （3）求的单调区间. 17. 在中，点在边上，且，. （1）若，求的值. （2）设平分. ①求； ②求的面积. 18. 已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群： ，，，，…. （1）求的通项公式； （2）设第个群中所有项的和为. （i）求； （ii）设，数列的前项和为，证明：. 19. （1）证明：. （2）证明：若函数的定义域为，且在上单调递增，则函数在上单调递减. （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $