专题三 空间角《真题淬炼·题型通关》期中讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版高二上期中专项复习·专题三 空间角 全国各地市期中真题精选·6题型讲练+过关检测 【学生版】 班级： 姓名： 题型目录 题型 考点 例题来源 题数 异面直线所成角 异面直线所成角 2025连州中学期中 8题 线面角 线面角·线面平行与线面角 2026华师一期中 6题 动点与空间角的取值范 立体几何综合·线面角·异面直线所 2027河北部分学校 4题 围 成角 月考 二面角 二面角 2026雅礼集团期中 7题 二面角计算与逆向求参 线面与面面垂直（向量法）·二面角 2025三明二中期中 5题 空间角与存在性综合 异面直线所成角·线面角·二面角 2027鹿寨中学月考 4题 知识清单 1一、概念梳理 1.异面直线所成角：过空间任一点作两直线的平行线，所得锐角（或直角）为异面直线所成角，范 国0,31。 2线面角：平面的一条斜线与它在平面内射影所成的锐角，范围[0，受1：垂直时为受，在平面内 2 或平行时为0。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，其平面角范围[0，π]：两平面夹角取锐角 或直角。 1二、法则与公式 1.异面角：c0s0=cos1a,6小=a~b lallbl 2.线面角： sin9=cos(i1,i小-i(i为平面法向量)。 1 期中专项复习·高二学生版1 可2 3.二面角：C0s0= 正负号由图形确定二面角是锐是钝。 1三、方法技巧 1.三种角的向量法统一流程：建系写坐标→求方向向量与法向量→代夹角公式→按角的取值 范围回答。 2.动点角问题：设动点坐标含参数，把角的某种三角函数值表示为参数的函数，再由函数值域求角 的范围。 3.无棱二面角或图形不便时：必须由计算结果结合图形判断角的大小关系，不能凭直观。 4.法向量取模后约分简化运算；两法向量夹角与二面角相等或互补，由开口方向决定。 【四、易错警示 1.异面角忘取绝对值：cos(,b)可为负，而异面角余弦非负，直接写负值即错。 2.线面角用cos:线面角公式是正弦(sin0=cos(1,i),与两直线夹角的余弦公式记混是最常 见错误。 3.二面角正负不辨：两法向量夹角可能等于二面角的补角，必须依图确认，否则钝角算成锐角。 4.建系前提缺失：只有存在两两垂直的直线时才能建系，随意建系坐标全错：证明类小题先完成再 计算。 期中专项复习·高二学生版2 异面直线所成角 方法要领把两条异面直线的方向向量平移到同一点，夹角余弦取绝对值：cos0=|cos(à，b儿 注意异面角范围0，受1。 【例】(2025连州中学期中8)已知三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,AB⊥BC, PA=AB=2BC,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为() V10 2 V15 B. 5 C. 4 D.5 【练1】(2027新泰一中诊断测试4)在棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，E为 棱AB的中点，F为棱CC1的中点，则异面直线DE与BF所成角的余弦值为 () ZA D C A B E 5 10 A. 5 C. 10 B. 25 310 5 D.10 期中专项复习·高二学生版3 【练2】(2025广州中学期中6)如图，在正四面体O-ABC中，M为棱OC的中点， N为棱AB上靠近点A的三等分点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为 () B 21 6 B. 9 4-5 D 2-3 【练3】（2027周口开封部分校学情检测6)如图，在平行六面体ABCD-A1BC1D1 中，底面ABCD为正方形，∠A,AB=∠AAD=号，棱M,=2AB,E为B,C1的中点， 则异面直线BA,与DE所成角的余弦值为() D E B C V15 3 A. 15 c. 3 B. V15 5 D. 1-3 期中专项复习·高二学生版4 【练4】(2027柳林鑫飞中学月考8)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面 体称为整腸.在整臑A-BCD中，AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为 AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为() 2A M B 2 3 3 2 A.3 B. 4 C.3 D.4 【练5】(2027鹿邑县高中月考14)如图，两条异面直线a,b所成的角为8，点A',E 在直线a上，点A,F在直线b上，且AA'⊥a,AA'⊥b,A'E=m,AF=n,EF=L, 则AA'= ·(用m,n,l,8表示，写出所有可能) 【练6】(2027河北部分学校月考16)如图，正四面体ABC的棱长为1，E,F分别在 棱PC,AB上，且PE=2EC,BF=2FA.设PA=i,PB=i,PC=c (1)用a,6,c表示EF,并求EF的长度： 期中专项复习·高二学生版5 (2)求异面直线P℉与BE所成角的余弦值. 【练7】(2027五德中学月考17)如图，在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中， AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60. ()用AA,AB,AD表示AC,并求AC1的长： (2)求直线AC1与直线AB所成角的余弦值. D C A D 期中专项复习·高二学生版6 线面角 方法要领先求平面法向量i,线面角正弦sin0=c0si,五儿线面角范围[0,1。 【例】(2026华师一期中17)如图，已知三棱柱ABC-A1B,C1的底面是正三角形，且 A1A⊥BC,A1C⊥AB (1)求证：A1A=A1B=A1C: (2)若∠A1AB=∠A1AC=45,且AB=2,求直线AC1与平面AAB,B所成角的正弦 值. A C A B 期中专项复习·高二学生版7 【练1】(2025抚顺四方高中期中16)如图，AB是圆的直径，平面PAC⊥面ACB, 且AP⊥AC. (I)求证：BC⊥平面PAC: (2)若AB=2,AC=1,AP=1,求直线AC与面PBC所成角的正弦值. 【练2】(2027无锡三中基础测试16)如图，在直三棱柱ABC-A1BC1中， ∠ACB=90,AC=BC=t,D、E分别为AB、AC1的中点，设CC1=2. (I)证明：DE‖平面BCCB: (2)直线DE与平面ACC1A1所成的角为45，求t的值. A B 期中专项复习·高二学生版8 【练3】(2027三明北附月考18)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD,PD=2P龙，PC=3PF. (1)证明：AE⊥DF: (2)求直线BC与平面AEF所成角的正弦值. B C 期中专项复习·高二学生版9 【练4】(2027河南部分高中联考5)在直四棱柱ABCD-A1BC1D1中，底面ABCD是 边长为2的正方形，侧棱AA1=22,点M为棱BC1的中点，则直线AM与平面 BDD,所成角的正弦值为() V13 3V13 A.13 13 326 2V26 B. 26 D. 13 【练5】(2025三明二中期中8)在棱长为4的正方体ABCD-AB,C1D1中，M,N分别 是棱AB,AA1的中点，过MN作平面c,使得BD‖a,则直线MC1与平面a所成角 的正弦值为（) D C A B D 3 5V3 23 A.3 B.2 9 D. 3 动点与空间角的取值范围 方法要领动点类先设参数坐标，把角的余弦（或正弦）表示为参数函数，再用值域或单调性 求范围，最后回验角的取值范围限制。 【例】(2027河北部分学校月考19)如图，平行六面体ABCD-A1BC1D1的底面 ABCD是菱形，AB=1,∠C1CB=∠C1CD=0,∠BCD=p. )当9=号9=受，M=2时，求BD的长： (2)当6=Q,A1C⊥平面BC1D时： 期中专项复习高二学生版10 ①求AA的长： ②当日∈[号号1时，求直线CB与平面BC,D所成角的正弦值的取值范围 B A C D Bi------ C 期中专项复习高二学生版11 【练1】(2027执信中学阶段训练11)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 P满足CP=CD+μCC,其中1∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的是()（多 选) A D B A D A.若u=克，则P点轨迹所在直线与平面A,CD平行 B.若+μ=1，则AC⊥BP C.若入=μ，则DP+AP的最小值为 V2+V5 2 D.若BP与平面CCDD所成角的大小为系，则！的最大值为方 期中专项复习高二学生版12 【练2】(2027河北部分学校月考6)在正方体ABCD-A1BC1D1中，点O为线段 AC的中点，点P在线段A1C1上，直线OP与平面ABC1所成的角为6，则sin0 的取值范围是() ZA C P B D B D. 【练3】(2026玉溪一中期中8)三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC, AB=BC=2,PA=23,点D是面PAB内的动点（不含边界），AD⊥CD,则异面直线 CD与AB所成角的余弦值的取值范围为() P D B A. B. 0 2 10 期中专项复习高二学生版13 二面角 n'n 方法要领二面角θ满足|c0s1 i五' 必须结合图形判断所求角是锐角还是钝角再定符 号。 【例】(2026雅礼集团期中17)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (I)证明：BD⊥平面PAC: (2)设PA=1,AB=3,求二面角D-AE-C的余弦值. B 【练1】(2027河南部分高中联考16)如图，底面由矩形ABCD与以AD为直径的半圆 拼接而成，PA⊥平面ABCD,且BC=2PA=2,AB=3.点E为半圆弧AD上的动点 (不与A、D两点重合)· (I)证明：DE⊥平面PAE: 期中专项复习高二学生版14 (2)若二面角P-DE-A的大小为30°，求平面PBC与平面PDE夹角的余弦值. 【练2】(2026辽宁七校协作体期中8)如图，二面角Q-1-阝的棱上有两点A,B,线 段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱1，若 AB=2,AC=3,BD=4,CD=V41,则二面角a-1-B的大小为() B A.6 B.3 D.6 【练3】(2026大连二十四中期中18)正方形ABCD的边长为2，E,F分别为边AD ,BC的中点，M是线段EF的中点，现把正方形沿EF折起，折起后如图所示.设 ∠AED=0(0<0<π). (1)求证：无论日取何值，CM与BD不可能垂直； 期中专项复习高二学生版15 V13 (②)设平面BMD与平面BMC的夹角为Q,当©os0=13时，求sin9的值. 【练4】(2027柳林鑫飞中学月考18)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱 形，∠ABC=60,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E为PD的中点. (I)求证：PB‖平面ACE: (2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值. B 期中专项复习高二学生版16 【练5】(2027凌云中学月考13)如图，二面角α-1-B的大小为120，点A,B在棱 I上，BDCa,ACC阝，BD⊥L,AC⊥L,且AB=AC=BD=2,则CD=. B C 【练6】(2027新泰一中诊断测试18)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB1平 面ABCD,△PAB是等腰三角形，PA=PB,E是AB的中点. (I)求证：PE⊥CD: (2)若底面ABCD是梯形，AD‖BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,PA=5,求二面角 P-CD-A的余弦值： (3)在(2)的条件下，线段AP上是否存在点Q,使得BQ‖平面PCD?若存在，求出 P 的值：若不存在，请说明理由， 期中专项复习高二学生版17 二面角计算与逆向求参 方法要领半平面含棱上的两个向量时可用法向量法或定义法：两个平面夹角与二面角相等的 判定要写明依据。 【例】(2025三明二中期中16)如图，圆柱002中，AB是底面圆O2上的一条直 径，P,Q分别是底面O2,O1圆周上的一点，PQ‖OO2,AB=2PQ,且点P不与A, B两点重合. (1)证明：平面APQ⊥平面BPQ: (2)若二面角A-OO2-P为60，求直线BQ与平面PQO1所成角的正弦值. ©B 期中专项复习高二学生版18 【练1】(2027河北部分学校月考17)如图，在四棱锥C-ABB1A1中，四边形ABBA1 为矩形，AC⊥AB,且AB=AC=2,AA1=3,B,C=17,F,G分别为线段A1B,BC的 中点 (1)证明：FG‖平面ACA: (2)求平面BFG与平面ACA1夹角的余弦值. B 【练2】(2027鹿邑县高中月考19)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD PA=AC=2,BC=1,2 BAC=30. (I)若AD‖平面PBC.证明：AD⊥PB: 期中专项复习高二学生版19 (2)若平面PAD⊥平面PCD,1≤AD≤3，求平面APC与平面PCD夹角的正弦值的取 值范围. D B 【练3】(2027三明北附月考19)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB‖CD,CP⊥CD, CD=2AB=2,AP=AC=AD (1)证明：平面PBC⊥平面PCD: (2)已知CP=2BC=2,D0=λDP,1∈[0,1]，若平面ABP与平面ACQ夹角的余弦值 为识求入何值。 期中专项复习高二学生版20 【练4】(2026辽宁七校协作体期中19)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC1平 面BCD,且BC=BD=BA,∠CBA=∠CBD=120,点P在线段AC上，点Q在线段 CD上. (I)求证：AD⊥BC: BP (2)若AC上平面BPQ,求Q的值： (3)在(2)的条件下，求平面ABD与平面PBQ所成角的余弦值. 期中专项复习高二学生版21 空间角与存在性综合 方法要领解答题四步：建系写坐标→求方向向量与法向量→算夹角公式→回答几何问题：每 步坐标代入逐一核对。 【例】(2027鹿寨中学月考17)在直三棱柱ABC-A1BC1中，∠ABC=90, AB=BC=1,BB=2. (1)求异面直线BC1与AC所成角的正切值： (2)求直线B,C与平面ABC所成角的余弦值. B Ci 个、 A B 期中专项复习高二学生版22 【练1】（2027河南部分高中联考18)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC‖AD,CD⊥AD,AD=2DC=2BC=2,PC=3,E为 PD的中点 (I)证明：CE‖平面PAB: (2)求平面PBC与平面PCD的夹角： (3)棱PD上是否存在点Q,使得点Q到平面PAB的距离是 415 45？若存在，求出PQ 的长；若不存在，请说明理由 B 【练2】(2027无锡三中基础测试19)如图1所示，在等腰梯形ABCD中，BC‖AD, CE⊥AD,垂足为E,AD=3BC=3,EC=1,将△DEC沿EC折起到△D,EC的位 置，如图2所示，平面D1EC⊥平面ABCE. (1)求证：平面BCD1⊥平面CDE; 期中专项复习高二学生版23 (2)求直线CD1与平面ABD1所成角的正弦值： (3)在棱AD1(不包括端点)上是否存在点G,使平面ABD1与平面GEC的夹角的余弦 值为西？若布在，求出 AG 的值；若不存在，请说明理由. E B 图1 图2 【练3】(2027周口开封部分校学情检测19)在梯形ABCD中，AB‖CD,∠BAD= 3, AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点，线段AC与DP交于O点.将△ACD沿 AC折起到△ACD'的位置，使得平面D'AC⊥平面BAC. (I)求证：BC‖平面POD'； (2)求二面角C-AB-D'的余弦值： 期中专项复习高二学生版24 (3)线段PD'上是否存在点Q,使得CQ与平面BCD'所成角的余弦值为 V58 8?若存 PQ 在，求出 PD' 的值：若不存在，请说明理由 D' --B 图1 图2 期中专项复习高二学生版25 专题过关检测（限时40分钟·满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1.（6分)（2025抚顺四方高中期中4)如图所示，在棱长为2的正方体 ABCD-ABCD:中，E为BC的中点，CF=CC,则异面直线E印与BD1所成角 的余弦值为() D C A B 公 D - B 3V26 C. 26 4V21 B. 6 D. 21 期中专项复习高二学生版26 2.（6分)(2025广州天河外国语期中6)古代城池中的"瓮城"，又叫"曲池"，是加装在 城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成"瓮中捉鳖"之势.如下图的"曲 池"是上、下底面均为半圆形的柱体.若AA1垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，AA,=3 ,AB=4,CD=2,E为弧AB1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为( 城楼 应…敌台 C B 到a回 …马面 瓮城 羊马城 B V399 2V42 A. 21 C. 21 V273 V42 B. 21 D. 21 3.(6分)(2026杭州学军中学期中8)在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2V2,且 AB1BC.记直线PA,PC,PB与平面ABC所成角分别为a,B,Y,已知 B=2a=60°，当三棱锥P-ABC的体积最小时，tany=() D 3V34 V15 A. 17 C. 5 6 B.4 V15 D. 10 期中专项复习高二学生版27 4.(6分)(2027河北部分学校月考7)已知01A1,OA分别是圆台001的上、下底面 圆半径，且0，A,=L,10A=2,O0,=3,若异面直线0A,QA所成的角为3，则 |AAl的可能取值为() 01 A.1 B.2V2 C.23 D.2 二、多选题（每小题6分） 5.（6分)(2026宁波六校联盟期中11)清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多 面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2. 在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若AB=2,则给出的说法中正确的是()（多 选) H 图1 图2 A.该几何体的表面积为183 B.该几何体的体积为4 C二面角刀-F-n的余弦值为吉 V3 D.若点P,Q在线段BM,CH上移动，则PQ的最小值为3 期中专项复习高二学生版28 6.(6分)(2026山东实验中学期中11)在棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D1中， 点M在侧面CDDC1所在平面内运动，N为BC1的中点，则下列说法正确的是( )(多选) 2 D C N B D A.当M在线段C1D上运动时，恒有AC⊥BM B.当M为正方形CDD,C的中心时，BM与AN所成角的正弦值为 9 C.若点M满足CM=CC,则平面ABM截正方体所得的截面面积为 29V22 9 D.直线MN和MB与平面CDDC!所成的角相等时，动点M的轨迹为圆 期中专项复习高二学生版29 7.(6分)(2026杭州二中期中11)已知棱长为12的正四面体ABCD中，M为CD中 点，P，Q分别为四面体ABCD的内切球和外接球上的动点，则()（多选） E A.|PQ1的最大值为4V6 B.PA+PB2+PC2+PD2=240 C.1QA2+|QB2+1QCP+|QD2=480 D.若P响=xMA+yMB+zM元，则X+y+z的最大值为号 三、填空题（每小题6分） 8.(6分)(2026武汉部分重点中学期中13)已知正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为 2,点P是棱BB上的动点，则△APC的面积的最小值为 9.(6分)(2025钱塘联盟期中14)如图所示，在矩形ABCD中，AD=2,E为AB边 上的点，现将△ADE沿DE翻折至△A'DE,使得A'在平面EBCD上的射影在CD 上，且直线A'D与平面EBCD所成的角为30，则线段AE的长为 期中专项复习高二学生版30 10.(6分)(2027柳林鑫飞中学月考13)已知向量a=(1,-3,2),6=(1,1,-1), 则cos(a,6)= 四、解答题（每小题15分） 11.(15分)(2025常州联盟期中17)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC,D为 BC的中点，平面AD⊥平面PBC. (1)证明：PB=PC: (2)若二面角P-BC-A的大小为45°，BC=2V2,A=PD=1,求平面PAB与平面PAC 的夹角的正弦值. ◇ A B 期中专项复习高二学生版31 12.（15分)（2027凌云中学月考17)如图，在平行六面体ABCD-AB1C1D1中， AB=AD=AA1=2,∠DAB=90,∠BAA1=∠DAA1=60,E是CC1的中点，设AB=, AD=b,AA=c. (1)求AE的长： (2)求异面直线BC1与DE所成的角的余弦值. D C A 6) D: B 期中专项复习高二学生版32 人教A版高二上期中专项复习 · 专题三 空间角 全国各地市期中真题精选 · 6 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 异面直线所成角 异面直线所成角 2025连州中学期中 8 题 线面角 线面角 · 线面平行与线面角 2026华师一期中 6 题 动点与空间角的取值范围 立体几何综合 · 线面角 · 异面直线所成角 2027河北部分学校月考 4 题 二面角 二面角 2026雅礼集团期中 7 题 二面角计算与逆向求参 线面与面面垂直（向量法） · 二面角 2025三明二中期中 5 题 空间角与存在性综合 异面直线所成角 · 线面角 · 二面角 2027鹿寨中学月考 4 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 异面直线所成角：过空间任一点作两直线的平行线，所得锐角（或直角）为异面直线所成角，范围 。 2. 线面角：平面的一条斜线与它在平面内射影所成的锐角，范围 ；垂直时为 ，在平面内或平行时为 。 3. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，其平面角范围 ；两平面夹角取锐角或直角。 ▍二、法则与公式 1. 异面角：。 2. 线面角：（ 为平面法向量）。 3. 二面角：，正负号由图形确定二面角是锐是钝。 ▍三、方法技巧 1. 三种角的向量法统一流程：建系写坐标 → 求方向向量与法向量 → 代夹角公式 → 按角的取值范围回答。 2. 动点角问题：设动点坐标含参数，把角的某种三角函数值表示为参数的函数，再由函数值域求角的范围。 3. 无棱二面角或图形不便时：必须由计算结果结合图形判断角的大小关系，不能凭直观。 4. 法向量取模后约分简化运算；两法向量夹角与二面角相等或互补，由开口方向决定。 ▍四、易错警示 1. 异面角忘取绝对值： 可为负，而异面角余弦非负，直接写负值即错。 2. 线面角用 ：线面角公式是正弦（），与两直线夹角的余弦公式记混是最常见错误。 3. 二面角正负不辨：两法向量夹角可能等于二面角的补角，必须依图确认，否则钝角算成锐角。 4. 建系前提缺失：只有存在两两垂直的直线时才能建系，随意建系坐标全错；证明类小题先完成再计算。 　异面直线所成角 方法要领　把两条异面直线的方向向量平移到同一点，夹角余弦取绝对值：，注意异面角范围 。 【例】（2025连州中学期中 8）已知三棱锥 ， 平面 ，，，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令 ，由 底面建系，写出 与 的坐标，用夹角公式求解． 【详解】解：令 ，则 ， ∵ 平面 ，∴，（依据：线面垂直的性质）， 以 为原点， 所在直线分别为 轴，过 且与 平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系， 则 ，，，， ∴，， ∴（依据：向量夹角公式）， ∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ．故选B． 【练1】（2027新泰一中诊断测试 4）在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以 为原点建系，写出 与 的坐标，由夹角公式求余弦，注意异面直线所成角的余弦取正值． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系， 则 ，，，，， ∵ 为 的中点， 为 的中点，∴，（依据：中点坐标公式）， ∴，， 设异面直线 与 所成角为 ， 则 （依据：异面直线所成角的向量公式，余弦取绝对值）．故选B． 【练2】（2025广州中学期中 6）如图，在正四面体 中， 为棱 的中点， 为棱 上靠近点 的三等分点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以 为基底表示 与 ，用数量积求夹角，注意异面直线所成角为锐角或直角，余弦取绝对值． 【详解】解：设 ，，，正四面体棱长为 ， 则 （依据：正四面体从同一顶点出发的两棱夹角为 ）， ∵ 为 中点，∴， ∵ 为 靠近 的三等分点，∴， ∴（依据：向量加法与数乘）， ∴， 又 ，∴， ，∴， ∴， ∴异面直线 与 所成角的余弦值为 （依据：异面直线所成角的范围是 ，余弦取绝对值）．故选A． 【练3】（2027周口开封部分校学情检测 6）如图，在平行六面体 中，底面 为正方形，，棱 ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 ，以 ，， 为基底表示 与 ，用数量积求夹角余弦，注意异面直线所成角取非负余弦． 【详解】解：设 ，则 ，， ∵底面 为正方形，∴， 又 ， ∴（依据：数量积的定义）， ∵， ∴，即 ， ∵ 为 的中点，∴（依据：向量加法与数乘，，）， ∴，即 ， 且 ， 设异面直线 与 所成角为 ， 则 （依据：异面直线所成角为锐角或直角，余弦取绝对值）．故选A． 【练4】（2027柳林鑫飞中学月考 8）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑 中， 平面 ，，且 ， 为 的中点，则异面直线 与 夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 平面 得 ，，结合 可将鳖臑补形放入正方体，设棱长建系，由夹角公式求解． 【详解】解：∵ 平面 ，∴，，又 ， ∴四面体 可补形放入棱长为 的正方体中，设 ， 以 为原点， 所在直线为 轴，底面内过 且与 垂直的直线为 轴， 所在直线为 轴建系， 则 ，，，， ∵ 为 的中点，∴（依据：中点坐标公式）， ∴，， 设异面直线 与 的夹角为 ， 则 （依据：异面直线所成角的向量公式，余弦取绝对值）．故选C． 【练5】（2027鹿邑县高中月考 14）如图，两条异面直线 所成的角为 ，点 在直线 上，点 在直线 上，且 ，，，，，则 ______．（用 表示，写出所有可能） 【答案】 或 【分析】将 分解为 ，由垂直得两组数量积为 ，由异面直线所成角知 与 的夹角为 或 ，平方展开解出 ． 【详解】解：∵，，∴，， ∴，（依据：垂直等价于数量积为0）， 又 （依据：向量加法的多边形法则）， ∴ （依据： 及完全平方展开）， ∵异面直线 所成的角为 ，而向量 与 的方向可同向或反向选取， ∴ 与 的夹角为 或 （依据：异面直线所成角等于方向向量夹角或其补角）， 当夹角为 时，，代入得 ， 解得 ； 当夹角为 时，同理得 ， ∴ 或 （依据：两种情形都可能成立，须全部写出）． 【练6】（2027河北部分学校月考 16）如图，正四面体 的棱长为 ，， 分别在棱 ， 上，且 ，．设 ，，． (1)用 ，， 表示 ，并求 的长度； (2)求异面直线 与 所成角的余弦值． 【答案】(1)，；(2) 【分析】(1)先用基底表示 ，再由 得表示式，平方展开求模；(2)表示 与 ，由数量积与模求夹角余弦并取绝对值． 【详解】解：(1)∵正四面体棱长为 ，∴， 且 （依据：正四面体从同一顶点出发的两棱夹角为 ）， ∵，∴， ∴， 又 ，∴（依据：向量加法的三角形法则与数乘）， ∴ （依据： 及数量积展开）， ∴． (2)∵， ∴ ， 又 ，， 设异面直线 与 所成角为 ， 则 （依据：异面直线所成角的余弦等于向量夹角余弦的绝对值）． 【练7】（2027五德中学月考 17）如图，在平行六面体 中，，，，． (1)用 ，， 表示 ，并求 的长； (2)求直线 与直线 所成角的余弦值． 【答案】(1)，；(2) 【分析】(1)由平行六面体法则用基底表示 ，平方展开求数量积与模；(2)表示出 ，由夹角公式求余弦并取绝对值． 【详解】解：(1)∵，而 ，（依据：向量加法的平行六面体法则与相等向量）， ∴， ∴， 其中 ，，（依据：数量积的定义）， ∴，∴． (2)∵，∴，即 ， 且 （依据：数量积的分配律）， 设直线 与直线 所成角为 ， 则 （依据：异面直线所成角的余弦等于向量夹角余弦的绝对值）． 　线面角 方法要领　先求平面法向量 ，线面角正弦 ，线面角范围 。 【例】（2026华师一期中 17）如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，且 ，． (1)求证：； (2)若 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)作 在底面的射影 ，证 为正三角形中心即得侧棱等长；(2)以 中点为原点建系，求平面 的法向量，由线面角公式求解． 【详解】(1)证明：过点 作 平面 于点 ， ∵， 平面 ，∴， 又 ，∴ 平面 （依据：线面垂直的判定定理），∴， 同理由 可证 ， ∵ 是正三角形，∴ 是 的中心（依据：两高线的交点）， 连接 并延长交 于 ，则 为 的中点， ∵ 平面 ， 平面 ，∴，∴（依据：三线合一）， 同理 ，∴． (2)解：由(1)知 为等腰直角三角形，∴， ∵，∴， 以 的中点 为原点， 所在直线为 轴，过 且与 平行的直线为 轴建系， 则 ，，，， ∴，，， ∵ 且相等，∴（依据：空间向量加法）， 设平面 的法向量 ，则 ，即 ， 取 ，得 ，，∴， 设直线 与平面 所成角为 ， 则 （依据：线面角公式）， ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【练1】（2025抚顺四方高中期中 16）如图， 是圆的直径，平面 面 ，且 ． (1)求证： 平面 ； (2)若 ，，，求直线 与面 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)由面面垂直的性质定理得 面 ，结合直径所对圆周角为直角证 垂直于平面内两相交直线；(2)建系求面 的法向量，由线面角公式求解． 【详解】(1)证明：∵平面 面 ，平面 面 ， 平面 ，， ∴ 面 （依据：面面垂直的性质定理）， ∵ 是圆的直径，∴（依据：直径所对的圆周角是直角）， 又 ，，∴ 平面 （依据：线面垂直的判定定理）． (2)解：∵，∴， 以 为原点， 所在直线为 轴，过 且与 平行的直线为 轴建系， 则 ，，，， ∴，， 设面 的法向量 ，则 ，即 ，取 得 ， 又 ，设直线 与面 所成角为 ， 则 （依据：线面角公式）， ∴直线 与面 所成角的正弦值为 ． 【练2】（2027无锡三中基础测试 16）如图，在直三棱柱 中，，，、 分别为 、 的中点，设 ． (1)证明： 平面 ； (2)直线 与平面 所成的角为 ，求 的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)连接 ，由中位线得 ，再用线面平行的判定定理；(2)由 转化为求 与平面 所成的角，证 平面 后在直角三角形中列式求 ． 【详解】(1)证明：连接 ，在 中， ∵、 分别为 、 的中点，∴ 为 的中位线， ∴（依据：三角形中位线定理）， 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 （依据：线面平行的判定定理）． (2)解：由(1)知 ，∴直线 与平面 所成的角即为直线 与平面 所成的角（依据：平行直线与同一平面所成的角相等）， ∵直三棱柱中 平面 ， 平面 ，∴， 又 即 ，， 平面 ， ∴ 平面 （依据：线面垂直的判定定理）， ∴ 为 在平面 内的射影，∴ 为直线 与平面 所成的角， 即 （依据：线面角的定义，斜线与它在平面内的射影所成的角）， 在 中，， 由 得 （依据：直角三角形中的边角关系）． 【练3】（2027三明北附月考 18）如图，四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形，且平面 平面 ，，． (1)证明：； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)由正三角形三线合一得 ，由面面垂直的性质得 平面 ，进而 平面 ；(2)设正方形边长为 ，取 中点建系，求平面 的法向量，由线面角公式求解． 【详解】(1)证明：∵侧面 是正三角形，，∴ 为 的中点，∴（依据：等腰三角形三线合一）， ∵底面 是正方形，∴， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 （依据：面面垂直的性质定理）， 又 平面 ，∴， ∵， 平面 ，∴ 平面 （依据：线面垂直的判定定理）， 又 平面 ，∴． (2)解：设正方形边长为 ，取 的中点 ，连接 ， ∵ 是正三角形，∴， 又平面 平面 ，交线为 ，∴ 平面 （依据：面面垂直的性质定理）， 以 为原点， 所在直线为 轴，过 且与 平行的直线为 轴建系， 则 ，，，，， 由 ， 得 ，，且 （依据：向量的数乘与坐标运算）， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 ，，即 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 则 （依据：线面角公式）， ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【练4】（2027河南部分高中联考 5）在直四棱柱 中，底面 是边长为2的正方形，侧棱 ，点 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以 为原点建系，写出 ，求平面 的法向量，由线面角公式求解． 【详解】解：∵底面 是正方形，∴，又直四棱柱中 平面 ， 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系， 则 ，，，，， ∵ 为 的中点，∴，∴， 平面 内 ，， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 ，，∴（依据：法向量三步：设向量、列方程组、取特解）， 设直线 与平面 所成角为 ， 则 （依据：线面角公式 ）．故选B． 【练5】（2025三明二中期中 8）在棱长为4的正方体 中， 分别是棱 的中点，过 作平面 ，使得 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以 为原点建系，取 中点 ，证平面 即平面 ，求其法向量，由线面角公式求解． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 取 的中点 ，∵ 是 的中点，∴（三角形中位线性质）， 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 （线面平行的判定定理）， 故平面 即为平面 ； ∴，，，， ∴，，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 （线面角公式）． 故选：C． 　动点与空间角的取值范围 方法要领　动点类先设参数坐标，把角的余弦（或正弦）表示为参数函数，再用值域或单调性求范围，最后回验角的取值范围限制。 【例】（2027河北部分学校月考 19）如图，平行六面体 的底面 是菱形，，，． (1)当 ，， 时，求 的长； (2)当 ， 平面 时： ①求 的长； ②当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)；(2)①；② 【分析】以 ，， 为基底，(1)用数量积求模；(2)①由 平面 得 ，解出 ；②证明 是平面 的法向量，由线面角公式把 表示为 的函数求值域． 【详解】解：设 ，，，则 ， (1)∵，，，∴，， ，（依据：基向量夹角与已知角的对应关系）， 又 （依据：向量加法的平行六面体法则）， ∴ ，∴． (2)①设 ，由 得 ，，， 且 ，， ∵ 平面 ， 平面 ，∴， 即 ， 整理得 ， ∵，∴，即 （依据：垂直等价于数量积为 ）． ②由①知当 时，，， ∵，且 也是平面 的一个法向量（依据：与 反向）， ∴，，， 设直线 与平面 所成角为 ， 则 （依据：线面角公式） ， ∵，∴，∴， ∴（依据：不等式的性质）， ∴， 即直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ． 【练1】（2027执信中学阶段训练 11）在棱长为1的正方体 中，点 满足 ，其中 ，，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．若 ，则 点轨迹所在直线与平面 平行 B．若 ，则 C．若 ，则 的最小值为 D．若 与平面 所成角的大小为 ，则 的最大值为 【答案】ABD 【分析】以 为原点建系得 ：A 中 在平行于 的线段上，用线面平行的判定；B 中直接计算 ；C 沿 将折线展开到同一平面内求最短值；D 由线面角公式得 ，再用均值不等式求 的最大值． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系， 则 ，，，，，， 由 得 （依据：向量加法与数乘的坐标运算）， 在侧面 内， 对A：当 时， 在线段 上运动（ 分别为 的中点），且 ， 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，A正确（依据：线面平行的判定定理）； 对B：当 时，，而 ， ∴，∴，B正确（依据：数量积为0等价于两向量垂直）； 对C：当 时， 在线段 上运动， 与 分居过直线 的两个半平面内， 沿 将含 的半平面旋转到对角面 内，设 的对应点为 ，则 （依据：旋转轴上的点不动， 在轴 上）， 且 ，展开后 ， ∴（依据：展开前后折线长度不变，两点之间线段最短）， 而 ，C错误； 对D：平面 的一个法向量为 ，设 与该平面所成角为 ， 则 （依据：线面角公式）， 由 得 ，即 ， ∴，当且仅当 时取等号，D正确（依据：均值不等式）． 故选ABD． 【练2】（2027河北部分学校月考 6）在正方体 中，点 为线段 的中点，点 在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设棱长建系，设 ，求平面 的法向量，把 表示为 的函数，由二次函数求值域． 【详解】解：设正方体的棱长为2，以 为原点， 所在直线为 轴建系（建系三步）， 则 ，，，，设 ，（共线向量的参数设法）， ∴，，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； ∴直线 与平面 所成角 的正弦值为 （线面角公式）； ∵，∴（二次函数的值域）， ∴． 故选：A． 【练3】（2026玉溪一中期中 8）三棱锥 中， 平面 ，，，，点 是面 内的动点（不含边界），，则异面直线 与 所成角的余弦值的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证 得 的轨迹方程，建系设 ，把异面角的余弦表示为 （或换元 ）的函数，借函数单调性求值域． 【详解】解：∵ 平面 ， 平面 ，∴（线面垂直的性质）； 又 ，，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； ∵ 平面 ，∴，又 ，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）， 而 平面 ，∴（线面垂直的性质）； 以 为原点， 所在直线为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，设 ， ∴，，由 得 （数量积为0），即 （）； 又 ，，设异面直线 与 所成角为 ， 则 （异面直线所成角的向量公式，代入 ）； 令 ，由 得 （换元法）， 则 （代数变形）； ∵函数 在 上单调递增（对勾函数的单调性）， ∴，即 ． 故选：A． 　二面角 方法要领　二面角 满足 ，必须结合图形判断所求角是锐角还是钝角再定符号。 【例】（2026雅礼集团期中 17）如图，四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， 为 的中点． (1)证明： 平面 ； (2)设 ，，求二面角 的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)由正方形对角线垂直及 底面得 垂直于平面 内两条相交直线；(2)以 为原点建系，求平面 与平面 的法向量，由夹角公式结合图形求余弦值． 【详解】(1)证明：∵底面 为正方形，∴（依据：正方形对角线互相垂直）， ∵ 平面 ， 平面 ，∴， ∵， 平面 ，∴ 平面 （依据：线面垂直的判定定理）． (2)解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系， 则 ，，，， ∴，，， 设平面 的法向量 ，由 得 ，取 得 ， 设平面 的法向量 ，由 得 ，取 得 ， ∴， 由图可知二面角 的平面角为锐角，∴其余弦值为 （依据：结合图形判断二面角的锐钝，余弦取正值）． 【练1】（2027河南部分高中联考 16）如图，底面由矩形 与以 为直径的半圆拼接而成， 平面 ，且 ，．点 为半圆弧 上的动点（不与 、 两点重合）． (1)证明： 平面 ； (2)若二面角 的大小为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)由直径所对圆周角为直角得 ，结合 用线面垂直的判定定理；(2)确定 为二面角 的平面角，求出 的长后建系，求两平面的法向量，由夹角公式求解． 【详解】(1)证明：∵点 在以 为直径的半圆上（不与 、 重合），∴（依据：直径所对的圆周角是直角）， 又 平面 ， 平面 ，∴， ∵， 平面 ，∴ 平面 （依据：线面垂直的判定定理）． (2)解：∵ 平面 ，∴，，∴ 为二面角 的平面角，即 （依据：二面角平面角的定义）， ∵ 平面 ， 平面 ，∴， 在 中，，，∴，（依据：直角三角形中的边角关系）， 又 ，在 中 （依据：勾股定理）， 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系， 则 ，，，，，， ∴，，，， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 ，，∴（依据：法向量三步）， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 ， ∴（依据：两平面夹角等于法向量夹角或其补角）， ∴平面 与平面 夹角的余弦值为 ． 【练2】（2026辽宁七校协作体期中 8）如图，二面角 的棱上有两点 ，线段 与 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 ，若 ，则二面角 的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将 分解为 ，由垂直得两组数量积为零，平方展开解出两垂直于棱的向量夹角的余弦，从而得二面角大小． 【详解】解：由 ， 得 ，（垂直等价于数量积为0）； 设 ，其中 为二面角 的大小（两半平面内垂直于棱的向量夹角与二面角的关系）； ∵（向量加法的多边形法则）， ∴（模的平方展开式）； 由 得 （代入数值）， 解得 ，∴，即二面角 的大小为 ． 故选：C． 【练3】（2026大连二十四中期中 18）正方形 的边长为2，， 分别为边 ， 的中点， 是线段 的中点，现把正方形沿 折起，折起后如图所示．设 ． (1)求证：无论 取何值， 与 不可能垂直； (2)设平面 与平面 的夹角为 ，当 时，求 的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)建含参 的坐标系，写出各点坐标，证明 恒不为0；(2)求两平面的含参法向量，由面面夹角公式列方程求 ． 【详解】(1)证明：由题意 ，以 为原点， 所在直线为 轴，过 且垂直于平面 的直线为 轴建系， 则 ，，，，， ∴，， ∴（依据：）， ∵，∴，∴，恒不为0， ∴ 与 不垂直，即 与 不可能垂直（依据：垂直等价于数量积为0）． (2)解：，设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 则 ，， 即 ，， ∵，取 ，，得 ，， ∴， 又 （依据：，且 ）， ∴， 两边平方得 ，∴，∴， ∵，∴． 【练4】（2027柳林鑫飞中学月考 18）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，， 平面 ，， 为 的中点． (1)求证： 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)连接 交 于 ，由中位线得 ，再用线面平行的判定定理；(2)以 为原点、 所在直线为 轴建系，先由夹角条件确定 点坐标，再求两平面的法向量，由面面夹角公式求解． 【详解】(1)证明：连接 交 于点 ，连接 ， ∵底面 为菱形，∴ 为 的中点（依据：菱形对角线互相平分）， 又 为 的中点，∴在 中，（依据：三角形中位线定理）， 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 （依据：线面平行的判定定理）． (2)解：∵ 平面 ，∴， 以 为原点， 所在直线为 轴，过 且垂直于平面 的直线为 轴建系， 则 ，，设 ， ∵底面为菱形且 ，∴， ∴，即 ，得 （依据：数量积的坐标运算）， 又 ，∴，得 ，即 ， 由 得 （依据：菱形对边向量相等）， ∴，，， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 ， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 ， ∴（依据：面面夹角的余弦等于法向量夹角余弦的绝对值）， ∴平面 与平面 夹角的余弦值为 ． 【练5】（2027凌云中学月考 13）如图，二面角 的大小为 ，点 在棱 上，，，，，且 ，则 ______． 【答案】 【分析】由二面角的定义得 ，将 分解为 ，平方展开求数量积与模． 【详解】解：∵，，，由二面角大小的定义知 （依据：二面角的平面角垂直于棱）， ∴（依据：数量积的定义）， 又 ，，，∴，（依据：垂直等价于数量积为0）， 且 （依据：向量加法的多边形法则）， ∴ （依据： 及完全平方展开）， ∴． 【练6】（2027新泰一中诊断测试 18）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 是等腰三角形，， 是 的中点． (1)求证：； (2)若底面 是梯形，，，，，求二面角 的余弦值； (3)在(2)的条件下，线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)不存在，理由见解析 【分析】(1)由等腰三角形三线合一及面面垂直的性质定理证 平面 ；(2)过 作 建系，求平面 的法向量，与底面法向量由夹角公式求解；(3)设 ，由 列方程检验是否有 内的解． 【详解】(1)证明：∵， 为 的中点，∴（依据：等腰三角形三线合一）， 又平面 平面 ，交线为 ， 平面 ， ∴ 平面 （依据：面面垂直的性质定理）， ∵ 平面 ，∴． (2)解：过点 作 ，交 于点 ， ∵，，∴， 又由(1)知 平面 ，∴，， 以 为原点， 所在直线为 轴建系， 则 ，，，，，（依据：，，）， ∴，， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 ， ∵ 都在底面 内，∴平面 即底面，可取其法向量 ， ∴， 由图可知二面角 为锐二面角，∴其余弦值为 （依据：结合图形判断二面角的锐钝）． (3)解：假设存在，设 ，， 则 （依据：向量加法与数乘的坐标运算）， 若 平面 ，则 （依据：线面平行等价于方向向量与法向量垂直）， 即 ，解得 ， ∵，与 在线段 上矛盾，∴假设不成立， 即线段 上不存在点 ，使得 平面 ． 　二面角计算与逆向求参 方法要领　半平面含棱上的两个向量时可用法向量法或定义法；两个平面夹角与二面角相等的判定要写明依据。 【例】（2025三明二中期中 16）如图，圆柱 中， 是底面圆 上的一条直径，， 分别是底面 ， 圆周上的一点，，，且点 不与 ， 两点重合． (1)证明：平面 平面 ； (2)若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)由直径所对的圆周角为直角得 ，由 底面得 ，故 平面 ，再用面面垂直的判定定理；(2)确定 为二面角的平面角，建系求平面 的法向量，由线面角公式求解． 【详解】(1)证明：∵ 是底面圆 的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）； ∵ 底面圆 ，，∴ 底面圆 （线面垂直的性质）， 又 底面圆 ，∴； ∵， 平面 ，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； 又 平面 ，∴平面 平面 （面面垂直的判定定理）； (2)解：∵ 底面圆 ，∴，， ∴ 为二面角 的平面角，即 （二面角平面角的定义）； 又 ，∴ 为等边三角形； 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（由(1)知三线两两垂直，建系三步）， 设 ，则 ，（勾股定理）， ∴，，，， ∴，，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 设直线 与平面 所成角为 ， 则 （线面角公式）， ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【练1】（2027河北部分学校月考 17）如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形，，且 ，，， 分别为线段 ， 的中点． (1)证明： 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)先由勾股定理的逆定理证 ，结合 得 平面 ，从而三线两两垂直，建系后验证 与平面 的法向量垂直；(2)求平面 的法向量，由夹角公式求解． 【详解】解：(1)证明：∵四边形 为矩形，∴，； 连接 ，在 中，，，， ∴，∴（勾股定理的逆定理）； 又 ，，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）， ∴ 两两垂直，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，∴（终点减起点）； 易得 为平面 的一个法向量， ∵（数量积的坐标公式），且 平面 ， ∴ 平面 （线面平行等价于方向向量与法向量垂直且直线不在平面内）； (2)解：由(1)知 ，， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 又平面 的一个法向量为 ， 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 （两平面夹角的向量公式）， ∴平面 与平面 夹角的余弦值为 ． 【练2】（2027鹿邑县高中月考 19）如图，在四棱锥 中， 底面 ，，，． (1)若 平面 ．证明：； (2)若平面 平面 ，，求平面 与平面 夹角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)在 中用余弦定理求出 ，证 平面 ，再由线面平行的性质得 ，从而 平面 ；(2)由面面垂直的性质证 ，建系（含参 ），求两平面法向量，把夹角正弦表示为 的增函数求范围． 【详解】(1)证明：在 中，由余弦定理得 ， 即 ，解得 （余弦定理）； ∵，∴（勾股定理的逆定理）； ∵ 底面 ， 底面 ，∴， 又 ，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； ∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， ∴（线面平行的性质定理），∴ 平面 ， 又 平面 ，∴（线面垂直的性质）； (2)解：过点 作 于点 ，∵平面 平面 ，交线为 ，∴ 平面 （面面垂直的性质定理）， ∴；又 底面 ，∴； ∵，∴ 平面 （线面垂直的判定定理），又 平面 ，∴； ∴，∴；设 ，则 （）； 过点 作 轴平行于 ，以 为原点建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，， ∴，，，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 ；设平面 的法向量 ， 由 得 ，取 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； ∴（夹角公式，用 ）； 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 （同角平方关系）； ∵ 随 增大而增大（反比例型函数的单调性）， 当 时 ，当 时 （端点代值）， ∴平面 与平面 夹角的正弦值的取值范围为 ． 【练3】（2027三明北附月考 19）如图，在四棱锥 中，，，，． (1)证明：平面 平面 ； (2)已知 ，，，若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)取 中点构造平行四边形得 ，证 平面 ，从而 平面 ，用面面垂直的判定定理；(2)由 两两垂直建系，设 的含参坐标，求两平面的法向量，由夹角余弦列方程求 ． 【详解】(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ∴，且 （三角形中位线定理）； 又 ，，∴ 且 ，∴四边形 为平行四边形，∴； ∵，，∴（等腰三角形三线合一）； ∵，，∴（直角三角形斜边中线等于斜边一半）； 又 ，∴，∴，即 （全等三角形的性质）； ∵， 平面 ，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）， ∴ 平面 ；又 平面 ， ∴平面 平面 （面面垂直的判定定理）； (2)解：由(1)知 平面 ，∴，；又 ，，∴， ∴ 两两垂直； 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 由 ， 得 ，，（勾股定理）， 则 ，，，，， ∴，，，，（终点减起点）； 由 得 （数乘与加法的坐标运算）； 设平面 的法向量 ，由 得 ，取 ； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 ，，即 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 （两平面夹角的向量公式，其中 ）； 两边平方得 ，即 （消去二次项）， 解得 （经检验 且满足题设）， ∴ 的值为 ． 【练4】（2026辽宁七校协作体期中 19）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，且 ，，点 在线段 上，点 在线段 上． (1)求证：； (2)若 平面 ，求 的值； (3)在(2)的条件下，求平面 与平面 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】(1)过 作 ，由全等三角形证 ，得 平面 ；(2)建系后由 列方程求 的位置，在等腰三角形中求 与 ；(3)由(2)知 为平面 的法向量，求平面 的法向量，由夹角公式求解． 【详解】(1)证明：过 作 直线 于 ，连接 ； 由 ，，，∴（全等三角形的判定）， ∴，即 ； 又 ，，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）， 又 平面 ，∴（线面垂直的性质）； (2)解：∵平面 平面 ，交线为 ，，∴ 平面 （面面垂直的性质定理）； 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 设 ，则 ，，，； ∵ 平面 ，∴，（线面垂直的定义）； ∵，∴ 为 的中点（等腰三角形三线合一的逆用），； 由 ，设 （共线向量的参数设法）， 由 得 （数量积的坐标公式），解得 ， ∴，， ∴； (3)解：由(2)知 为平面 的一个法向量（线面垂直的定义）； 设平面 的法向量 ，由 ， 得 ，即 ， 令 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； ∴（两平面夹角的向量公式）， ∴平面 与平面 所成角的余弦值为 ． 　空间角与存在性综合 方法要领　解答题四步：建系写坐标→求方向向量与法向量→算夹角公式→回答几何问题；每步坐标代入逐一核对。 【例】（2027鹿寨中学月考 17）在直三棱柱 中，，，． (1)求异面直线 与 所成角的正切值； (2)求直线 与平面 所成角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【分析】以 为原点建系：(1)求两异面直线方向向量的夹角余弦，再用同角关系求正切；(2)求平面 的法向量，由线面角公式求正弦后转余弦． 【详解】解：∵，直三棱柱中 平面 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，，； (1)设异面直线 与 所成角为 ， 则 ，（终点减起点）， ∴（异面直线所成角的向量公式，余弦取绝对值）， ∴（同角平方关系）， ∴，即异面直线 与 所成角的正切值为 ； (2)设平面 的法向量 ，由 ， 得 ，即 ，取 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 又 ，设直线 与平面 所成角为 ， 则 （线面角公式）， ∴，即直线 与平面 所成角的余弦值为 ． 【练1】（2027河南部分高中联考 18）如图，在四棱锥 中， 是以 为斜边的等腰直角三角形，，，，， 为 的中点． (1)证明： 平面 ； (2)求平面 与平面 的夹角； (3)棱 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【分析】取 中点 ，由勾股定理的逆定理证 ，结合 得 底面，建系：(1)验证 与平面 的法向量垂直；(2)求两平面法向量由夹角公式求解；(3)设 ，由点面距公式列方程求 ． 【详解】(1)证明：取 的中点 ，连接 ； ∵ 是等腰直角三角形，∴，，（三线合一）； ∵，，，∴四边形 为矩形，（勾股定理）； ∵，∴，∴（勾股定理的逆定理）； 又 ，∴ 底面 （线面垂直的判定定理）； 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，，，（中点坐标公式）， ∴，，； 设平面 的法向量 ，由 得 ，取 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； ∵（数量积的坐标公式），且 平面 ， ∴ 平面 （线面平行等价于方向向量与法向量垂直且直线不在平面内）； (2)解：设平面 的法向量 ，由 得 ，取 ； 设平面 的法向量 ，由 ， 得 ，取 （法向量三步）； ∴（两平面夹角的向量公式）， ∴平面 与平面 的夹角为 ； (3)解：设 ，，而 ，则 （共线向量的参数设法）， ∴； 点 到平面 的距离 （点到平面的距离公式）， 令 ，解得 ， ∴存在满足条件的点 ，此时 （两点间距离公式）． 【练2】（2027无锡三中基础测试 19）如图1所示，在等腰梯形 中，，，垂足为 ，，，将 沿 折起到 的位置，如图2所示，平面 平面 ． (1)求证：平面 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值； (3)在棱 （不包括端点）上是否存在点 ，使平面 与平面 的夹角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【分析】(1)先证 ，再用面面垂直的性质得 平面 ，用判定定理；(2)证 平面 后建系，求平面 的法向量，由线面角公式求解；(3)设 ，求两平面的含参法向量，由夹角余弦列方程求 ． 【详解】(1)证明：∵等腰梯形 中 ，，∴（平行线的性质）； ∵平面 平面 ，交线为 ， 平面 ， ∴ 平面 （面面垂直的性质定理）； 又 平面 ，∴平面 平面 （面面垂直的判定定理）； (2)解：∵，折叠后仍有 ，又平面 平面 ，交线为 ， ∴ 平面 （面面垂直的性质定理），∴，， ∴ 两两垂直，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）； 在等腰梯形中 ，，， ∴，，，， ∴，，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 设直线 与平面 所成角为 ， 则 （线面角公式）； (3)解：假设存在，设 ，（共线向量的参数设法）， ∴（向量加法）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 （法向量三步）； 由(2)知平面 的法向量为 ， 设平面 与平面 的夹角为 ，则 （两平面夹角的向量公式）； 两边平方整理得 ，解得 或 （舍去， 不与 重合）， ∴存在满足条件的点 ，此时 ． 【练3】（2027周口开封部分校学情检测 19）在梯形 中，，，， 为 的中点，线段 与 交于 点．将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ． (1)求证： 平面 ； (2)求二面角 的余弦值； (3)线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【分析】(1)证四边形 为平行四边形得 为 中点，由中位线得 ，用判定定理；(2)证 为二面角的平面角且为直角，建系求两平面法向量；(3)设 ，求平面 的法向量，由线面角条件列方程求 ． 【详解】(1)证明：在梯形中，， 为 中点，∴，且 ， ∴四边形 为平行四边形（一组对边平行且相等）， ∴ 为 的中点（平行四边形对角线互相平分）； 在 中， 分别为 的中点，∴（三角形中位线定理）； 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 （线面平行的判定定理）； (2)解：平行四边形 中，，∴四边形 是菱形，∴，垂足为 （菱形对角线互相垂直）； 折叠后仍有 ，，∴ 是二面角 的平面角（二面角平面角的定义）； ∵平面 平面 ，交线为 ，且 平面 ，∴ 平面 （面面垂直的性质定理）， 又 平面 ，∴，即 ； 在菱形 中，，得 ，（含60°角的直角三角形求解）； 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，，， ∴，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 又平面 的一个法向量为 ； 由图可知二面角 为锐二面角，设其大小为 ， 则 （两平面夹角的向量公式）； (3)解：假设存在，设 （）（共线向量的参数设法）； ∵，，∴（数乘与加法的坐标运算）； 设平面 的法向量 ，由 ， 得 ， 取 ，得 （法向量三步）； 设 与平面 所成角为 ， 则 （线面角公式）； 由题意 ，∴（同角平方关系）， 即 ，整理得 ， 解得 或 （舍去，不在 内）， ∴存在满足条件的点 ，且 ． 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2025抚顺四方高中期中 4）如图所示，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以 为原点建系，写出 与 的坐标，用夹角公式求解，注意余弦取正值． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系， 则 ，，，， ∴，， ∴（依据：异面直线所成角的向量公式，余弦取绝对值）， ∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ．故选C． 2．（6分）（2025广州天河外国语期中 6）古代城池中的"瓮城"，又叫"曲池"，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成"瓮中捉鳖"之势．如下图的"曲池"是上、下底面均为半圆形的柱体．若 垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，， 为弧 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在下底面内过 作 的垂线建系，写出各点坐标，求平面 的法向量，由线面角公式求解． 【详解】解：在半圆柱下底面半圆所在平面内过 作直线 的垂线，以 为原点，该垂线、 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系， 则 ，，，，， ∵半圆半径为 ， 为弧 的中点，∴， ∴，，， 设平面 的法向量 ，则 ，即 ，令 得 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 （依据：线面角公式）．故选D． 3．（6分）（2026杭州学军中学期中 8）在三棱锥 中，，且 ．记直线 与平面 所成角分别为 ，已知 ，当三棱锥 的体积最小时，（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 在底面的射影为 ，由线面角条件得 ，化归为阿波罗尼斯圆；当 最小时高最小、体积最小，再求 ． 【详解】解：设点 在平面 内的射影为 ， 由 得 ； 由线面角的定义，，（线面角的定义与解直角三角形）， ∴ （等量代换）； 在底面内以 中点 为原点建系（），则 ，，设 ， 由 （两点间距离公式）， 两边平方整理得 （阿波罗尼斯圆）； 圆心 到 的距离为 （点在圆内），故 在圆上运动时 （点与圆的位置关系）， 此时 ，且 （，两点间距离公式）； ∴ 当 最小时，高 最小，三棱锥 的体积最小（锥体体积公式）； 设直线 与平面 所成角为 ，则 （线面角的正切定义）． 故选：C． 4．（6分）（2027河北部分学校月考 7）已知 ， 分别是圆台 的上、下底面圆半径，且 ，，，若异面直线 ， 所成的角为 ，则 的可能取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将 分解为 ，注意 与 的夹角为 或其补角，模的平方展开后分两类讨论． 【详解】解：∵ （向量加法的多边形法则）， 且 ，（圆台轴垂直于底面）， ∴ （垂直等价于数量积为0）； 异面直线 与 所成角为 ，而 与 反向，故 或 （异面直线所成角与向量夹角的关系）； ∴ （模的平方展开式） （代入数值）； 当夹角为 时，；当夹角为 时，（分两类计算）， ∴ 四个选项中只有 可能． 故选：C． 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026宁波六校联盟期中 11）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若 ，则给出的说法中正确的是（　　）（多选） A．该几何体的表面积为 B．该几何体的体积为 C．二面角 的余弦值为 D．若点 在线段 上移动，则 的最小值为 【答案】BCD 【分析】该多面体可视为棱长为2的正方体切去12个三棱锥：A 按正三角形面数算表面积；B 用割补法算体积；C 找二面角的平面角用余弦定理；D 建系把 表示为二元二次函数求最小值． 【详解】解：对A：蒺藜形多面体的表面由 个全等的边长为 的正三角形组成（其中 ）， ∴ 表面积 （正三角形面积公式），A错误； 对B：该几何体体积为正方体体积减去 个三棱锥： （割补法与锥体体积公式），B正确； 对C：设 的中点为 ，连接 ，则 ，（等腰三角形三线合一）， ∴ 为二面角 的平面角（二面角平面角的定义）； ，， ∴ （余弦定理），C正确； 对D：建立空间直角坐标系，设 （），（）（共线向量的参数设法）， 则 （配方求最值）， 当且仅当 ， 时取等号，∴ 的最小值为 ，D正确． 故选：BCD． 6．（6分）（2026山东实验中学期中 11）在棱长为 的正方体 中，点 在侧面 所在平面内运动， 为 的中点，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．当 在线段 上运动时，恒有 B．当 为正方形 的中心时， 与 所成角的正弦值为 C．若点 满足 ，则平面 截正方体所得的截面面积为 D．直线 和 与平面 所成的角相等时，动点 的轨迹为圆 【答案】ACD 【分析】以 为原点建系后逐项验证：A 设参数点算数量积；B 算线线角的正弦；C 由面面平行确定截面为梯形再算面积；D 由线面角相等列方程看轨迹形状． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）； 对A：设 ，（共线向量的参数设法）， 则 ，（终点减起点）， ∴ （数量积的坐标公式），故 恒成立，A正确； 对B：当 时，，，， ∴ （夹角公式）， ∴ 所成角的正弦值为 （同角平方关系），B错误； 对C：由 得 ；设截面交棱 于 ， ∵ 平面 平面 ，∴ （面面平行的性质），截面为梯形 ； 由 得 （等腰直角三角形）； 点 到直线 的距离 （点到直线的距离公式）， ∴ 截面面积 （梯形面积公式），C正确； 对D：设 ，平面 的法向量为 ， 由两线面角相等得 （线面角的向量公式）， 化简得 （代数变形）， 故动点 的轨迹为圆，D正确． 故选：ACD． 7．（6分）（2026杭州二中期中 11）已知棱长为12的正四面体 中， 为 中点， 分别为四面体 的内切球和外接球上的动点，则（　　）（多选） A． 的最大值为 B． C． D．若 ，则 的最大值为 【答案】AB 【分析】将正四面体补形为正方体求两球半径：A 当 共线且 居中时 最大；B、C 展开 并利用 ；D 由 结合四点共面与距离最值判断． 【详解】解：将正四面体 补形放入棱长为 的正方体中，外接球即正方体的外接球，半径 （补形法）， 内切球半径 （正四面体内切球与外接球半径之比为 ）； 对A：当 三点共线且 在 之间时，（球上两点距离的最值），A正确； 对B：设球心为 ，（模的平方展开式）， 求和得 ， 而 （对称性）， ∴ 上式 （代入数值），B正确； 对C：同理 ，求和得 （同B的展开），C错误； 对D：设 为平面 内一点，使 ，由四点共面的系数结论得 （四点共面的充要条件）； 当 最大且 最小时 最大； 到平面 的距离为 到该平面距离的一半，即 （棱锥高的比例）， ∴ （比值的最大值），D错误． 故选：AB． 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2026武汉部分重点中学期中 13）已知正方体 的棱长为 ，点 是棱 上的动点，则 的面积的最小值为 ______． 【答案】 【分析】建系设 ，求 与 夹角的正弦，代入三角形面积公式化为二次函数求最小值． 【详解】解：以 为原点， 所在直线为 轴建系，则 ，， 设 ，， ∴，， ∴， 设直线 与 所成角为 ，则 （依据：同角平方关系）， ∴， 当 （即 为 中点）时取最小值，∴ 的面积的最小值为 （依据：二次函数的最值）． 9．（6分）（2025钱塘联盟期中 14）如图所示，在矩形 中，， 为 边上的点，现将 沿 翻折至 ，使得 在平面 上的射影在 上，且直线 与平面 所成的角为 ，则线段 的长为 ______． 【答案】 【分析】过 作 ，由条件得 平面 ，从而 ，设 列勾股方程求解． 【详解】解：过 作 于点 ，连接 ， ∵ 在平面 上的射影在 上，∴ 平面 （依据：线面垂直的定义）， ∴ 为直线 与平面 所成的角，即 （依据：线面角的定义）， ∵翻折前后 ，∴，， 设 ，∵，∴（依据：勾股定理）， 在原矩形中 且 ，∴射影关系给出 （依据：勾股定理，水平偏差为 ）， ∴，即 ，解得 ， ∴． 10．（6分）（2027柳林鑫飞中学月考 13）已知向量 ，，则 ______． 【答案】 【分析】直接由数量积与模长的坐标公式代入夹角公式计算． 【详解】解：∵ ，，（数量积与模长的坐标公式）， ∴ （夹角公式）． 故答案为： 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2025常州联盟期中 17）如图，在三棱锥 中，， 为 的中点，平面 平面 ． (1)证明：； (2)若二面角 的大小为 ，，，求平面 与平面 的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)过 作 ，由面面垂直性质得 平面 ，进而 平面 ；(2)证 为二面角 的平面角，建系求两平面法向量求解． 【详解】(1)证明：过 作 于点 ， ∵平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 （依据：面面垂直的性质定理）， ∴，又 ， 为 的中点，∴（依据：三线合一）， ∵，∴ 平面 （依据：线面垂直的判定定理），∴， 又 为 的中点，∴ 垂直平分 ，∴． (2)解：取 的中点 ，连接 ，∵，∴， ∵ 平面 ，∴，， ∴ 为二面角 的平面角（依据：二面角平面角的定义），即 ， 由 ， 得 为等腰直角三角形，∴， 又 ，∴，即 ，∴（依据：勾股定理的逆定理）， 以 为原点， 所在直线为 轴，过 且与 平行的直线为 轴建系， 则 ，，，， ∴，，， 设平面 的法向量 ，则 ，取 得 ， 同理平面 的法向量 ， 设平面 与平面 的夹角为 ，则 （依据：面面夹角的向量公式）， ∴（依据：同角平方关系）， ∴平面 与平面 的夹角的正弦值为 ． 12．（15分）（2027凌云中学月考 17）如图，在平行六面体 中，，，， 是 的中点，设 ，，． (1)求 的长； (2)求异面直线 与 所成的角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)用基底表示 后按模的平方展开；(2)表示 与 ，算数量积与模，由夹角公式求余弦并取绝对值． 【详解】解：由题意 ，且 ，（数量积的定义）； (1)∵ （向量加法的平行六面体法则）， ∴ （模的平方展开式）， ∴ ； (2)∵ ，（向量加法与数乘）， ∴ （数量积展开）； ，（模的平方展开式）； 设异面直线 与 所成角为 ， 则 （异面直线所成角的余弦等于向量夹角余弦的绝对值）． 期中专项复习 · 高二教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $