专题五 直线的方程《真题淬炼·题型通关》期中讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版高二上期中专项复习 · 专题五 直线的方程 全国各地市期中真题精选 · 7 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 倾斜角与斜率 倾斜角与斜率 2027鹿邑县高中月考 5 题 斜率范围与线段交点 倾斜角与斜率 · 直线位置关系与交点 · 直线与线段公共点问题 2027河北部分学校月考 6 题 直线方程的形式与求法 直线方程的形式 2025广州中学期中 9 题 直线的位置关系与交点 直线位置关系与交点 2026大连二十四中学期中 10 题 距离公式及应用 距离公式（两点/点到线/平行线） · 直线垂直与距离公式 2026苏州中学期中 8 题 对称问题 对称问题 2026华中师大一附中期中 7 题 直线恒过定点与性质判断 直线方程的形式 · 含参直线过定点与距离最值 · 直线位置关系与交点 · 点到直线距离最值（恒过定点） 2026华中师大一附中期中 7 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 倾斜角： 轴正向与直线向上方向所成的角；规定与 轴平行或重合的直线倾斜角为 ，范围 ，每条直线有唯一的倾斜角，倾斜角与直线一一对应。 2. 斜率：；当倾斜角为 （垂直于 轴）时斜率不存在，此时直线不能用点斜式、斜截式表示。 3. 方向向量与法向量：一般式 的一个方向向量为 ，一个法向量为 ；斜率为 的直线的一个方向向量为 ，方向向量成比例的两直线平行或重合。 4. 截距：横截距、纵截距是直线与坐标轴交点的坐标，可正、可负、可为 ；截距不是距离，"截距相等"必须先讨论截距全为 （过原点）的情形。 5. 五种方程形式：点斜式 、斜截式 、两点式、截距式 （）、一般式 （ 不同时为 ），作答时通常化为一般式。 6. 两直线的位置关系：相交、平行、重合；可比较斜率与截距判定，也可用一般式的系数判别，求交点则联立方程组。 7. 三种距离：两点间距离、点到直线距离、两条平行线间的距离，是距离最值与对称问题的运算核心。 8. 对称关系：点关于点对称用中点公式；点关于直线对称满足"连线垂直对称轴＋中点在对称轴上"；直线关于点或直线对称转化为点的对称。 9. 直线系：平行直线系 、垂直直线系 、过定点的直线系（分离参数），是处理含参直线问题的通用模型。 ▍二、法则与公式 1. 两点斜率公式：。 2. 平行判定： 且 ；斜率存在时为 且截距不相等。 3. 垂直判定：；斜率存在且不为零时为 。 4. 两点间距离公式：。 5. 点到直线距离公式：，使用前必须先把直线方程化为一般式。 6. 平行线间距离公式：先把两方程化为同系数，。 7. 中点坐标公式：，对称问题与中点弦问题的基本工具。 8. 点关于直线的对称点： 关于 的对称点 满足 。 9. 过交点的直线系：（不含 本身，检验补上）。 ▍三、方法技巧 1. 倾斜角与斜率三步：求斜率（斜率公式或将方程化成斜截式）→ 由 定角 → 用范围 校正；旋转问题按"顺减逆加、出界加 "换算。 2. 求直线方程四步：选形式（有点有斜率用点斜式、有截距用斜截式或截距式）→ 注意形式局限（斜率不存在、截距为零要另立情形）→ 待定系数解参数 → 化为一般式并代点检验。 3. 位置关系判定三步：化一般式 → 用 判平行、 判垂直 → 平行时必检验不重合；求交点直接联立消元。 4. 距离最值三步：识别几何模型（定直线上的动点、两平行线上的动点、绕定点转动的直线系）→ 几何转化（垂线段最短、公垂线段最短、与连线垂直时距离最大）→ 代对应距离公式计算。 5. 对称问题四步：点关于点用中点公式；点关于直线列"垂直＋中点在对称轴上"方程组；线关于点取两点分别对称；线关于线取两点对称后用两点式；和差最值先作对称点，再三点共线取等。 6. 含参直线过定点两步：分离参数写成 → 解 得定点；过定点 的直线系中，点到直线距离的最大值等于该点到 的距离。 7. 斜率范围（直线与线段有交点）三步：求两端点连线斜率 、 → 判断区间是否跨过竖直方向 → 写成 或 。 8. 消参定直线三步：把交点（动点）坐标用参数表示 → 反解参数或整体代入 → 消去参数得 的二元一次方程，并注明参数取值排除的点。 ▍四、易错警示 1. 斜率不一定存在：说"求直线的斜率"必须先考虑垂直于 轴的情形。 反例：过 、 的直线 斜率不存在，不能套用点斜式。 2. 截距不是距离：截距是坐标，可正可负可为零。 反例：直线 的横截距为 ，当作 3 使用即错。 3. 平行判定不能漏"不重合"：只验证 会把重合误判为平行。 反例： 时 与 重合，不是平行。 4. 截距式不能表示过原点及垂直于坐标轴的直线：解截距相等（或成倍数）问题必须先讨论过原点。 反例：过 且纵截距为横截距两倍的直线有 与 两解，只用截距式会丢解。 5. 点到直线距离公式必须先化一般式：公式要求 项系数齐全。 反例：对 直接取 会漏掉 项，距离算错。 6. 垂直判定慎用 ：该式只在两直线斜率都存在且不为零时使用。 反例： 与 垂直，但一个斜率不存在、一个斜率为 。 7. 倾斜角与斜率不是整体单调：不能由倾斜角大直接得斜率大。 反例：倾斜角 的斜率为 ，倾斜角 的斜率为 。 8. 含参直线讨论要完整：求定点后须对参数的特殊值（水平、竖直直线）逐一检验。 反例： 中 时为 ，判断"不经过第二象限"的条件时漏掉它会出错。 　倾斜角与斜率 方法要领　求斜率用 ，方向向量可取 ；倾斜角 ，横坐标相等时斜率不存在但倾斜角仍为 ，三点共线即两点连线斜率相等。 【例】（2027鹿邑县高中月考 9）已知直线 经过 ， 两点，另有两点 ，，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．当 的倾斜角为 时， B．当 的斜率不存在时， C．存在实数 ，使得 D．当 时， 【答案】BD 【分析】A 由倾斜角为 得斜率为 ，由斜率公式求 ；B 由斜率不存在得 两点横坐标相等；C 先求 ，由垂直的斜率条件列方程看是否有解；D 由平行的斜率条件求 。 【详解】解：当 时，由斜率公式得 ， A．若 的倾斜角为 ，则 （倾斜角与斜率的关系 ）， 由 得 ，∴ A 错误； B．若 的斜率不存在，则 两点的横坐标相等，即 （竖直直线上点的横坐标相同），B 正确； C．由 ， 得 （斜率公式）， 若 ，则 ，即 （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）， 由 得 ，即 ，方程无解， 而当 时 为竖直直线，与斜率为 的直线 也不垂直， ∴ 不存在实数 使 ，C 错误； D．当 时，（平行 ⟺ 斜率相等）， 由 得 ，解得 ，此时 ，符合题意，D 正确。 故选：BD。 【练1】（2025广州天河外国语学校期中 1）经过 ， 两点的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由两点斜率公式求斜率，再由 结合倾斜角范围求倾斜角。 【详解】解：由两点斜率公式得 ， 设倾斜角为 ，则 ， ∵ ，∴ ，即倾斜角为 （斜率与倾斜角的关系）。 故选：B。 【练2】（2026巴蜀中学期中 1）已知直线 绕原点顺时针旋转 得到直线 ，则 的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由斜截式方程求直线 的倾斜角，再按旋转方向换算，最后用倾斜角的取值范围调整。 【详解】解：∵ 直线 的斜率 ，且 ，∴ 直线 的倾斜角 ， ∵ 直线 绕原点顺时针旋转 ，对应角减小 ，得 ， 又倾斜角的取值范围为 ，∴ 的倾斜角为 （终边相同角加 ）。 故选：D。 【练3】（2025钱塘联盟期中 12）已知点 ，，则直线 的倾斜角为 ______． 【答案】 【分析】由两点斜率公式求斜率，再由 结合 求倾斜角。 【详解】解：由两点斜率公式得 ， 设直线 的倾斜角为 ，则 ， ∵ ，∴ 。 故答案为：。 【练4】（2025广州中学期中 10）下列说法正确的是（　　）（多选） A．若直线的一个方向向量为 ，则该直线的斜率为 B．""是"直线 与直线 互相垂直"的充要条件 C．当点 到直线 的距离最大时， 的值为 D．已知直线 过定点 且与以 ， 为端点的线段有交点，则直线 的斜率 的取值范围是 【答案】ACD 【分析】A 由方向向量求斜率；B 由两直线垂直列方程求 ，再判断充要性；C 由直线恒过定点、与 垂直时距离最大求 ；D 求 、，结合斜率随倾斜角的变化写范围。 【详解】解：A．由 是直线的一个方向向量，得 也是方向向量，∴，A 正确； B．由两直线垂直得 ，解得 或 ， ∴""是两直线垂直的充分不必要条件，B 错误； C．直线 即 ，恒过定点 ， 当直线与 垂直时点 到直线距离最大，∵，∴，C 正确； D．，， 直线 与线段 有交点时，斜率范围是 ，D 正确． 故选：ACD。 　斜率范围与线段交点 方法要领　过定点 的直线与线段 有交点：先算 ，数形结合看直线绕 旋转是否跨过竖直方向——跨过则 ，不跨过则 为闭区间；含参直线先分离参数求出定点再定临界。 【例】（2027河北部分学校月考 5）已知点 ，，过点 的直线 与线段 有交点，则直线 的斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜率公式求出直线 与 的斜率，结合过 的直线系与线段 有公共点的位置关系得斜率范围。 【详解】解：由 ，，， 得 ，， 过点 的直线 与线段 有交点时，倾斜角从直线 的位置绕点 转到竖直方向再到直线 的位置， 由斜率随倾斜角的变化规律，斜率先从 增大到 ，再从 增大到 ， ∴斜率的取值范围为 ， 故选：B。 【练1】（2027鹿邑县高中月考 13）过点 作直线 ，若 与连接 ， 两点的线段总有公共点，直线 的倾斜角为 、斜率为 ，则 的取值范围是 ______， 的取值范围是 ______． 【答案】； 【分析】直线 过 且与线段 总有公共点，说明 夹在射线 与 之间（线段在 的同一侧，区间不跨竖直方向），先求两条边界斜率得 的范围，再由 分区间求 并检验竖直方向。 【详解】解：由斜率公式得 ，， ∵ 线段 整体位于点 的右上方，直线 与线段 有公共点时， 夹在直线 与 之间且不跨过竖直方向， ∴ ，即 的取值范围是 ； ∵ 且 （倾斜角与斜率的关系）， 当 时，；当 时，； 又当 时直线为 ，而 的横坐标均为正，此时 与线段 无公共点，舍去， ∴ 的取值范围是 。 故答案为：；。 【练2】（2026成都石室中学期中 7）已知 ，，直线 上存在点 ，满足 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用分离参数法求出直线 恒过的定点 ；由 结合三角形不等式知 必落在线段 上，问题转化为过 的直线与线段 有公共点求斜率范围，再由 换算出 的范围。 【详解】解：将直线 的方程整理为 （分离参数法）， 由 解得 ，， ∴ 无论 取何值，直线 恒过定点 ； 由 ， 得 （两点间距离公式）， 若直线 上存在点 满足 ， ∵ 三角形不等式给出 ，等号成立当且仅当 三点共线且 在线段 上， ∴ 条件等价于直线 与线段 有公共点； 由斜率公式得 ，， ∵ 线段 落在从点 看由射线 与 所夹的角内（该角含水平方向、不跨竖直方向）， ∴ 过 的直线与线段 有公共点时，其斜率满足 （斜率随倾斜角变化的临界位置）； 当 时，由 得 ，其斜率 恒不为 ， ∴ 或 ， 解 得 ，解 得 （两边同乘 时按其符号改变不等号方向）； 当 时，直线 为 ，而线段 上点的横坐标介于 与 之间，此时无公共点，不符合题意， ∴ 实数 的取值范围是 ， 故选：D。 【练3】（2027新泰一中诊断测试 6）设点 ，，直线 过点 且与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是（　　） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】B 【分析】由斜率公式求出 与 ，过 且与线段 相交的直线需跨过竖直方向，结合斜率随倾斜角的变化规律写出范围。 【详解】解：由斜率公式得 ，， 过点 的直线 与线段 相交时，倾斜角从直线 的位置绕点 转到竖直方向再到直线 的位置， 由斜率随倾斜角的变化规律，斜率先从 增大到 ，再从 增大到 ， ∴ 或 ， 故选：B。 【练4】（2027三明北附高级中学月考 14）已知 ，，若直线 与线段 有公共点，则实数 的取值范围为 ______． 【答案】 【分析】直线与线段有公共点，等价于线段两个端点落在直线两侧或恰有一点在直线上，即两端点代入直线左端的函数值之积非正，列不等式求解。 【详解】解：设 ， 将 代入得 ， 将 代入得 ， ∵ 直线 与线段 有公共点，∴ 端点 在直线 的两侧或恰有一点在 上， ∴ ，即 （端点函数值异号或有一端为 ）， 解得 ， ∴ 实数 的取值范围为 。 故答案为：。 【练5】（2027重庆外国语学校月考 14）已知 ，，若过点 的直线 与线段 没有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围是 ______． 【答案】 【分析】先由斜率公式求出直线 、 的斜率与倾斜角，得到过 且与线段 有公共点的直线的倾斜角范围，再在 内取补集即得无公共点的范围。 【详解】解：由斜率公式得 ，， ∴ 直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 （ 且 ）； ∵ 线段 整体位于点 的右上方（ 的横坐标均为正），过 的直线与线段 有公共点时，直线夹在射线 与 之间且不跨过竖直方向， ∴ 有公共点时倾斜角 （斜率随倾斜角变化的临界位置）， 又当 时直线为 ，而 的横坐标均为正，此时 与线段 无公共点，属于所求情形， ∴ 无公共点时 的范围是 中上述集合的补集，即 ， 故答案为：。 　直线方程的形式与求法 方法要领　点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式各有适用条件；选形式先看已知量，注意斜率不存在与截距为零的特殊情形。 【例】（2025广州中学期中 5）瑞士数学家欧拉提出：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）在同一条直线上，人们把这条直线称为欧拉线。若 的顶点为 ，，，则其欧拉线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由重心坐标公式求 ；由斜率与垂直关系求两边中垂线并联立得外心 ；再用点斜式写出直线 的方程。 【详解】解：由重心坐标公式，，即 ； ∵ ，∴ 的中垂线斜率为 （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）， 又 的中点为 （中点坐标公式），∴ 的中垂线方程为 ，即 （点斜式）； ∵ ，，∴ 的中垂线方程为 （竖直线段的对称性）， 联立 ，解得 ，∴ 外心 ； ∵ ，∴ 直线 的方程为 ，即 （点斜式）， ∴ 的欧拉线方程为 。 故选：C。 【练1】（2026长郡中学期中 4）过点 且直线的方向向量为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方向向量求斜率，再用点斜式写出方程并化为一般式。 【详解】解：∵ 直线的方向向量为 ，∴ 直线的斜率 （斜率即方向向量纵横坐标之比）， 又直线过点 ，由点斜式得 ， 整理得一般式方程 。 故选：A。 【练2】（2026长郡中学期中 4）与直线 垂直且过点 ， 则所求直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂直关系得所求直线的斜率，再用点斜式求方程。 【详解】解：∵ 已知直线的斜率为 （斜截式），且所求直线与它垂直， ∴ 所求直线的斜率 （垂直 ⟺ ）， 又所求直线过点 ，由点斜式得 ， 整理得 。 故选：A。 【练3】（2026武汉部分重点中学期中 12）与直线 垂直，且在 轴上的截距为 2 的直线的方程为 ______． 【答案】 【分析】由垂直定斜率、由纵截距定 ，用斜截式直接写出方程。 【详解】解：设所求直线方程为 （斜截式）， ∵ 所求直线与 垂直，且 的斜率为 1，∴ （垂直 ⟺ ）， 又所求直线在 轴上的截距为 2，∴ ， ∴ 所求直线方程为 。 故答案为：。 【练4】（2027新泰一中诊断测试 5）过点 且在两坐标轴上的截距之和为零的直线方程为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】D 【分析】截距之和为零须先讨论直线过原点（两截距全为 ）的情形，再对不过原点的情形设截距式求解。 【详解】解：①当直线过原点时，其在两坐标轴上的截距都为 ，之和为零，符合题意， 又直线过点 ，∴ 斜率 （斜率公式）， ∴ 直线方程为 ，即 ； ②当直线不过原点时，由两截距互为相反数，设直线方程为 （）（截距式）， 把 代入得 ，解得 ， ∴ 直线方程为 ，即 ， 综上，所求直线方程为 或 。 故选：D。 【练5】（2027广州执信中学阶段训练 9）已知 的三个顶点 ，，，则下列描述正确的是（　　）（多选） A．直线 的倾斜角不存在 B．直线 的斜率为 C．边 上的高所在直线的方程为 D．边 上的中线所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】由 横坐标相同得 为竖直直线，区分"倾斜角存在而斜率不存在"；由斜率公式判断 B；由垂直定高线斜率、由中点定中线，用点斜式写方程检验 C、D。 【详解】解：A．∵ 与 的横坐标相同，∴ 直线 垂直于 轴，其倾斜角为 ，斜率不存在（任何直线都有倾斜角，竖直直线是斜率不存在而非倾斜角不存在），A 错误； B．由斜率公式得 ，B 正确； C．∵ ，且高线与 垂直，∴ 高线的斜率为 （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）， 又高线过点 ，由点斜式得 ， 整理得 ，C 正确； D． 的中点为 ，即 （中点坐标公式）， ∴ 中线（过 与该中点）的斜率为 （斜率公式）， 由点斜式得 ，即 ，D 错误。 故选：BC。 【练6】（2026苏州中学期中 10）设过点 的直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点， 为坐标原点，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． 的最小值为 8 B． 的最小值为 8 C． 的最小值为 4 D． 的最大值为 【答案】ABD 【分析】设截距式 （），由点 在直线上得约束 ，逐项借助"1"的代换、基本不等式与等面积法求最值。 【详解】解：设 （），则 ，， ∵ 点 在直线 上，∴ ①； A．（"1"的代换）， 由基本不等式 ，当且仅当 时取等号， ∴ 的最小值为 8，A 正确； B．由 ① 及基本不等式得 ，∴ ，即 ， 当且仅当 时取等号，∴ 的最小值为 8，B 正确； C．∵ ，（向量的坐标表示）， ∴ ， 即 ， 当且仅当 时取等号，即其最大值为 而非最小值 4，C 错误； D．设原点 到直线 的距离为 ，则 （点线距与截距式联立）， 由等面积法：，得 ； 同理 ，得 ， ∴ ， ∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号， ∴ 其最大值为 ，D 正确。 故选：ABD。 【练7】（2027内蒙古大学附中月考 14）将直线 绕其与 轴的交点 逆时针旋转 得直线 ，则 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ______． 【答案】 【分析】先定旋转中心 与原直线的倾斜角，用两角和的正切公式求旋转后的斜率，写出 的方程后求其在 轴上的截距，由三角形面积公式求值。 【详解】解：在 中令 得 ， 设直线 的倾斜角为 ，则 ， ∵ 绕 逆时针旋转 ，∴ 的倾斜角为 （逆时针旋转角度相加）， ∴ （两角和的正切公式）， 由点斜式得 的方程为 ，即 ， 令 得 与 轴的交点为 ， ∴ （三角形面积公式）。 故答案为：。 【练8】（2027新泰一中诊断测试 17）已知直线 （）． (1) 证明：直线 过定点； (2) 若直线 不经过第四象限，求 的取值范围； (3) 若直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ， 为坐标原点， 的面积为 ，求 的最小值并求此时直线 的方程． 【答案】(1) 直线 过定点 ；(2) ；(3) 的最小值为 4，此时直线 的方程为 。 【分析】(1) 把方程按 整理，令含参项与剩余项同时为零求定点；(2) 化为斜截式，"不经过第四象限"等价于斜率非负且纵截距非负；(3) 用 表示 的坐标，由截距所在半轴限定 ，写出面积 后用基本不等式求最小值。 【详解】（1）证明：∵ （分离参数法）， 由 得 ，， ∴ 无论 取何值，直线 恒过定点 。 （2）解：由 得 （斜截式），其斜率为 ，纵截距为 ， 若 ，则当 充分大时 ，直线经过第四象限，不合题意， 要使直线 不经过第四象限，则 ，解得 。 （3）解：∵ 直线 与 轴负半轴、 轴正半轴分别相交，∴ ， 令 得 ；令 得 ， 由 且 （交点分别在负半轴与正半轴），解得 ， ∴ 在 轴负半轴上，，， ∴ （三角形面积公式）， 即 ， ∵ ，由基本不等式得 ， 当且仅当 ，即 时取等号， ∴ 的最小值为 ， 此时直线 的方程为 ，即 。 　直线的位置关系与交点 方法要领　平行看斜率相等且截距不等，垂直看 （含斜率不存在情形）；含参直线勿漏判别参数使方程无效的情形。 【例】（2026大连二十四中学期中 5）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则 的最大值是（　　） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】先分别求出两条动直线所过的定点 、；再验证两条动直线互相垂直，得 为直角三角形；最后用勾股定理与基本不等式求 的最大值。 【详解】解：∵ 把 代入 对任意 恒成立，∴ 直线恒过 ， ∵ 可整理为 ，由 得 （分离参数法求定点）； 两条动直线的方向向量分别可取 与 ，其数量积 ， ∴ 两条动直线互相垂直（方向向量数量积为 ⟺ 垂直），即 ， ∴ 为直角三角形，∴ （勾股定理）， 由基本不等式 ，得 ， 当且仅当 时取等号，∴ 的最大值为 5。 故选：A。 【练1】（2025广州中学期中 1）直线 与 的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两直线的交点即两方程组成的方程组的解，联立消元求解。 【详解】解：联立 ， 由 ②×3 + ① 得 ，解得 （加减消元）， 把 代入 ② 得 ， ∴ 与 的交点坐标为 。 故选：A。 【练2】（2026华中师大一附中期中 2）直线 和直线 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 【答案】B 【分析】求出两直线的斜率，由斜率必不相等判断位置关系。 【详解】解：直线 的斜率为 （斜截式）， 直线 的斜率为 ， ∵ ，∴ ， ∴ 两直线的斜率一定不相等，∴ 两直线相交（斜率不等的直线必相交）。 故选：B。 【练3】（2026大连二十四中学期中 17）已知直线 ，． (1) 若 ，求实数 的值； (2) 当 与 相交于点 时，证明：点 一定在某定直线 上，并求出直线 的方程． 【答案】(1) ；(2) 定直线为 。 【分析】(1) 由平行的系数条件 求 ，再检验排除重合；(2) 联立两直线方程，把交点坐标用 表示，再消去参数 即得定直线。 【详解】（1）解：∵ ，∴ （平行的系数条件 ）， ∴ ，得 或 ； 当 时，，，即 与 重合，不合题意，舍去； 当 时，，，即 ，两直线平行且不重合，符合题意， ∴ 。 （2）证明：由（1）知 与 相交时 ， 联立 ，消去 解得 （）， ∴ 交点 ； ∵ ，而 ，∴ ， 即 （消参）， ∴ 交点 恒在定直线 上（因 ，需除去两个极限位置对应的点），命题得证。 【练4】（2027三明北附高级中学月考 4）已知直线 ，，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．重合 C．斜交 D．垂直 【答案】D 【分析】化一般式求两直线的斜率，由斜率之积是否为 判定垂直。 【详解】解：由 得 ，由 得 （斜截式）， ∵ ， ∴ （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）， 故选：D。 【练5】（2027广州执信中学阶段训练 3）已知 ，则直线 与直线 相交的充要条件是（　　） A． B． C． D． 且 【答案】D 【分析】两直线相交的充要条件是 ，代入系数列不等式求解。 【详解】解： 与 相交 ⟺ （相交 ⟺ ）， 即 ，∴ ， ∵ ，∴ 且 ， 故选：D。 【练6】（2027重庆外国语学校月考 7）已知直线 与 平行，则 的值为（　　） A．1 B．-2 C． D．1 或 -2 【答案】A 【分析】由平行的系数条件列方程求出候选值，再逐一代回检验排除重合的情形。 【详解】解：∵ ，∴ （平行的系数条件 ）， 即 ，解得 或 ； 当 时，，，一次项系数相同而常数项不同，两直线平行且不重合，符合题意； 当 时，，，即 ，两直线重合，不合题意，舍去， 综上 ， 故选：A。 【练7】（2027重庆外国语学校月考 10）已知直线 ，， 不能围成三角形，则 的取值可能为（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】三条直线不能围成三角形，等价于其中存在两条直线平行（或重合），或三条直线交于一点；先处理 ，再在 时按"两两平行"与"三线共点"两类逐一求 。 【详解】解：当 时，，，三条直线互不平行也不重合，且 不过 与 的交点 ，此时能围成三角形，舍去； 当 时，，，（斜截式）， ①若 ，则 ，得 ，此时 与 不重合，符合； ②若 ，则 ，得 ，符合； ③若 ，则 ，即 ，方程无实根； 若三条直线交于一点，联立 ，解得 （）， 代入 得 ， 整理得 ，即 ， ∴ ，解得 或 ， 综上，， 对照选项， 的取值可能为 ，，。 故选：ABD。 【练8】（2027河北部分学校月考 9）已知直线 ，，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． 的充要条件为 或 B．若 ，则 C．若直线 不经过第四象限，则 D．若 ，则直线 关于直线 对称的直线方程为 【答案】BCD 【分析】A 由平行的系数条件求 并检验排除重合；B 由垂直的系数条件求 ；C 化斜截式后，"不经过第四象限"等价于斜率非负且纵截距非负；D 先令 得 ，由其与对称轴平行，设平行直线用等距求参数。 【详解】解：A．若 ，则 （平行的系数条件 ）， 即 ，解得 或 ， 当 时，，，两直线重合，不合题意，舍去， ∴ 的充要条件是 ，A 错误； B．若 ，则 （垂直的系数条件 ）， 即 ，解得 ，B 正确； C．由 得 （斜截式），其斜率为 ，纵截距为 ， 若 不经过第四象限，则 （斜率非负且纵截距非负）， 解得 ，C 正确； D．当 时，，即 ， ∵ 与对称轴 平行，∴ 设所求对称直线为 （）， 由对称性知 与直线 到对称轴 的距离相等（平行直线关于平行线对称的等距性）， ∴ （平行线间距离公式）， 即 ，解得 或 ， 时即原直线 ，舍去， ∴ 对称直线的方程为 ，即 ，D 正确。 故选：BCD。 【练9】（2027唐河一高阶段检测 3）设 ，则""是"直线 与直线 平行"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分别验证充分性与必要性：由 检验两直线是否平行；由平行的系数条件求 并排除重合。 【详解】解：充分性：当 时，，， 两直线的斜率均为 而截距不相等，∴ 两直线平行，充分性成立； 必要性：若 ，则 （平行的系数条件 ）， 即 ，解得 或 ， 当 时，，，两直线重合，不合题意，舍去， ∴ ，必要性成立， 故""是两直线平行的充要条件， 故选：C。 　距离公式及应用 方法要领　点到线距 ；平行线距先化同系数；最值问题用距离的几何意义转化。 【例】（2026苏州中学期中 6）已知实数 满足 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把 看作两点间距离的平方：点 在第一条直线上，点 在第二条直线上，且两直线平行，最小值即平行线间距离的平方。 【详解】解：设 ，，由两点间距离公式得 ， ∵ 满足 ， 满足 ，即 （两边同除以 2）， 两直线的一次项系数相同而常数项不同，∴ 两直线平行， ∴ 当 为两直线的公垂线段时 最小（垂线段最短），此时 为平行线间的距离， ∴ （平行线间距离公式）， ∴ 的最小值为 。 故选：D。 【练1】（2025连州中学期中 7）直线 与直线 的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把两直线方程化为同系数的一般式，再用平行线间的距离公式求解。 【详解】解：把 两边同乘 2，化为 （化为同系数）， 由平行线间的距离公式得 。 故选：B。 【练2】（2026雅礼教育集团期中 3）、 分别为直线 与直线 上任意一点，则 的最小值为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】两直线平行，动点分属两线，当 为公垂线段时距离最小，即平行线间的距离。 【详解】解：∵ 两直线的一次项系数相同、常数项不同，∴ 两直线平行， 当且仅当 为两直线的公垂线段时， 取得最小值（垂线段最短）， ∴ 等于两平行线间的距离， 由平行线间的距离公式得 。 故选：B。 【练3】（2025钱塘联盟期中 15）已知直线 ． (1) 若直线 过点 ，且 ，求直线 的方程； (2) 若直线 ，且直线 与直线 之间的距离为 ，求直线 的方程． 【答案】(1) ；(2) 或 。 【分析】(1) 由垂直关系求 的斜率，用点斜式写方程；(2) 用平行直线系设方程，再由平行线间距离公式求参数。 【详解】（1）解：由 得其斜率 ， ∵ ，∴ 直线 的斜率 （垂直 ⟺ ）， 又直线 过点 ，由点斜式得 ， 整理得 。 （2）解：∵ ，设 （平行直线系）， 由平行线间的距离公式得 ， ∴ ，解得 或 ， ∴ 直线 的方程为 或 。 【练4】（2027唐河一高阶段检测 12）两平行直线 与 之间的距离为 ______． 【答案】 【分析】先把两直线方程化为同系数的一般式，再用平行线间的距离公式求解。 【详解】解：把 两边同乘 3，化为 （化为同系数）， 由平行线间的距离公式得 。 故答案为：。 【练5】（2027广州执信中学阶段训练 15）设直线 与 ． (1) 若 ，求 与 之间的距离； (2) 若直线 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线 的方程． 【答案】(1) ；(2) 。 【分析】(1) 由平行的系数条件求 并检验不重合，写出两直线的方程后用平行线间距离公式；(2) 用 表示 在两坐标轴正半轴上的截距，写出面积函数后配方求最大值。 【详解】（1）解：∵ ，∴ （平行的系数条件 ）， 即 ，得 ，∴ 或 ， 当 时， 的方程为 ，不表示直线，不合题意，舍去； 当 时， 即 ， 即 ，两直线平行且不重合，符合题意， ∴ （平行线间距离公式）。 （2）解：由 ：令 得其在 轴上的截距为 （）， 令 得其在 轴上的截距为 （）， ∵ 两截距均在正半轴上，∴ ，即 ， ∴ （三角形面积公式，配方法）， 当 时， 取最大值 ， 此时 ，即 。 【练6】（2027三明北附高级中学月考 16）已知平行四边形 的三个顶点为 ，，． (1) 求点 的坐标； (2) 判断平行四边形 是否为正方形． 【答案】(1) ；(2) 平行四边形 是正方形。 【分析】(1) 由平行四边形对边平行且相等得 ，列方程组求 ；(2) 先由邻边垂直证矩形，再由邻边相等证正方形，垂直用斜率之积为 ，边长用两点间距离公式。 【详解】（1）解：设 ，则 ，（向量的坐标表示）， ∵ 四边形 为平行四边形，∴ （平行四边形对边平行且相等）， ∴ ，解得 ， ∴ 。 （2）解：平行四边形 是正方形，理由如下： ∵ ，（斜率公式）， ∴ ，∴ （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）， ∴ 平行四边形 为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 又 ，（两点间距离公式）， ∴ ， ∴ 平行四边形 为正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。 【练7】（2026大连二十四中学期中 14）若实数 ，，， 满足 ，，，则 的最大值为 ______． 【答案】 【分析】设 ，，则 在单位圆上且 ，；所求式为 到直线 的距离之和的 倍；借助弦中点 的位置，用点线距与三角形不等式求出最大值。 【详解】解：设 ，，原点为 ，由 ， 知 在单位圆 上， 由数量积定义，，∴ ， ∴ 为等边三角形，； 记直线 ，由点到直线的距离公式， ，，∴ 所求式 ； 设 的中点为 ，由垂径定理（半径、弦心距、半弦长勾股关系）得 ， 若 在 的两侧，则 不超过 在 法方向上的投影长，∴ ； 若 在 的同侧，则 （同侧绝对值可合并）， 而 （三角形不等式），且 ， ∴ ， 等号当且仅当 垂直于 且 、 位于 远离原点一侧时成立，该位置可以取到， ∴ 的最大值为 ， ∴ 所求式的最大值为 。 故答案为：。 　对称问题 方法要领　点关于点对称用中点公式；点关于线对称：中点在线上且连线与线垂直，两条件列方程组。 【例】（2026华中师大一附中期中 16）已知 的顶点 ， 边上的中线 所在直线方程为 ， 的角平分线所在直线方程为 ． (1) 求 点的坐标和直线 的方程； (2) 求 边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) ，直线 的方程为 ；(2) 。 【分析】(1) 由 在角平分线上、 中点在中线上列方程组求 ；角平分线是对称轴，作 关于角平分线的对称点 ，则 在 上，由两点式求 ；(2) 联立中线与 得 ，求出 ，由垂直得高线斜率，用点斜式写方程。 【详解】（1）解：设 ，则 的中点 （中点坐标公式）， ∵ 点 在中线 上，∴ ，即 ①， ∵ 点 在角平分线 上，∴ ②， 联立 ①② 解得 ，∴ ； 设 关于角平分线 的对称点为 （点关于直线的对称点：垂直＋中点在对称轴上）， 则 ，解得 ，∴ ， 由角平分线的对称性知 在直线 上， ∴ 直线 的方程为 （两点式），即 。 （2）解：联立 ，解得 ，∴ ， ∴ （斜率公式）， ∵ 边上的高与 垂直，∴ 高线的斜率为 （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）， 又高线过点 ，由点斜式得 ， 整理得 。 【练1】（2026苏州中学期中 4）点 关于直线 的对称点为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设对称点为 ，由"连线与对称轴垂直"和"中点在对称轴上"列方程组求解。 【详解】解：设所求对称点为 ， ∵ 对称轴 的斜率为 ，∴ 两点连线与对称轴垂直，其斜率为 ，即 （垂直的斜率条件）， 又中点 在对称轴上，∴ ， 联立解得 ， ∴ 点 关于直线 的对称点为 。 故选：B。 【练2】（2027唐河一高阶段检测 15）在坐标平面 中， 的三个顶点坐标分别为 ，，． (1) 求 边上中垂线所在直线的一般式方程； (2) 求角 的平分线所在直线的一般式方程； (3) 求点 关于直线 对称的点的坐标． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 。 【分析】(1) 求 的中点与斜率，由垂直得中垂线斜率，用点斜式写方程；(2) 先判定 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则角 的平分线即 边上的中线，由两点求方程；(3) 由"连线与对称轴垂直、中点在对称轴上"列方程组求对称点。 【详解】（1）解： 的中点为 ，即 （中点坐标公式）， （斜率公式）， ∵ 中垂线与 垂直，∴ 中垂线的斜率 （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）， 由点斜式得 ， 整理得 边上中垂线的一般式方程为 。 （2）解：，∴ ，∴ ， 又 ，（两点间距离公式）， ∴ 是以 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ 角 的平分线即 边上的中线（等腰三角形顶角平分线与底边中线重合）， 的中点为 ， ∴ 角平分线的斜率 （斜率公式）， 由点斜式得 ， 整理得角 平分线所在直线的一般式方程为 。 （3）解：设所求对称点为 ， 由对称性知 的中点在直线 上，且 （点关于直线的对称点：垂直＋中点在对称轴上）， 而直线 的斜率为 ，∴ ， 解得 ，， ∴ 点 关于直线 对称的点的坐标为 。 【练3】（2025连州中学期中 14）已知点 在直线 上，点 ，，则 的最小值为 ______． 【答案】 【分析】作 关于直线的对称点 ，由对称性把 转化为 ，再利用三角形两边之差不小于第三边的相反数求最值，三点共线时取等。 【详解】解：设 关于直线 的对称点为 ， 则 （中点在对称轴上＋连线垂直），解得 ，∴ ； ∵ 点 在对称轴上，∴ （轴上的点到一对对称点等距）， ∴ ， 在 中，（三角形两边之差小于第三边）， 当 三点共线且 在 与 之间时取等号， 而 （两点间距离公式）， ∴ 的最小值为 。 故答案为：。 【练4】（2027重庆外国语学校月考 18）已知 是平行四边形 的对角线的交点，且直线 的方程为 ． (1) 若四边形 为正方形，求直线 的方程； (2) 已知直线 的方程为 ，求点 的坐标与四边形 的面积． 【答案】(1) 或 ；(2) ，四边形 的面积为 8。 【分析】(1) 由正方形中 设出 的方程，再由 为对称中心知 到 与到 的距离相等，列方程求参数；(2) 联立 与 得点 ，由 为 中点（中心对称）求 ；设 的坐标，由 为 中点及两点分别在 、 上求出 ，最后以 为底、 到 的距离为高求面积。 【详解】（1）解：由 得 （斜截式）， ∵ 四边形 为正方形，∴ ，∴ （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）， 设直线 的方程为 ， ∵ 是正方形对角线的交点（即对称中心），∴ 点 到直线 与到直线 的距离相等（正方形中心到各边距离相等）， ∴ （点到直线的距离公式）， 即 ，解得 或 ，经检验均符合题意， ∴ 直线 的方程为 或 。 （2）解：联立 ，解得 ，，∴ ， ∵ 是平行四边形对角线的交点，∴ 是 的中点（平行四边形中心对称性）， 设 ，则 ，解得 ，，∴ ； 设 ，，∵ 是 的中点， ∴ ，（中点坐标公式），即 ，， ∵ 点 在直线 上，∴ ，整理得 ， ∵ 点 在直线 上，∴ ， 联立 ，解得 ，，∴ ，， 点 到直线 的距离 （点到直线的距离公式）， （两点间距离公式）， ∴ （平行四边形面积等于底乘高）。 【练5】（2026哈三中期中 7）在平面直角坐标系 中， 为第一象限内的动点且在直线 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 是点 到 轴的距离，根式是 到定点 的距离，作 关于直线 的对称点 ，化折线段和为直线段即得最小值。 【详解】解： 表示点 到 轴的距离， 表示点 到定点 的距离（两点间距离公式）。 设 关于直线 的对称点为 ，则 （轴对称的性质）。 由垂直与中点两个条件列方程组 ， 解得 ，即 。 过 作 轴于点 ，则 。 由三角形不等式，，当 为线段 与直线 的交点时取等号， 而 等于 到 轴的距离 。 ∴ 所求最小值为 。故选：D。 【练6】（2026宁波六校联盟期中 13）设点 ，，直线 关于直线 的对称直线为 ，已知 与圆 有公共点，则 的取值范围是 ______. 【答案】 【分析】先求出点 关于直线 的对称点 ，则对称直线 过 与 ，写出 的方程，再由直线与圆有公共点等价于圆心到直线的距离不大于半径，列不等式解 。 【详解】解：点 关于直线 的对称点为 （关于水平直线对称：横坐标不变，纵坐标关于 对称）。 ∵ 对称直线 过 与 ， ∴ 由两点式得 的方程为 ，即 。 由圆 知圆心 ，半径 。 ∵ 与圆 有公共点，∴ 圆心到直线 的距离不大于半径（直线与圆相交或相切的条件）， 即 （点到直线的距离公式）。 两边平方得 ，即 ，解得 。 故答案为：。 　直线恒过定点与性质判断 方法要领　分离参数：把方程整理为 ，令两个括号同时为零解出定点；绕定点转动的直线系中，定点与已知点连线垂直于直线时距离最大。 【例】（2026华中师大一附中期中 13）已知 ，，则同时经过三个点 ，， 的直线方程为 ______． 【答案】 或 【分析】由同构关系知 、 都在直线 上，再把 代入求出 、，回代得直线方程（分 两类）。 【详解】解：把 与 分别对照 的根，可知两点都在直线 上（同构构造）， 又三点共线，∴ 点 也在该直线上，代入得 ，∴ ， 由同角平方关系 ，得 或 ； 当 ， 时，直线方程为 ，即 ； 当 ， 时，直线方程为 ，即 ； 两种情形下 均有两个不等实根，三点不重合，满足题意。 故答案为： 或 。 【练1】（2025连州中学期中 9）对于直线 ，下列选项正确的是（　　）（多选） A．直线 恒过点 B．当 时，直线 在 轴上的截距为 3 C．若直线 不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线 的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】A 用分离参数法求定点；B 令 后令 求截距；C 用特殊值反例否定；D 由"过定点的直线系中，定点到原点连线垂直于直线时距离最大"求值。 【详解】解：A．∵ 可整理为 ， 由 解得 （分离参数法求定点）， ∴ 直线 恒过点 ，A 正确； B．当 时，直线 ，令 得 ，∴ 在 轴上的截距为 而非 3，B 错误； C．取 时，直线 的方程为 ，它不经过第二象限，但 （反例否定），C 错误； D．∵ 直线 恒过定点 ，当 时，原点到直线 的距离最大（直线系绕定点转动，垂线段最长即距离最大）， 最大值为 （两点间距离公式），D 正确。 故选：AD。 【练2】（2026武汉部分重点中学期中 4）已知直线 过定点 ，点 到直线 的距离的最大值为 5，则实数 （　　） A．0 或 6 B．-1 或 7 C．6 D．7 【答案】A 【分析】动直线是绕定点旋转的直线系，当定点与点 的连线垂直于 时距离最大，最大值即两定点间距离，据此列方程求 。 【详解】解：设定点为 ，直线 是过 的直线系（绕 转动）， 当 时，点 到直线 的距离最大（垂线段原理），最大值为 ， ∴ （两点间距离公式）， 两边平方得 ，∴ ， 解得 或 。 故选：A。 【练3】（2027河北部分学校月考 12）无论 为何实数，方程 所表示的直线恒过的定点坐标为 ______． 【答案】 【分析】把方程按 整理为 ，由对任意 恒成立得两个独立等式，联立解出定点（分离参数法求定点）。 【详解】解：将方程整理为 （分离参数法）， ∵ 对任意实数 方程恒成立，∴ ， 由 代入 得 ，解得 ，∴ ， ∴ 直线恒过的定点坐标为 。 故答案为：。 【练4】（2027内蒙古大学附中月考 5）对任意实数 ，直线 一定经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程按 整理，令含参项与剩余项同时为零，解出定点。 【详解】解：将方程整理为 （分离参数法）， ∵ 对任意实数 方程恒成立，∴ ， 解得 ，， ∴ 无论 取何值，直线恒过定点 ， 故选：C。 【练5】（2027新泰一中诊断测试 10）已知直线 和直线 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．直线 始终过定点 B．若 ，则 C．若 ，则 D．当 时，直线 始终不经过第三象限 【答案】AB 【分析】A 用分离参数法求 的定点；B 由平行的系数条件求 并检验排除重合；C 由垂直的系数条件求 ，检验是否只有一解；D 取特殊值 反例否定。 【详解】解：A．∵ 可整理为 ， 由 解得 ，（分离参数法求定点）， ∴ 始终过定点 ，A 正确； B．若 ，则 （平行的系数条件 ）， 即 ，解得 或 ， 当 时，，，两直线重合，不合题意，舍去， ∴ ，B 正确； C．若 ，则 （垂直的系数条件 ）， 即 ，解得 或 ，C 错误； D．取 ，则 ，即 ，它经过第三象限（反例否定），D 错误。 故选：AB。 【练6】（2027重庆外国语学校月考 8）已知直线 ，当点 到直线 的距离最大时，（　　） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】先用分离参数法求出直线恒过的定点 ，当 时点 到 的距离最大，由垂直的斜率条件求 。 【详解】解：将 的方程整理为 （分离参数法）， 由 解得 ，， ∴ 直线 恒过定点 ， 当 时，点 到直线 的距离最大（直线系绕定点 转动，与连线垂直时距离最大），最大值为 ， ∵ （斜率公式），（）（斜截式）， 由 得 （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）， 即 ，解得 ， 经检验 ，符合题意， 故选：A。 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026长郡中学期中 1）直线 的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一般式方程求斜率，再由 结合倾斜角范围求倾斜角。 【详解】解：直线 的斜率 ， 设倾斜角为 ，则 ， ∵ ，∴ （斜率与倾斜角的关系）， ∴ 直线的倾斜角为 。 故选：C。 2．（6分）（2025抚顺四方高中期中 1）已知直线 的倾斜角为 ，且经过点 ，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由倾斜角求斜率，再用点斜式（或斜截式）写方程。 【详解】解：∵ 直线 的倾斜角为 ，∴ 斜率 ， 又直线经过点 ，即纵截距为 1，由斜截式得 。 故选：C。 3．（6分）（2026苏州中学期中 2）""是"直线 与直线 平行"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分别验证充分性与必要性：由 检验两直线是否平行；由平行的系数条件求 并排除重合。 【详解】解：充分性：当 时，两直线分别为 与 ， 一次项系数成比例而常数项不成比例，∴ 两直线平行，充分性成立； 必要性：若两直线平行，则 （平行的系数条件 ）， 即 ，解得 或 ， 当 时，两直线为 与 ，两直线重合，不合题意，舍去， ∴ ，必要性成立， 故""是两直线平行的充要条件。 故选：C。 4．（6分）（2025抚顺四方高中期中 6）圆 的圆心到直线 的距离为（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】配方求圆心坐标，再用点到直线的距离公式求解。 【详解】解：由配方得 ，即 ， ∴ 圆心坐标为 （配方法）， 由点到直线的距离公式得 。 故选：D。 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026华中师大一附中期中 9）已知三条直线 ，，，则下列结论正确的是（　　）（多选） A． B．三条直线的斜率之积为 1 C．三条直线的倾斜角之和为 D．三条直线在 轴上的截距之和为 【答案】BC 【分析】先把三条直线化为斜截式，求出斜率、倾斜角与纵截距，再逐项检验。 【详解】解：设三条直线的斜率分别为 ，倾斜角分别为 ， 由斜截式：，得 ；，得 ；，得 ； A．∵ ，∴ 与 不垂直（垂直 ⟺ 斜率之积为 ），A 错误； B．∵ ，B 正确； C．∵ ，且 （诱导公式）， ∴ ，即 ， ∴ ，即倾斜角之和为 ，C 正确； D．三条直线在 轴上的截距之和为 ，D 错误。 故选：BC。 6．（6分）（2025广州天河外国语学校期中 9）已知直线 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．直线 过定点 B．当 时，直线 关于 轴的对称直线为 C．直线 一定经过第四象限 D．点 到直线 的距离的最大值为 【答案】BD 【分析】A 用分离参数法求定点；B 令 求直线并作关于 轴的对称；C 用特殊值反例否定；D 由"动直线绕定点转动，与定点、已知点连线垂直时距离最大"求值。 【详解】解：A．∵ （分离参数法），∴ 直线恒过定点 ，A 错误； B．当 时，直线为 ，其关于 轴的对称直线为 ，即 （关于 轴对称： 变 ），B 正确； C．当 时，直线为 ，不经过第四象限，C 错误（反例否定）； D．直线 恒过定点 ，当 时，点 到直线 的距离最大（垂线段原理），最大值为 ， 而 （两点间距离公式），D 正确。 故选：BD。 7．（6分）（2027内蒙古大学附中月考 10）下列结论正确的是（　　）（多选） A．若 ，， 三点共线，则 B．若点 ，，过点 的直线 与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围为 C．过点 且在 轴， 轴上的截距相等的直线方程为 D．若两直线 ， 的倾斜角分别为 ，，斜率分别为 ，，且 ，则 【答案】AB 【分析】A 由三点共线得斜率相等求 ；B 求两端点与 连线的斜率，由直线绕 旋转与线段相交需跨过竖直方向写范围；C 截距相等必须先讨论过原点的情形；D 用特殊值反例否定。 【详解】解：A．∵ 三点共线，∴ （三点共线 ⟺ 斜率相等）， 而 ，（斜率公式）， 由 得 ，A 正确； B．∵ ，（斜率公式）， 线段 上存在横坐标为 的点，即 可以转到竖直方向仍与线段 有公共点， ∴ 由斜率随倾斜角的变化规律得 或 ，即 ，B 正确； C．过点 且两截距相等的直线有两类： 当截距不为 时，设 （截距式），代入得 ，解得 ，直线为 ； 当截距都为 时，直线过原点，由点斜式得方程为 ，也满足截距相等， ∴ C 只给出 ，漏掉 ，C 错误（截距相等必须先讨论过原点）； D．取 ，，满足 ， 但 ，，此时 （反例否定），D 错误。 故选：AB。 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2026大连二十四中学期中 13）已知在矩形 中，，，其对角线的交点 在第一象限内且到 轴的距离为 1，动点 沿矩形的一边 运动，则 的取值范围是 ______． 【答案】 【分析】设 ，由 为 中点用 表示 ，再由 求 得 ，进而得 ； 即直线 的斜率，数形结合得取值范围。 【详解】解：设 ，∵ 是对角线 的中点，∴ ，得 （中点坐标公式）； ∵ 四边形 为矩形，∴ ， 而 ，，∴ （向量垂直 ⟺ 数量积为 ）， 解得 ，∴ ； 又 （矩形对边平行且相等），设 ，则 ， ∴ ，即 ； ∵ 动点 在边 上运动，∴ 表示直线 的斜率 （斜率的几何意义）， 由图可知，当射线 从 逆时针旋转或从 顺时针旋转到 轴方向时与线段 有交点， ∴ 或 ， 而 ，（斜率公式）， ∴ 的取值范围是 。 故答案为：。 9．（6分）（2025广州中学期中 14）已知圆 ，圆 ，， 分别为圆 和圆 上的动点， 为直线 上的动点，则 的最小值为 ______． 【答案】 【分析】把圆 关于直线 作对称圆 ，则 转化为对称点距离，问题化为 到两圆上动点距离之和的最小值，即两圆心距减去两半径。 【详解】解：圆 即 ，圆心 ，半径 ； 圆 即 ，圆心 ，半径 （配方化标准方程）； 设点 关于直线 的对称点为 ， 则 （连线垂直＋中点在对称轴上），解得 ， ∴ 对称圆圆心 ，半径仍为 （圆关于直线对称：圆心对称、半径不变）； 设 为 关于 的对称点，∵ 在 上，∴ （轴上的点到对称点等距）， ∴ （三角形不等式，当 为 与 的交点时取等）， 而 （两点间距离公式）， ∴ 的最小值为 。 故答案为：。 10．（6分）（2027唐河一高阶段检测 14）已知 为坐标原点，，点 是直线 上一点，若以 为圆心、2 为半径的圆 上存在点 ，使得 ，则线段 长度的取值范围是 ______． 【答案】 【分析】先由 用代入法求出动点 的轨迹（阿波罗尼斯圆），"圆 上存在点 "等价于圆 与该轨迹圆有公共点，由圆心距介于半径差与半径和之间求出参数 的范围，再配方求 的范围。 【详解】解：∵ 点 在直线 上，设 ， 则圆 的方程为 ， 设 ，由 得 （两点间距离公式）， 两边平方整理得 ，即 （代入法求轨迹方程）， ∴ 点 在以 为圆心、 为半径的圆 上， ∵ 圆 上存在点 满足条件，而这样的 都在圆 上，∴ 圆 与圆 有公共点， ∴ （两圆有公共点 ⟺ 圆心距介于半径差与半径和之间）， 即 ，其中 （两点间距离公式）， 由 平方整理得 ，解得 ， 而 平方整理得 ，其判别式小于 ，恒成立， 又 （配方法）， ∵ 且 ， ∴ 当 时 取最小值 ， 当 时 取最大值 ， ∴ 线段 长度的取值范围是 。 故答案为：。 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2026长郡中学期中 15）已知 的三个顶点分别为 ，，． (1) 求 边所在直线的方程； (2) 求 边上中线 所在直线的方程； (3) 求 边的垂直平分线 的方程． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 。 【分析】(1) 由两点式（或点斜式）求 的方程；(2) 先由中点公式求 ，再由两点式求 ；(3) 由垂直关系求 的斜率，结合中点用点斜式求解。 【详解】（1）解：∵ 直线 经过 ，，斜率 （斜率公式）， 由点斜式得 ，整理得 。 （2）解：∵ 为 的中点，由中点坐标公式得 ，即 ， 中线 经过 与 ，由截距式得 ， 整理得 。 （3）解：∵ ，且 ，∴ 的斜率 （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）， 又 过 的中点 ，由点斜式得 ，即 。 12．（15分）（2026武汉部分重点中学期中 15）在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ，，． (1) 求 边上的高所在的直线方程； (2) 若直线 过点 ，且对直线 上异于点 的任意一点 都满足 和 的面积相等，求直线 的方程． 【答案】(1) ；(2) 或 。 【分析】(1) 求出 ，由垂直得高线斜率，用点斜式写方程；(2) 两个三角形同底 ，面积相等 ⟺ 点 到直线 的距离相等，故 与 平行或过 中点，分类讨论。 【详解】（1）解：设 边上的高为 ， ∵ （斜率公式），且 ，∴ （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）， 又 过点 ，由点斜式得 ， 整理得一般式方程 。 （2）解：∵ 对直线 上异于 的任意一点 都有 ， 两三角形以 为公共底边，∴ 点 与点 到直线 的距离相等（等底等高）， ∴ 直线 与 平行，或直线 经过 的中点； ①当 时，，且 过点 ， 由点斜式得 ，整理得 ； ②当 过 的中点时， 的中点为 ，即 （中点坐标公式）， ∴ ，由点斜式得 ，整理得 ； 综上，直线 的方程为 或 。 期中专项复习 · 高二教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高二上期中专项复习 · 专题五 直线的方程 全国各地市期中真题精选 · 7 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 倾斜角与斜率 倾斜角与斜率 2027鹿邑县高中月考 5 题 斜率范围与线段交点 倾斜角与斜率 · 直线位置关系与交点 · 直线与线段公共点问题 2027河北部分学校月考 6 题 直线方程的形式与求法 直线方程的形式 2025广州中学期中 9 题 直线的位置关系与交点 直线位置关系与交点 2026大连二十四中学期中 10 题 距离公式及应用 距离公式（两点/点到线/平行线） · 直线垂直与距离公式 2026苏州中学期中 8 题 对称问题 对称问题 2026华中师大一附中期中 7 题 直线恒过定点与性质判断 直线方程的形式 · 含参直线过定点与距离最值 · 直线位置关系与交点 · 点到直线距离最值（恒过定点） 2026华中师大一附中期中 7 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 倾斜角： 轴正向与直线向上方向所成的角；规定与 轴平行或重合的直线倾斜角为 ，范围 ，每条直线有唯一的倾斜角，倾斜角与直线一一对应。 2. 斜率：；当倾斜角为 （垂直于 轴）时斜率不存在，此时直线不能用点斜式、斜截式表示。 3. 方向向量与法向量：一般式 的一个方向向量为 ，一个法向量为 ；斜率为 的直线的一个方向向量为 ，方向向量成比例的两直线平行或重合。 4. 截距：横截距、纵截距是直线与坐标轴交点的坐标，可正、可负、可为 ；截距不是距离，"截距相等"必须先讨论截距全为 （过原点）的情形。 5. 五种方程形式：点斜式 、斜截式 、两点式、截距式 （）、一般式 （ 不同时为 ），作答时通常化为一般式。 6. 两直线的位置关系：相交、平行、重合；可比较斜率与截距判定，也可用一般式的系数判别，求交点则联立方程组。 7. 三种距离：两点间距离、点到直线距离、两条平行线间的距离，是距离最值与对称问题的运算核心。 8. 对称关系：点关于点对称用中点公式；点关于直线对称满足"连线垂直对称轴＋中点在对称轴上"；直线关于点或直线对称转化为点的对称。 9. 直线系：平行直线系 、垂直直线系 、过定点的直线系（分离参数），是处理含参直线问题的通用模型。 ▍二、法则与公式 1. 两点斜率公式：。 2. 平行判定： 且 ；斜率存在时为 且截距不相等。 3. 垂直判定：；斜率存在且不为零时为 。 4. 两点间距离公式：。 5. 点到直线距离公式：，使用前必须先把直线方程化为一般式。 6. 平行线间距离公式：先把两方程化为同系数，。 7. 中点坐标公式：，对称问题与中点弦问题的基本工具。 8. 点关于直线的对称点： 关于 的对称点 满足 。 9. 过交点的直线系：（不含 本身，检验补上）。 ▍三、方法技巧 1. 倾斜角与斜率三步：求斜率（斜率公式或将方程化成斜截式）→ 由 定角 → 用范围 校正；旋转问题按"顺减逆加、出界加 "换算。 2. 求直线方程四步：选形式（有点有斜率用点斜式、有截距用斜截式或截距式）→ 注意形式局限（斜率不存在、截距为零要另立情形）→ 待定系数解参数 → 化为一般式并代点检验。 3. 位置关系判定三步：化一般式 → 用 判平行、 判垂直 → 平行时必检验不重合；求交点直接联立消元。 4. 距离最值三步：识别几何模型（定直线上的动点、两平行线上的动点、绕定点转动的直线系）→ 几何转化（垂线段最短、公垂线段最短、与连线垂直时距离最大）→ 代对应距离公式计算。 5. 对称问题四步：点关于点用中点公式；点关于直线列"垂直＋中点在对称轴上"方程组；线关于点取两点分别对称；线关于线取两点对称后用两点式；和差最值先作对称点，再三点共线取等。 6. 含参直线过定点两步：分离参数写成 → 解 得定点；过定点 的直线系中，点到直线距离的最大值等于该点到 的距离。 7. 斜率范围（直线与线段有交点）三步：求两端点连线斜率 、 → 判断区间是否跨过竖直方向 → 写成 或 。 8. 消参定直线三步：把交点（动点）坐标用参数表示 → 反解参数或整体代入 → 消去参数得 的二元一次方程，并注明参数取值排除的点。 ▍四、易错警示 1. 斜率不一定存在：说"求直线的斜率"必须先考虑垂直于 轴的情形。 反例：过 、 的直线 斜率不存在，不能套用点斜式。 2. 截距不是距离：截距是坐标，可正可负可为零。 反例：直线 的横截距为 ，当作 3 使用即错。 3. 平行判定不能漏"不重合"：只验证 会把重合误判为平行。 反例： 时 与 重合，不是平行。 4. 截距式不能表示过原点及垂直于坐标轴的直线：解截距相等（或成倍数）问题必须先讨论过原点。 反例：过 且纵截距为横截距两倍的直线有 与 两解，只用截距式会丢解。 5. 点到直线距离公式必须先化一般式：公式要求 项系数齐全。 反例：对 直接取 会漏掉 项，距离算错。 6. 垂直判定慎用 ：该式只在两直线斜率都存在且不为零时使用。 反例： 与 垂直，但一个斜率不存在、一个斜率为 。 7. 倾斜角与斜率不是整体单调：不能由倾斜角大直接得斜率大。 反例：倾斜角 的斜率为 ，倾斜角 的斜率为 。 8. 含参直线讨论要完整：求定点后须对参数的特殊值（水平、竖直直线）逐一检验。 反例： 中 时为 ，判断"不经过第二象限"的条件时漏掉它会出错。 　倾斜角与斜率 方法要领　求斜率用 ，方向向量可取 ；倾斜角 ，横坐标相等时斜率不存在但倾斜角仍为 ，三点共线即两点连线斜率相等。 【例】（2027鹿邑县高中月考 9）已知直线 经过 ， 两点，另有两点 ，，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．当 的倾斜角为 时， B．当 的斜率不存在时， C．存在实数 ，使得 D．当 时， ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025广州天河外国语学校期中 1）经过 ， 两点的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026巴蜀中学期中 1）已知直线 绕原点顺时针旋转 得到直线 ，则 的倾斜角是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025钱塘联盟期中 12）已知点 ，，则直线 的倾斜角为 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025广州中学期中 10）下列说法正确的是（　　）（多选） A．若直线的一个方向向量为 ，则该直线的斜率为 B．""是"直线 与直线 互相垂直"的充要条件 C．当点 到直线 的距离最大时， 的值为 D．已知直线 过定点 且与以 ， 为端点的线段有交点，则直线 的斜率 的取值范围是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　斜率范围与线段交点 方法要领　过定点 的直线与线段 有交点：先算 ，数形结合看直线绕 旋转是否跨过竖直方向——跨过则 ，不跨过则 为闭区间；含参直线先分离参数求出定点再定临界。 【例】（2027河北部分学校月考 5）已知点 ，，过点 的直线 与线段 有交点，则直线 的斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2027鹿邑县高中月考 13）过点 作直线 ，若 与连接 ， 两点的线段总有公共点，直线 的倾斜角为 、斜率为 ，则 的取值范围是 ______， 的取值范围是 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026成都石室中学期中 7）已知 ，，直线 上存在点 ，满足 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027新泰一中诊断测试 6）设点 ，，直线 过点 且与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是（　　） A． 或 B． 或 C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027三明北附高级中学月考 14）已知 ，，若直线 与线段 有公共点，则实数 的取值范围为 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2027重庆外国语学校月考 14）已知 ，，若过点 的直线 与线段 没有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围是 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　直线方程的形式与求法 方法要领　点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式各有适用条件；选形式先看已知量，注意斜率不存在与截距为零的特殊情形。 【例】（2025广州中学期中 5）瑞士数学家欧拉提出：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）在同一条直线上，人们把这条直线称为欧拉线。若 的顶点为 ，，，则其欧拉线方程为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026长郡中学期中 4）过点 且直线的方向向量为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026长郡中学期中 4）与直线 垂直且过点 ， 则所求直线的方程为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026武汉部分重点中学期中 12）与直线 垂直，且在 轴上的截距为 2 的直线的方程为 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027新泰一中诊断测试 5）过点 且在两坐标轴上的截距之和为零的直线方程为（　　） A． B． C． 或 D． 或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2027广州执信中学阶段训练 9）已知 的三个顶点 ，，，则下列描述正确的是（　　）（多选） A．直线 的倾斜角不存在 B．直线 的斜率为 C．边 上的高所在直线的方程为 D．边 上的中线所在直线的方程为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练6】（2026苏州中学期中 10）设过点 的直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点， 为坐标原点，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． 的最小值为 8 B． 的最小值为 8 C． 的最小值为 4 D． 的最大值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练7】（2027内蒙古大学附中月考 14）将直线 绕其与 轴的交点 逆时针旋转 得直线 ，则 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练8】（2027新泰一中诊断测试 17）已知直线 （）． (1) 证明：直线 过定点； (2) 若直线 不经过第四象限，求 的取值范围； (3) 若直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ， 为坐标原点， 的面积为 ，求 的最小值并求此时直线 的方程． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　直线的位置关系与交点 方法要领　平行看斜率相等且截距不等，垂直看 （含斜率不存在情形）；含参直线勿漏判别参数使方程无效的情形。 【例】（2026大连二十四中学期中 5）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则 的最大值是（　　） A．5 B．10 C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025广州中学期中 1）直线 与 的交点坐标是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026华中师大一附中期中 2）直线 和直线 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026大连二十四中学期中 17）已知直线 ，． (1) 若 ，求实数 的值； (2) 当 与 相交于点 时，证明：点 一定在某定直线 上，并求出直线 的方程． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027三明北附高级中学月考 4）已知直线 ，，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．重合 C．斜交 D．垂直 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2027广州执信中学阶段训练 3）已知 ，则直线 与直线 相交的充要条件是（　　） A． B． C． D． 且 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练6】（2027重庆外国语学校月考 7）已知直线 与 平行，则 的值为（　　） A．1 B．-2 C． D．1 或 -2 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练7】（2027重庆外国语学校月考 10）已知直线 ，， 不能围成三角形，则 的取值可能为（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练8】（2027河北部分学校月考 9）已知直线 ，，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． 的充要条件为 或 B．若 ，则 C．若直线 不经过第四象限，则 D．若 ，则直线 关于直线 对称的直线方程为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练9】（2027唐河一高阶段检测 3）设 ，则""是"直线 与直线 平行"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　距离公式及应用 方法要领　点到线距 ；平行线距先化同系数；最值问题用距离的几何意义转化。 【例】（2026苏州中学期中 6）已知实数 满足 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025连州中学期中 7）直线 与直线 的距离是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026雅礼教育集团期中 3）、 分别为直线 与直线 上任意一点，则 的最小值为（　　） A． B． C．3 D．6 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025钱塘联盟期中 15）已知直线 ． (1) 若直线 过点 ，且 ，求直线 的方程； (2) 若直线 ，且直线 与直线 之间的距离为 ，求直线 的方程． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027唐河一高阶段检测 12）两平行直线 与 之间的距离为 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2027广州执信中学阶段训练 15）设直线 与 ． (1) 若 ，求 与 之间的距离； (2) 若直线 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线 的方程． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练6】（2027三明北附高级中学月考 16）已知平行四边形 的三个顶点为 ，，． (1) 求点 的坐标； (2) 判断平行四边形 是否为正方形． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练7】（2026大连二十四中学期中 14）若实数 ，，， 满足 ，，，则 的最大值为 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　对称问题 方法要领　点关于点对称用中点公式；点关于线对称：中点在线上且连线与线垂直，两条件列方程组。 【例】（2026华中师大一附中期中 16）已知 的顶点 ， 边上的中线 所在直线方程为 ， 的角平分线所在直线方程为 ． (1) 求 点的坐标和直线 的方程； (2) 求 边上的高所在直线的方程． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026苏州中学期中 4）点 关于直线 的对称点为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027唐河一高阶段检测 15）在坐标平面 中， 的三个顶点坐标分别为 ，，． (1) 求 边上中垂线所在直线的一般式方程； (2) 求角 的平分线所在直线的一般式方程； (3) 求点 关于直线 对称的点的坐标． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025连州中学期中 14）已知点 在直线 上，点 ，，则 的最小值为 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027重庆外国语学校月考 18）已知 是平行四边形 的对角线的交点，且直线 的方程为 ． (1) 若四边形 为正方形，求直线 的方程； (2) 已知直线 的方程为 ，求点 的坐标与四边形 的面积． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2026哈三中期中 7）在平面直角坐标系 中， 为第一象限内的动点且在直线 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练6】（2026宁波六校联盟期中 13）设点 ，，直线 关于直线 的对称直线为 ，已知 与圆 有公共点，则 的取值范围是 ______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　直线恒过定点与性质判断 方法要领　分离参数：把方程整理为 ，令两个括号同时为零解出定点；绕定点转动的直线系中，定点与已知点连线垂直于直线时距离最大。 【例】（2026华中师大一附中期中 13）已知 ，，则同时经过三个点 ，， 的直线方程为 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025连州中学期中 9）对于直线 ，下列选项正确的是（　　）（多选） A．直线 恒过点 B．当 时，直线 在 轴上的截距为 3 C．若直线 不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线 的距离的最大值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026武汉部分重点中学期中 4）已知直线 过定点 ，点 到直线 的距离的最大值为 5，则实数 （　　） A．0 或 6 B．-1 或 7 C．6 D．7 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027河北部分学校月考 12）无论 为何实数，方程 所表示的直线恒过的定点坐标为 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027内蒙古大学附中月考 5）对任意实数 ，直线 一定经过点（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2027新泰一中诊断测试 10）已知直线 和直线 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．直线 始终过定点 B．若 ，则 C．若 ，则 D．当 时，直线 始终不经过第三象限 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练6】（2027重庆外国语学校月考 8）已知直线 ，当点 到直线 的距离最大时，（　　） A． B．0 C． D．1 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026长郡中学期中 1）直线 的倾斜角为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2025抚顺四方高中期中 1）已知直线 的倾斜角为 ，且经过点 ，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2026苏州中学期中 2）""是"直线 与直线 平行"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2025抚顺四方高中期中 6）圆 的圆心到直线 的距离为（　　） A． B．2 C．3 D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026华中师大一附中期中 9）已知三条直线 ，，，则下列结论正确的是（　　）（多选） A． B．三条直线的斜率之积为 1 C．三条直线的倾斜角之和为 D．三条直线在 轴上的截距之和为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2025广州天河外国语学校期中 9）已知直线 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．直线 过定点 B．当 时，直线 关于 轴的对称直线为 C．直线 一定经过第四象限 D．点 到直线 的距离的最大值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（6分）（2027内蒙古大学附中月考 10）下列结论正确的是（　　）（多选） A．若 ，， 三点共线，则 B．若点 ，，过点 的直线 与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围为 C．过点 且在 轴， 轴上的截距相等的直线方程为 D．若两直线 ， 的倾斜角分别为 ，，斜率分别为 ，，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2026大连二十四中学期中 13）已知在矩形 中，，，其对角线的交点 在第一象限内且到 轴的距离为 1，动点 沿矩形的一边 运动，则 的取值范围是 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2025广州中学期中 14）已知圆 ，圆 ，， 分别为圆 和圆 上的动点， 为直线 上的动点，则 的最小值为 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 10．（6分）（2027唐河一高阶段检测 14）已知 为坐标原点，，点 是直线 上一点，若以 为圆心、2 为半径的圆 上存在点 ，使得 ，则线段 长度的取值范围是 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2026长郡中学期中 15）已知 的三个顶点分别为 ，，． (1) 求 边所在直线的方程； (2) 求 边上中线 所在直线的方程； (3) 求 边的垂直平分线 的方程． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．（15分）（2026武汉部分重点中学期中 15）在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ，，． (1) 求 边上的高所在的直线方程； (2) 若直线 过点 ，且对直线 上异于点 的任意一点 都满足 和 的面积相等，求直线 的方程． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高二学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $