专题01 空间向量与立体几何全章5考点14大题型（期中复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题01 空间向量与立体几何 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 空间向量的有关概念 考点二 空间向量的运算 考点三 空间向量基本定理 考点四 空间向量及其运算的坐标表示 考点五 空间向量的应用 05 重难题型突破 题型一 空间向量的有关概念理解 题型二 空间向量的线性运算 题型三 空间向量的线性表示 题型四 空间向量基本定理及应用 题型五 空间向量共线定理及应用 题型六 空间向量的共面定理及应用 题型七 空间向量的数量积问题 题型八 空间中的点坐标对称问题 题型九 利用空间向量证明平行垂直 题型十 利用空间向量求异面直线所成角 题型十一 利用空间向量求直线与平面所成角 题型十二 利用空间向量求平面与平面所成角 题型十三 利用空间向量求空间距离 题型十四 利用空间向量研究动点问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 高二上期中核心必考模块，题型固定、考点集中，覆盖选择、填空、解答全题型，分值占比高。小题以基础概念和简单运算为主，高频考查空间向量坐标运算、共线共面向量定理、空间基底判定、向量模长与夹角计算、立体几何向量命题辨析，多选题为常规拉分小题。解答题通常会考查1道立体几何综合大题，为期中核心压轴题型，第一问常规考查线线、线面、面面平行或垂直的证明，第二问必考空间角计算，以异面直线所成角、线面角、二面角为核心，较少考查空间距离，命题完全依托向量工具解题。 二、试题难易度分布 整体难度梯度清晰，基础题占比70%以上，适配期中基础考查的核心导向。 1、基础题（易）：集中在选择填空前中段，考查向量线性运算、坐标公式、数量积、基底判断等基础知识点，题型简单、公式固定，侧重基础记忆与计算，是主要得分题型。 2、中档题（中）：以多选题和解答题第一问为主，考查向量与立体几何结合的命题辨析、几何位置关系证明，需要结合立体几何性质与向量知识综合判断，无复杂计算，但对概念理解准确性要求较高。 3、难题（难）：集中在解答题第二问，核心难点为二面角求解，主要失分点在于不规则几何体建系、平面法向量计算、二面角锐钝判断，侧重考查逻辑推理与运算精准度，是试卷主要区分度题型。 三、整体命题核心规律 1、命题导向明确，弱化传统纯几何复杂推理，重点考查向量代数化解题思维，坐标法为考试主流解法； 2、出题载体常规，以三棱锥、四棱锥、直棱柱等规则几何体为主，极少出现复杂组合几何体； 3、失分核心不在题型难度，而在公式混淆、建系不规范、计算失误、空间角范围判断错误等细节问题。 识记 1、空间向量基本概念：向量共线、共面、零向量、单位向量等定义。 2、空间向量运算法则：加减、数乘、数量积的坐标运算公式。 3、空间三种角的定义及取值范围：异面直线所成角、线面角、二面角。 4、空间基底、共线向量定理、共面向量定理的文字表述。 5、向量模长、两点间距离、向量夹角公式。 理解 1、理解基底的条件：三个向量不共面才能构成空间基底。 2、理解向量共面与直线、平面共面的区别：向量共面不代表直线在平面内。 3、理解数量积的几何意义，能判断向量垂直、平行的充要条件。 4、理解方向向量、法向量的几何意义，明白法向量与平面垂直的关系。 5、理解向量夹角与立体三种空间角的转化关系，清楚何时取绝对值、何时互余。 应用 1、会根据几何体结构，证明垂直关系并规范建立空间直角坐标系，准确写出各点与向量坐标。 2、熟练利用向量证明空间位置关系：线线、线面、面面平行与垂直。 3、会求平面法向量，并利用法向量计算三类空间角，能正确判断二面角的锐钝。 4、能运用向量代数方法解决立体几何综合问题，将几何推理转化为向量运算。 5、能解决多选、填空中的向量综合辨析问题，具备一定空间几何综合推理能力。 考点一 空间向量的有关概念 1、空间向量的定义及表示 （1）定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． （2）长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模． （3）表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或． 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为．规定：与任意向量平行． （2）单位向量：长度为1的空间向量，即． （3）相等向量：方向相同且模相等的向量． （4）相反向量：方向相反但模相等的向量． （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． ⚠️易错易混 1、零向量是特殊向量，无固定方向，切勿判定零向量与向量垂直． 2、相等向量只看模和方向，不看位置，空间中可任意平移． 3、共线向量不是“在同一直线上”，平行异面的向量也属于共线向量． 考点二 空间向量的运算 1、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． （2）空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：． （3）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，． 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 2、空间向量的数量积 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]. 若，则称与互相垂直，记作. ②非零向量，的数量积． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. ⚠️避坑指南 ❌向量数量积结果是实数，不是向量，切勿混淆线性运算与数量积运算结果． ❌数量积不满足结合律． ❌只能推出两向量垂直，不能推出其中某一向量为零向量． 考点三 空间向量基本定理 1、共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. 2、共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 3、空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． ⚠️概念辨析 1、基底判定：只要三向量不共面，即可作为基底，无需模长为1、互相垂直． 2、零向量不能作为基向量，零向量与任意向量共面，无法构成基底． 3、共面向量定理是四点共面的核心判定依据，是立体几何证明高频考点． 考点四 空间向量及其运算的坐标表示 1、空间向量的坐标运算 若，，则： （1）； （2）； （3）； （4） 2、空间向量平行和垂直 若，，则 （1），， （2） 3、空间向量的长度、夹角公式 若，，则 （1），． （2）． 4、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． ⚠️易混易错 1、向量坐标永远是终点坐标减起点坐标，顺序颠倒直接出错． 2、向量平行不能直接写分式等式，需用比例式，避免分母为0无意义． 3、夹角公式计算结果可正可负，对应向量夹角为锐角、直角、钝角． 考点五 空间向量的运算 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2、用向量法研究位置关系 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 3、用向量法研究空间角 （1）异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． （2）直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. （3）二面角 ①若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. ②平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 4、用向量法研究空间距离 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． （2）点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. （3）线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． ①直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． ②两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 题型一 空间向量有关概念理解 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【解析】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确.故选：D 💡破题要诀 选项多为对单个或多个概念的表述（如“零向量与任意向量共线”“空间中模相等的向量相等”等），需判断对错．其解题步骤分两步： 第一步：圈出选项中的“关键词”，对照定义验证是否遗漏或篡改定义条件； 第二步：对模糊选项，构造“反例”与“特例”验证． 迁移应用 【变式1-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【解析】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误.故选：C 【变式1-2】（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误.故选：BC. 【变式1-3】（24-25高二上·安徽合肥·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【解析】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误，故选：BC 题型二 空间向量的线性运算 【典例2】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为平行六面体， 所以，， 所以.故选：C. 💡破题要诀 向量线性运算的解题技巧 （1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果． （3）利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量． 迁移应用 【变式2-1】（25-26高二上·江西赣州·期中）已知空间四点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】；故选：. 【变式2-2】（25-26高二上·浙江·期中）在平行六面体中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平行六面体中连接， 因为， 所以四边形是平行四边形，则， 则， 所以.故选：D 【变式2-3】（25-26高二上·安徽·期中）若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，， 结果不一定为零向量，故C符合题意； 对于D，，故D不符合题意.故选：C. 题型三 空间向量的线性表示 【典例3】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在四棱锥中，平面，且，若， 则 .故选：A. 💡破题要诀 用基向量表示指定向量的方法 （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 迁移应用 【变式3-1】（24-25高二上·山东·期中）如图所示，在三棱柱中，为的中点.若，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在三棱柱中，为的中点， .故选：B 【变式3-2】（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据空间向量的线性运算法则，可得： ．故选：D 【变式3-3】（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得，， . 故故选：A 题型四 空间向量基本定理及应用 【典例4】（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点， 所以 因为，所以，故．故选：A 💡破题要诀 利用定理将空间任意向量分解为三个不共面向量的线性组合，将“空间任意向量”转化为“基底向量的线性组合”，实现“复杂向量→简单基底”的转化，为后续计算（如向量的模、点积、参数求解）提供依据．几何体中选基底技巧：优先选“从同一顶点出发、不共面的三条棱”． 迁移应用 【变式4-1】（24-25高二上·福建三明·期中）如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】在正方体中， ， 而， 因此，，， 所以.故选：A. 【变式4-2】（24-25高二上·湖南常德·期中）已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取中点，连接， 因为是的重心，， 所以 ， 所以.故选：B 【变式4-3】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知， 设向量在基底下的坐标为， 即， 则， 由空间向量基本定理得，，解得.故选：C. 题型五 向量共线定理及应用 【典例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而， 据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等， 不一定有、、三点共线，选项D错误；故选：C. 💡破题要诀 证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立． （2）对空间任一点O，有． （3）对空间任一点O，有． 迁移应用 【变式5-1】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【解析】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确.故选：A 【变式5-2】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【解析】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3.故选：C 【变式5-3】（25-26高二上·福建三明·期中）在空间直角坐标系中，向量，，若，则______. 【答案】7 【解析】因为（），则存在实数，使得，则对应坐标成比例，即： 由，解得， 同理，，解得， 因此，. 题型六 向量的共面定理及应用 【典例6】（25-26高二上·河北唐山·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对， 使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立， 因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误；故选：C 💡破题要诀 向量共面证明思路 （1）证明点在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足． （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中）． 迁移应用 【变式6-1】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知四面体中，点在面内，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】由空间向量共面定理即可得，解得. 【变式6-2】（25-26高二上·北京·期中）已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______. 【答案】 【解析】由四点共面可知，存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又， 又，，不共面，所以，所以．故选：D． 题型七 空间向量的数量积问题 【典例7】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ．故选：B． 💡破题要诀 1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角； 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 迁移应用 【变式7-1】（25-26高二上·四川德阳·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，又底面是正方形，且， 所以， 故.故选：A 【变式7-2】（25-26高二上·广东广州·期中）若平面，的法向量分别为，，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】平面，的法向量分别为，，， ， ， ，即， ，，故B正确．故选：B． 【变式7-3】（25-26高二下·江苏宿迁·期中）已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】由题意得，则，解得； 当，则，此时，舍去. 综上，的取值范围是. 题型八 空间中的点坐标对称问题 【典例8】（25-26高二上·广东湛江·期中）已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点在Oyz平面上的射影坐标特征是不变，变为0， 所以点在平面上的射影坐标为． 💡破题要诀 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 迁移应用 【变式8-1】（25-26高二下·福建宁德·期中）点关于坐标平面对称的点的坐标是__________. 【答案】 【解析】在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标规律是： 坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数 按照这个规律，对称点的坐标为． 【变式8-2】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）在空间直角坐标系中，已知点，点，则（    ） A．点和点关于轴对称 B．点和点关于轴对称 C．点和点关于轴对称 D．点和点关于原点中心对称 【答案】B 【解析】由于,坐标不变，其他互为相反数.则两点关于轴对称.故选：B. 【变式8-3】（24-25高二上·四川·期中）（多选）在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（    ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分 【答案】AC 【解析】A选项，点与点关于轴对称，A正确； B选项，点关于轴的对称点是，B错误； C选项，点与点关于平面对称，C正确； D选项，坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分，D错误．故选：AC． 题型九 利用空间向量证明平行垂直 【典例9】（25-26高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以.故选：A 💡破题要诀 1、利用空间向量证明平行的方法 （1）线线平行：证明两直线的方向向量共线． （2）线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． （3）面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题． 2、利用空间向量证明垂直的方法 （1）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． （2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． （3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 迁移应用 【变式9-1】（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得.故选：B 【变式9-2】（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以， 则，解得. 【变式9-3】（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（    ） A．为梯形 B．为五边形 C．平面 D．平面 【答案】BD 【解析】 如上图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则各点坐标为: 选项A：延长交于点，交于， 连接交于，连接交于， 则共面， 由上图可知，截面是一个五边形，而非梯形，选项A错误，B正确； 选项C：若平面，则与平面中的每一条直线都是垂直的， ，， 此时，则与平面并不垂直，选项C错误； 选项D：由三角形中位线定理可知，平行于，且， 又因为平面，而平面，所以平面，选项D正确. 题型十 利用空间向量求异面直线所成角 【典例10】（25-26高二下·浙江温州·期中）平行六面体中，底面为正方形，，，为的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，由题意得， 因为，，， 所以，， 又， 所以， 所以异面直线和所成角的大小为.故选：A. 💡破题要诀 用向量法求异面直线所成角的步骤： （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是， 即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 迁移应用 【变式10-1】（26-27高二上·安徽·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为由题意知两两垂直， 故分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【变式10-2】（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 所以，所以， 在直三棱柱中，平面, 以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则则 , 所以，， 设异面直线和所成的角为， 则. 【变式10-3】（25-26高二下·江苏南京·期中）圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 【答案】 【解析】设上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，以下底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则由已知有， 连接，因为，所以，所以， 所以， 即. 题型十一 利用空间向量求直线与平面所成角 【典例11】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为：. 💡破题要诀 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 迁移应用 【变式11-1】（25-26高二上·广东惠州·期中）正方体的棱长为2，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在正方体中，故以所以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，则， 设平面的法向量为. 由，得，令，得. 所以向量与平面所成角的正弦值为 .故选：A. 【变式11-2】（25-26高二上·山东泰安·期中）已知在四面体中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取BD的中点O，连接AO，OC，由，， 得， 且， 在△AOC中，，故， 又，平面，所以平面， 以OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，则 设直线与平面所成角为， 则， 则.故选：C. 【变式11-3】（25-26高二上·陕西榆林·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为.故选：B. 题型十二 利用空间向量求平面与平面所成角 【典例12】（25-26高二上·贵州·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得平面与平面夹角的余弦值为， 所以平面与平面的夹角为.故选：C. 💡破题要诀 1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 迁移应用 【变式12-1】（25-26高二上·广东揭阳·期中）如图，在正三棱柱中，，是的中点，，分别在棱，上，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取AB的中点O，连接OC，OG，设，，以为原点，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 则 ，则 , 设平面的法向量为 ，则 ，令，则； 平面的法向量为， 由图可知二面角为的平面角为钝二面角， 所以二面角的余弦值为 .故选：C 【变式12-2】（25-26高二上·辽宁·期中）直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线上的横坐标分别为的点， 给定的图形中，轴于点C，轴于点D，则， 又，， ，则 ，解得，而，所以.故选：A. 【变式12-3】（25-26高二上·福建福州·期中）已知正方体，为的中点，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设正方体棱长为2， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 又平面的法向量可取， 所以平面与平面夹角的余弦值为：. 题型十三 利用空间向量求空间距离 【典例13】（25-26高二上·山东泰安·期中）已知直线上两点，，直线外的点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，，，由题意可知， 直线l的方向向量， ，而， ，， ，， 点P到直线l的距离d根据公式．故选：C． 💡破题要诀 （1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为． 迁移应用 【变式13-1】（25-26高二上·广东广州·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为.故选：C. 【变式13-2】（25-26高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知，则点到平面的距离是__________. 【答案】 【解析】因为， 所以， 设平面EFG的一个法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离. 【变式13-3】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且，，不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于______________. 【答案】 【解析】设正四棱锥的底面中心为，连接，则底面，. 设，的中点为，，连接，. 以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设平面的一般方程为， 则，解得， 所以平面的一般方程为，即. 所以底面中心到侧面的距离为 . 题型十四 利用空间向量研究动点问题 【典例14】（25-26高二上·湖北武汉·期中）如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，，，点P是线段上的动点，若线段上存在点，使得直线与平面成30°的角，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 设，设， 则， ， 设平面的法向量， 可得：， 令，则，所以 直线PQ与平面成30°的角， ，， ，， 又，解得， 可得.故选：B 💡破题要诀 利用空间向量解决立体几何的动点问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示． （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 迁移应用 【变式14-1】（25-26高二上·四川内江·期中）如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的最大值为_____. 【答案】 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，，， 由题意得，，，， ，，， 平面， ，解得，， ，，，， 线段的长的最大值为：. 【变式14-2】（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，. (1)证明：在线段上，存在一点使得平面，且这样的点是唯一的； (2)设线段和的中点分别为和，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由，有， 则， 则， 假设在线段上存在点使得平面， 令，则， 由平面，则， 则有，解得， 故在线段上，存在唯一一点使得平面，且； （2）由（1）及分别为线段的中点，得， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 又， 则点到平面的距离. 【变式14-3】（25-26高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点M，连接BM，证明：平面； (2)求B到平面PCD的距离；线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为若存在，试指出点E的位置，并求出线段BE的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)B到平面PCD的距离为；存在且为上靠近点的三等分点， 【解析】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离. 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是，化简得， 又，解得，即， ， ， ， 所以线段上存在点且为上靠近点的三等分点， 使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·广东肇庆·期中）点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点关于平面对称的点为.故选：B 2．（25-26高二上·山东聊城·期中）空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与斜交 【答案】C 【解析】根据和得：； 因为，可得，所以； 为平面的法向量，所以或者.故选：C. 3．（25-26高二上·江西南昌·期中）在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因四点共面，且， 由空间向量基本定理的推论可得，解得.故选：D. 4．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在正方体中，为的中点，在线段上，且，则与所成角的余弦值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，可以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 不妨设，则，，，. 所以，. 设直线与所成的角为， 则.故选：D 5．（25-26高二上·广东清远·期中）（多选）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 6．（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 【答案】 【解析】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 7．（24-25高二上·湖北孝感·期中）如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）. （2）由题意：，，， ， 所以. 8．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）由，得； （2）由（1）得，而， 因此，所以； （3）由（1）知，， 由，得 ，所以. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 因为、、、四点共面，且、不共线， 则存在、，使得， 即， 所以， 因为四边形为平行四边形，所以，即， 所以， 设，则， 因为、、不共面，所以，解得，所以， 又因为，故，故选：C. 2．（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的重心，所以 ， 又，，，， 所以， 因为点在平面内， 所以，得，且. 所以 当且仅当时等号成立.故选：D. 3．（25-26高二上·湖北·期中）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，取得最小值，其值为 B．当时，平面 C．的最小值为 D．当时， 【答案】ACD 【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，，， ，，由已知， 则点， 对于A，， 则， 因此当时，取得最小值，A正确； 对于B，，，，而，， ，，即是平面的一个法向量， 而，因此不平行于平面， 即直线与平面不平行，B错误； 对于C，，， 于是， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，取的中点，连接，，，如图，    因为为边的中点，则，当平面时，平面， 连接，连接，连接，显然平面平面， 因此，，平面，平面， 则平面，即有，而，所以， 故选：ACD． 4．（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在； 【解析】（1）证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. （2）由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 空间向量的有关概念 考点二 空间向量的运算 考点三 空间向量基本定理 考点四 空间向量及其运算的坐标表示 考点五 空间向量的应用 05 重难题型突破 题型一 空间向量的有关概念理解 题型二 空间向量的线性运算 题型三 空间向量的线性表示 题型四 空间向量基本定理及应用 题型五 空间向量共线定理及应用 题型六 空间向量的共面定理及应用 题型七 空间向量的数量积问题 题型八 空间中的点坐标对称问题 题型九 利用空间向量证明平行垂直 题型十 利用空间向量求异面直线所成角 题型十一 利用空间向量求直线与平面所成角 题型十二 利用空间向量求平面与平面所成角 题型十三 利用空间向量求空间距离 题型十四 利用空间向量研究动点问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 高二上期中核心必考模块，题型固定、考点集中，覆盖选择、填空、解答全题型，分值占比高。小题以基础概念和简单运算为主，高频考查空间向量坐标运算、共线共面向量定理、空间基底判定、向量模长与夹角计算、立体几何向量命题辨析，多选题为常规拉分小题。解答题通常会考查1道立体几何综合大题，为期中核心压轴题型，第一问常规考查线线、线面、面面平行或垂直的证明，第二问必考空间角计算，以异面直线所成角、线面角、二面角为核心，较少考查空间距离，命题完全依托向量工具解题。 二、试题难易度分布 整体难度梯度清晰，基础题占比70%以上，适配期中基础考查的核心导向。 1、基础题（易）：集中在选择填空前中段，考查向量线性运算、坐标公式、数量积、基底判断等基础知识点，题型简单、公式固定，侧重基础记忆与计算，是主要得分题型。 2、中档题（中）：以多选题和解答题第一问为主，考查向量与立体几何结合的命题辨析、几何位置关系证明，需要结合立体几何性质与向量知识综合判断，无复杂计算，但对概念理解准确性要求较高。 3、难题（难）：集中在解答题第二问，核心难点为二面角求解，主要失分点在于不规则几何体建系、平面法向量计算、二面角锐钝判断，侧重考查逻辑推理与运算精准度，是试卷主要区分度题型。 三、整体命题核心规律 1、命题导向明确，弱化传统纯几何复杂推理，重点考查向量代数化解题思维，坐标法为考试主流解法； 2、出题载体常规，以三棱锥、四棱锥、直棱柱等规则几何体为主，极少出现复杂组合几何体； 3、失分核心不在题型难度，而在公式混淆、建系不规范、计算失误、空间角范围判断错误等细节问题。 识记 1、空间向量基本概念：向量共线、共面、零向量、单位向量等定义。 2、空间向量运算法则：加减、数乘、数量积的坐标运算公式。 3、空间三种角的定义及取值范围：异面直线所成角、线面角、二面角。 4、空间基底、共线向量定理、共面向量定理的文字表述。 5、向量模长、两点间距离、向量夹角公式。 理解 1、理解基底的条件：三个向量不共面才能构成空间基底。 2、理解向量共面与直线、平面共面的区别：向量共面不代表直线在平面内。 3、理解数量积的几何意义，能判断向量垂直、平行的充要条件。 4、理解方向向量、法向量的几何意义，明白法向量与平面垂直的关系。 5、理解向量夹角与立体三种空间角的转化关系，清楚何时取绝对值、何时互余。 应用 1、会根据几何体结构，证明垂直关系并规范建立空间直角坐标系，准确写出各点与向量坐标。 2、熟练利用向量证明空间位置关系：线线、线面、面面平行与垂直。 3、会求平面法向量，并利用法向量计算三类空间角，能正确判断二面角的锐钝。 4、能运用向量代数方法解决立体几何综合问题，将几何推理转化为向量运算。 5、能解决多选、填空中的向量综合辨析问题，具备一定空间几何综合推理能力。 考点一 空间向量的有关概念 1、空间向量的定义及表示 （1）定义：在空间，我们把具有 和 叫做向量． （2）长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模． （3）表示方法：①几何表示法：空间向量用 表示；②字母表示法：用字母 ，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作 ，其模记为 或 ． 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为．规定：与 平行． （2）单位向量：长度为 的空间向量，即． （3）相等向量：方向 且模 的向量． （4）相反向量：方向 但模 的向量． （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作 ． ⚠️易错易混 1、零向量是特殊向量，无固定方向，切勿判定零向量与向量垂直． 2、相等向量只看模和方向，不看位置，空间中可任意平移． 3、共线向量不是“在同一直线上”，平行异面的向量也属于共线向量． 考点二 空间向量的运算 1、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． （2）空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 ① 的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： ②首尾相接的若干向量若构成一个 ，则它们的和为 ， 即：． （3）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个 ，称为向量的数乘运算． 当时，与方向 ；当时，与方向 ；当时，． 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 2、空间向量的数量积 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个 向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是 若，则称与互相垂直，记作 . ②非零向量，的数量积为 ． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. ⚠️避坑指南 ❌向量数量积结果是实数，不是向量，切勿混淆线性运算与数量积运算结果． ❌数量积不满足结合律． ❌只能推出两向量垂直，不能推出其中某一向量为零向量． 考点三 空间向量基本定理 1、共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得 . 2、共面向量定理：如果两个向量， ，那么向量与向量，共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使 . 3、空间向量基本定理：如果三个向量，， ，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得 ，其中，叫做空间的一个 ． ⚠️概念辨析 1、基底判定：只要三向量不共面，即可作为基底，无需模长为1、互相垂直． 2、零向量不能作为基向量，零向量与任意向量共面，无法构成基底． 3、共面向量定理是四点共面的核心判定依据，是立体几何证明高频考点． 考点四 空间向量及其运算的坐标表示 1、空间向量的坐标运算 若，，则： （1）； （2）； （3）； （4） 2、空间向量平行和垂直 若，，则 （1），， （2） 3、空间向量的长度、夹角公式 若，，则 （1），． （2）． 4、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． ⚠️易混易错 1、向量坐标永远是终点坐标减起点坐标，顺序颠倒直接出错． 2、向量平行不能直接写分式等式，需用比例式，避免分母为0无意义． 3、夹角公式计算结果可正可负，对应向量夹角为锐角、直角、钝角． 考点五 空间向量的运算 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l ，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的 ． 2、用向量法研究位置关系 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 3、用向量法研究空间角 （1）异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． （2）直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. （3）二面角 ①若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. ②平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 4、用向量法研究空间距离 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． （2）点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. （3）线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． ①直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． ②两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 题型一 空间向量有关概念理解 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 💡破题要诀 选项多为对单个或多个概念的表述（如“零向量与任意向量共线”“空间中模相等的向量相等”等），需判断对错．其解题步骤分两步： 第一步：圈出选项中的“关键词”，对照定义验证是否遗漏或篡改定义条件； 第二步：对模糊选项，构造“反例”与“特例”验证． 迁移应用 【变式1-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【变式1-2】（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【变式1-3】（24-25高二上·安徽合肥·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 题型二 空间向量的线性运算 【典例2】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 向量线性运算的解题技巧 （1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果． （3）利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量． 迁移应用 【变式2-1】（25-26高二上·江西赣州·期中）已知空间四点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·浙江·期中）在平行六面体中，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·安徽·期中）若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 题型三 空间向量的线性表示 【典例3】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 用基向量表示指定向量的方法 （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 迁移应用 【变式3-1】（24-25高二上·山东·期中）如图所示，在三棱柱中，为的中点.若，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型四 空间向量基本定理及应用 【典例4】（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 💡破题要诀 利用定理将空间任意向量分解为三个不共面向量的线性组合，将“空间任意向量”转化为“基底向量的线性组合”，实现“复杂向量→简单基底”的转化，为后续计算（如向量的模、点积、参数求解）提供依据．几何体中选基底技巧：优先选“从同一顶点出发、不共面的三条棱”． 迁移应用 【变式4-1】（24-25高二上·福建三明·期中）如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·湖南常德·期中）已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型五 向量共线定理及应用 【典例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立． （2）对空间任一点O，有． （3）对空间任一点O，有． 迁移应用 【变式5-1】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【变式5-2】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式5-3】（25-26高二上·福建三明·期中）在空间直角坐标系中，向量，，若，则______. 题型六 向量的共面定理及应用 【典例6】（25-26高二上·河北唐山·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 向量共面证明思路 （1）证明点在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足． （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中）． 迁移应用 【变式6-1】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知四面体中，点在面内，若，则实数的值为__________. 【变式6-2】（25-26高二上·北京·期中）已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______. 【变式6-3】（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 题型七 空间向量的数量积问题 【典例7】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 💡破题要诀 1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角； 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 迁移应用 【变式7-1】（25-26高二上·四川德阳·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·广东广州·期中）若平面，的法向量分别为，，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二下·江苏宿迁·期中）已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 题型八 空间中的点坐标对称问题 【典例8】（25-26高二上·广东湛江·期中）已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 迁移应用 【变式8-1】（25-26高二下·福建宁德·期中）点关于坐标平面对称的点的坐标是__________. 【变式8-2】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）在空间直角坐标系中，已知点，点，则（    ） A．点和点关于轴对称 B．点和点关于轴对称 C．点和点关于轴对称 D．点和点关于原点中心对称 【变式8-3】（24-25高二上·四川·期中）（多选）在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（    ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分 题型九 利用空间向量证明平行垂直 【典例9】（25-26高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 💡破题要诀 1、利用空间向量证明平行的方法 （1）线线平行：证明两直线的方向向量共线． （2）线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． （3）面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题． 2、利用空间向量证明垂直的方法 （1）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． （2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． （3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 迁移应用 【变式9-1】（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【变式9-3】（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（    ） A．为梯形 B．为五边形 C．平面 D．平面 题型十 利用空间向量求异面直线所成角 【典例10】（25-26高二下·浙江温州·期中）平行六面体中，底面为正方形，，，为的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 用向量法求异面直线所成角的步骤： （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是， 即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 迁移应用 【变式10-1】（26-27高二上·安徽·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26高二下·江苏南京·期中）圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 题型十一 利用空间向量求直线与平面所成角 【典例11】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为______． 💡破题要诀 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 迁移应用 【变式11-1】（25-26高二上·广东惠州·期中）正方体的棱长为2，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·山东泰安·期中）已知在四面体中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26高二上·陕西榆林·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 题型十二 利用空间向量求平面与平面所成角 【典例12】（25-26高二上·贵州·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 迁移应用 【变式12-1】（25-26高二上·广东揭阳·期中）如图，在正三棱柱中，，是的中点，，分别在棱，上，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26高二上·辽宁·期中）直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26高二上·福建福州·期中）已知正方体，为的中点，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为______. 题型十三 利用空间向量求空间距离 【典例13】（25-26高二上·山东泰安·期中）已知直线上两点，，直线外的点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 （1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为． 迁移应用 【变式13-1】（25-26高二上·广东广州·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【变式13-2】（25-26高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知，则点到平面的距离是__________. 【变式13-3】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且，，不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于______________. 题型十四 利用空间向量研究动点问题 【典例14】（25-26高二上·湖北武汉·期中）如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，，，点P是线段上的动点，若线段上存在点，使得直线与平面成30°的角，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 利用空间向量解决立体几何的动点问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示． （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 迁移应用 【变式14-1】（25-26高二上·四川内江·期中）如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的最大值为_____. 【变式14-2】（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，. (1)证明：在线段上，存在一点使得平面，且这样的点是唯一的； (2)设线段和的中点分别为和，求点到平面的距离. 【变式14-3】（25-26高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点M，连接BM，证明：平面； (2)求B到平面PCD的距离；线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为若存在，试指出点E的位置，并求出线段BE的长；若不存在，请说明理由. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·广东肇庆·期中）点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东聊城·期中）空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与斜交 3．（25-26高二上·江西南昌·期中）在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在正方体中，为的中点，在线段上，且，则与所成角的余弦值为（    ） A．1 B．0 C． D． 5．（25-26高二上·广东清远·期中）（多选）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 7．（24-25高二上·湖北孝感·期中）如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 8．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北·期中）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，取得最小值，其值为 B．当时，平面 C．的最小值为 D．当时， 4．（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $